Las funciones máximas aparecen de muchas formas en el análisis armónico (un área de las matemáticas ). Uno de los más importantes es la función máxima de Hardy-Littlewood . Desempeñan un papel importante en la comprensión, por ejemplo, de las propiedades de diferenciación de funciones, integrales singulares y ecuaciones diferenciales parciales. A menudo proporcionan un enfoque más profundo y simplificado para comprender los problemas en estas áreas que otros métodos.
La función máxima de Hardy-Littlewood
En su artículo original, GH Hardy y JE Littlewood explicaron su máxima desigualdad en el lenguaje de los promedios de cricket . Dada una función f definida en R n , la función máxima no centrada de Hardy-Littlewood Mf de f se define como
en cada x en R n . Aquí, el supremo se toma sobre las bolas B en R n que contienen el punto xy | B | denota la medida de B (en este caso un múltiplo del radio de la bola elevada a la potencia n ). También se puede estudiar la función máxima centrada, donde el supremo se toma justo sobre las bolas B que tienen centro x . En la práctica, hay poca diferencia entre los dos.
Propiedades básicas
Las siguientes afirmaciones son fundamentales para la utilidad del operador máximo de Hardy-Littlewood. [1]
- (a) Para f ∈ L p ( R n ) (1 ≤ p ≤ ∞), Mf es finito en casi todas partes.
- (b) Si f ∈ L 1 ( R n ), entonces existe una c tal que, para todo α> 0,
- (c) Si f ∈ L p ( R n ) (1 < p ≤ ∞), entonces Mf ∈ L p ( R n ) y
- donde A sólo depende de p y c .
Las propiedades (b) se denominan cota de tipo débil de Mf . Para una función integrable, corresponde a la desigualdad de Markov elemental ; sin embargo, Mf nunca es integrable, a menos que f = 0 casi en todas partes, de modo que la demostración del límite débil (b) para Mf requiere un argumento menos elemental de la teoría de medidas geométricas, como el lema de cobertura de Vitali . La propiedad (c) dice que el operador M está acotado en L p ( R n ); es claramente cierto cuando p = ∞, ya que no podemos tomar un promedio de una función acotada y obtener un valor mayor que el valor más grande de la función. La propiedad (c) para todos los demás valores de p se puede deducir de estos dos hechos mediante un argumento de interpolación .
Vale la pena señalar que (c) no se cumple para p = 1. Esto puede demostrarse fácilmente calculando M χ, donde χ es la función característica de la bola unitaria centrada en el origen.
Aplicaciones
El operador máximo de Hardy-Littlewood aparece en muchos lugares, pero algunos de sus usos más notables se encuentran en las demostraciones del teorema de diferenciación de Lebesgue y el teorema de Fatou y en la teoría de los operadores integrales singulares .
Funciones máximas no tangenciales
La función máxima no tangencial toma una función F definida en el semiplano superior
y produce una función F * definida en R n mediante la expresión
Observe que para una x fija , el conjunto es un cono en con vértice en ( x , 0) y eje perpendicular al límite de R n . Por lo tanto, el operador máximo no tangencial simplemente toma el supremo de la función F sobre un cono con vértice en el límite de R n .
Aproximaciones de la identidad
Una forma particularmente importante de funciones F en la que el estudio de la función máxima no tangencial es importante se forma a partir de una aproximación a la identidad . Es decir, fijamos una función suave integrable Φ en R n tal que
y establecer
para t > 0. Luego defina
Se puede demostrar [1] que
y consecuentemente obtener que converge af en L p ( R n ) para todo 1 ≤ p <∞. Tal resultado puede usarse para mostrar que la extensión armónica de una función L p ( R n ) al semiplano superior converge no tangencialmente a esa función. Se pueden obtener resultados más generales cuando el laplaciano es reemplazado por un operador elíptico mediante técnicas similares.
Además, con algunas condiciones adecuadas en , uno puede conseguir eso
- .
La función máxima aguda
Para una función localmente integrable f en R n , la función máxima aguda Se define como
para cada x en R n , donde el supremo se toma sobre todas las bolas (agradable) B y es el promedio integral de sobre la pelota . [2]
La función aguda se puede utilizar para obtener una desigualdad puntual con respecto a integrales singulares . Supongamos que tenemos un operador T que está acotado en L 2 ( R n ), por lo que tenemos
para todo suave y con soporte compacto f . Supongamos también que podemos realizar T como convolución contra un núcleo K en el sentido de que, siempre que f y g sean suaves y tengan soporte disjunto
Finalmente asumimos una condición de tamaño y suavidad en el kernel K :
Cuándo . Entonces, para un r fijo > 1, tenemos
para todo x en R n . [1]
Funciones máximas en teoría ergódica
Dejar ser un espacio de probabilidad, y T : X → X un endomorfismo de X que conserva la medida . La función máxima de f ∈ L 1 ( X , m ) es
La función máxima de f verifica un límite débil análogo a la desigualdad máxima de Hardy-Littlewood :
eso es una reafirmación del teorema ergódico máximo .
Función máxima de martingala
Si es una martingala , podemos definir la función máxima de la martingala por. Si existe, muchos resultados que se sostienen en el caso clásico (por ejemplo, delimitación en y el débil desigualdad) se mantienen con respecto a y . [3]
Referencias
- L. Grafakos, Análisis de Fourier clásico y moderno , Pearson Education, Inc., Nueva Jersey, 2004
- EM Stein, Análisis armónico , Princeton University Press, 1993
- EM Stein, Integrales singulares y propiedades de diferenciación de funciones , Princeton University Press, 1971
- EM Stein, Temas de análisis armónico relacionados con la teoría de Littlewood-Paley , Princeton University Press, 1970
Notas
- ↑ a b c Stein, Elias (1993). "Análisis armónico". Prensa de la Universidad de Princeton.
- ^ Grakakos, Loukas (2004). "7". Análisis de Fourier clásico y moderno . Nueva Jersey: Pearson Education, Inc.
- ^ Stein, Elias M. (2004). "Capítulo IV: La teoría general de Littlewood-Paley". Temas de análisis armónico relacionados con la teoría de Littlewood-Paley . Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press.