En matemáticas , específicamente en la teoría de la medida , una medida de Borel en un espacio topológico es una medida que se define en todos los conjuntos abiertos (y, por tanto, en todos los conjuntos de Borel ). [1] Algunos autores exigen restricciones adicionales a la medida, como se describe a continuación.
Definicion formal
Dejar ser un espacio Hausdorff localmente compacto , y dejarser el σ-álgebra más pequeño que contiene los conjuntos abiertos de; esto se conoce como σ-álgebra de conjuntos de Borel . Una medida de Borel es cualquier medidadefinido en el σ-álgebra de conjuntos de Borel. [2] Algunos autores requieren además quees localmente finito , lo que significa quepara cada set compacto . Si una medida de Boreles regular interna y regular externa , se denomina medida de Borel regular . Sies tanto interna regular como externa regular y localmente finita , se llama una medida de radón .
En la linea real
La linea real con su topología habitual es un espacio de Hausdorff localmente compacto, por lo que podemos definir una medida de Borel en él. En este caso, es la σ-álgebra más pequeña que contiene los intervalos abiertos de . Si bien hay muchas medidas de Borel μ , la elección de la medida de Borel que asigna por cada intervalo semiabierto a veces se denomina "la" medida de Borel en . Esta medida resulta ser la restricción a la σ-álgebra de Borel de la medida de Lebesgue , que es una medida completa y se define en el σ-álgebra de Lebesgue. El σ-álgebra de Lebesgue es en realidad la terminación del σ-álgebra de Borel, lo que significa que es el σ-álgebra más pequeño que contiene todos los conjuntos de Borel y tiene una medida completa . Además, la medida de Borel y la medida de Lebesgue coinciden en los conjuntos de Borel (es decir, para cada conjunto medible de Borel, donde es la medida de Borel descrita anteriormente).
Espacios de productos
Si X y Y son segundo-contable , espacios topológicos Hausdorff , entonces el conjunto de subconjuntos de Borel de su producto coincide con el producto de los conjuntos de subconjuntos de Borel de X y Y . [3] Es decir, el functor de Borel
desde la categoría de espacios de Hausdorff contables hasta la categoría de espacios medibles preserva productos finitos .
Aplicaciones
Integral de Lebesgue – Stieltjes
La integral de Lebesgue-Stieltjes es la integral de Lebesgue ordinaria con respecto a una medida conocida como medida de Lebesgue-Stieltjes, que puede estar asociada a cualquier función de variación acotada en la línea real. La medida de Lebesgue-Stieltjes es una medida de Borel regular y, a la inversa, todas las medidas de Borel regulares en la línea real son de este tipo. [4]
Transformada de Laplace
Se puede definir la transformada de Laplace de una medida finita de Borel μ en la línea real mediante la integral de Lebesgue [5]
Un caso especial importante es donde μ es una medida de probabilidad o, incluso más específicamente, la función delta de Dirac. En cálculo operacional , la transformada de Laplace de una medida a menudo se trata como si la medida procediera de una función de distribución f . En ese caso, para evitar posibles confusiones, a menudo se escribe
donde el límite inferior de 0 - es una notación abreviada para
Este límite enfatiza que cualquier masa puntual ubicada en 0 es capturada por completo por la transformada de Laplace. Aunque con la integral de Lebesgue no es necesario tomar ese límite, sí aparece de forma más natural en conexión con la transformada de Laplace-Stieltjes .
Dimensión de Hausdorff y el lema de Frostman
Dada una medida de Borel μ en un espacio métrico X tal que μ ( X )> 0 y μ ( B ( x , r )) ≤ r s se cumple para alguna constante s > 0 y para cada bola B ( x , r ) en X , entonces la dimensión de Hausdorff dim Haus ( X ) ≥ s . El lema de Frostman proporciona una recíproca parcial : [6]
Lema: Sea A un subconjunto de Borel de R n , y sea s > 0. Entonces los siguientes son equivalentes:
- H s ( A )> 0, donde H s denota la medida s- dimensional de Hausdorff .
- Hay una medida de Borel (sin firmar) μ que satisface μ ( A )> 0, y tal que
- se cumple para todo x ∈ R n y r > 0.
Teorema de Cramér-Wold
El teorema de Cramér-Wold en la teoría de medidas establece que una medida de probabilidad de Borel enestá determinado únicamente por la totalidad de sus proyecciones unidimensionales. [7] Se utiliza como método para demostrar resultados de convergencia conjunta. El teorema lleva el nombre de Harald Cramér y Herman Ole Andreas Wold .
Referencias
- ^ DH Fremlin, 2000. Teoría de la medida. Archivado el 1 de noviembre de 2010 en la Wayback Machine . Torres Fremlin.
- ^ Alan J. Weir (1974). Integración y medida general . Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 158-184. ISBN 0-521-29715-X.
- ^ Vladimir I. Bogachev. Measure Theory, Volumen 1. Springer Science & Business Media, 15 de enero de 2007
- ^ Halmos, Paul R. (1974), Measure Theory , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90088-9
- ↑ Feller 1971 , §XIII.1
- ^ Rogers, CA (1998). Medidas de Hausdorff . Biblioteca Matemática de Cambridge (Tercera ed.). Cambridge: Cambridge University Press. págs. xxx + 195. ISBN 0-521-62491-6.
- ^ K. Stromberg, 1994. Teoría de la probabilidad para analistas . Chapman y Hall.
Otras lecturas
- Medida gaussiana , una medida de Borel de dimensión finita
- Feller, William (1971), Introducción a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones. Vol. II. , Segunda edición, Nueva York: John Wiley & Sons , MR 0270403.
- JD Pryce (1973). Métodos básicos de análisis funcional . Biblioteca de la Universidad de Hutchinson. Hutchinson . pag. 217. ISBN 0-09-113411-0.
- Ransford, Thomas (1995). Teoría del potencial en el plano complejo . Textos estudiantiles de la London Mathematical Society. 28 . Cambridge: Cambridge University Press . págs. 209–218 . ISBN 0-521-46654-7. Zbl 0828.31001 .
- Teschl, Gerald , Topics in Real and Functional Analysis , (notas de la conferencia)
- Relacionado con el lema de Wiener
enlaces externos
- Medida de Borel en la Enciclopedia de Matemáticas