Función de Bessel

Las funciones de Bessel , primero definidas por el matemático Daniel Bernoulli y luego generalizadas por Friedrich Bessel , son soluciones canónicas $y (x)$ de la ecuación diferencial de Bessel

Los casos más importantes son cuando $α$ es un número entero o medio entero . Las funciones de Bessel para el entero $α$ también se conocen como funciones de cilindro o armónicos cilíndricos porque aparecen en la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas . Las funciones esféricas de Bessel con medio entero $α$ se obtienen cuando la ecuación de Helmholtz se resuelve en coordenadas esféricas .

La ecuación de Bessel surge al encontrar soluciones separables a la ecuación de Laplace y la ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas o esféricas . Por tanto, las funciones de Bessel son especialmente importantes para muchos problemas de propagación de ondas y potenciales estáticos. Al resolver problemas en sistemas de coordenadas cilíndricas, se obtienen funciones de Bessel de orden entero ( $α = n$ ); en problemas esféricas, se obtiene órdenes medio enteros ( $α = n + 1 / 2$ ). Por ejemplo:

Las funciones de Bessel también aparecen en otros problemas, como el procesamiento de señales (p. Ej., Consulte la síntesis de FM , la ventana de Kaiser o el filtro de Bessel ).

Debido a que esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, debe haber dos soluciones linealmente independientes . Sin embargo, dependiendo de las circunstancias, resultan convenientes varias formulaciones de estas soluciones. Las diferentes variaciones se resumen en la tabla siguiente y se describen en las siguientes secciones.

Las funciones de Bessel del segundo tipo y las funciones esféricas de Bessel del segundo tipo a veces se denotan por $N n$ y $n n$ , respectivamente, en lugar de $Y n$ e $y n$ . ^[1]^[2]