Cada función de esta base consiste en el producto de tres funciones:
dónde son las coordenadas cilíndricas, y n y k son constantes que distinguen a los miembros del conjunto entre sí. Como resultado del principio de superposición aplicado a la ecuación de Laplace, se pueden obtener soluciones muy generales a la ecuación de Laplace mediante combinaciones lineales de estas funciones.
Dado que todas las superficies de constante ρ, φ yz son conicoides, la ecuación de Laplace es separable en coordenadas cilíndricas. Usando la técnica de la separación de variables , se puede escribir una solución separada a la ecuación de Laplace:
y la ecuación de Laplace, dividida por V , se escribe:
La parte Z de la ecuación es una función de z sola y, por lo tanto, debe ser igual a una constante:
donde k es, en general, un número complejo . Para un k particular , la función Z (z) tiene dos soluciones linealmente independientes. Si k es real son:
o por su comportamiento en el infinito:
Si k es imaginario:
o:
Se puede ver que las funciones Z (k, z) son los núcleos de la transformada de Fourier o la transformada de Laplace de la función Z (z) y, por lo tanto, k puede ser una variable discreta para condiciones de contorno periódicas, o puede ser una variable continua. para condiciones de contorno no periódicas.
Sustituyendo por , La ecuación de Laplace ahora se puede escribir:
Multiplicar por , ahora podemos separar las funciones P y Φ e introducir otra constante ( n ) para obtener:
Desde es periódica, podemos tomar n como un número entero no negativo y, en consecuencia, ellas constantes están subindicadas. Soluciones reales para están
o equivalente:
La ecuación diferencial para es una forma de la ecuación de Bessel.
Si k es cero, pero n no lo es, las soluciones son:
Si tanto k como n son cero, las soluciones son:
Si k es un número real, podemos escribir una solución real como:
dónde y son funciones de Bessel ordinarias .
Si k es un número imaginario, podemos escribir una solución real como:
dónde y son funciones de Bessel modificadas .
Los armónicos cilíndricos para (k, n) son ahora el producto de estas soluciones y la solución general de la ecuación de Laplace viene dada por una combinación lineal de estas soluciones:
donde el son constantes con respecto a las coordenadas cilíndricas y los límites de la suma y la integración están determinados por las condiciones de contorno del problema. Tenga en cuenta que la integral puede reemplazarse por una suma para las condiciones de contorno adecuadas. La ortogonalidad delSuele ser muy útil a la hora de encontrar una solución a un problema en particular. La y Las funciones son esencialmente expansiones de Fourier o Laplace y forman un conjunto de funciones ortogonales. Cuándo es simple , la ortogonalidad de , junto con las relaciones de ortogonalidad de y Permitir que se determinen las constantes.
Si es la secuencia de los ceros positivos de luego:
Al resolver problemas, el espacio puede dividirse en cualquier número de piezas, siempre que los valores del potencial y su derivada coincidan en un límite que no contenga fuentes.
Ejemplo: fuente puntual dentro de un tubo cilíndrico conductor
Como ejemplo, considere el problema de determinar el potencial de una fuente unitaria ubicada en dentro de un tubo cilíndrico conductor (por ejemplo, una lata vacía) que está delimitado por encima y por debajo de los planos y y a los lados por el cilindro . [3] (En unidades MKS, asumiremos). Dado que el potencial está limitado por los planos del eje z , se puede considerar que la función Z (k, z) es periódica. Dado que el potencial debe ser cero en el origen, tomamos el función para ser la función de Bessel ordinaria , y debe elegirse de modo que uno de sus ceros aterrice en el cilindro delimitador. Para el punto de medición debajo del punto de origen en el eje z , el potencial será:
dónde es el r-ésimo cero de y, a partir de las relaciones de ortogonalidad para cada una de las funciones:
Por encima del punto de origen:
Está claro que cuando o , la función anterior es cero. También se puede mostrar fácilmente que las dos funciones coinciden en valor y en el valor de sus primeras derivadas en.
Fuente puntual dentro del cilindro
Eliminar los extremos del plano (es decir, tomar el límite cuando L se acerca al infinito) da el campo de la fuente puntual dentro de un cilindro conductor:
Fuente puntual en espacio abierto
A medida que el radio del cilindro ( a ) se acerca al infinito, la suma sobre los ceros de J n (z) se convierte en una integral, y tenemos el campo de una fuente puntual en el espacio infinito:
y R es la distancia desde la fuente puntual al punto de medición:
Fuente puntual en espacio abierto en origen
Finalmente, cuando la fuente puntual está en el origen,