En matemáticas , la función factorial de Bhargava , o simplemente factorial de Bhargava , es una cierta generalización de la función factorial desarrollada por el matemático ganador de la medalla Fields, Manjul Bhargava, como parte de su tesis en la Universidad de Harvard en 1996. El factorial de Bhargava tiene la propiedad de que muchos numeran- Los resultados teóricos que involucran los factoriales ordinarios siguen siendo ciertos incluso cuando los factoriales son reemplazados por los factoriales de Bhargava. Usando un subconjunto infinito arbitrario S del conjunto Z de enteros, Bhargava asoció un entero positivo con cada entero positivok , que denotó por k ! S , con la propiedad de que si se toma S = Z , entonces el número entero asociado con k , ¡es k ! Z , resultaría ser el factorial ordinario de k . [1]
El factorial de un entero no negativo n , denotado por n !, Es el producto de todos los enteros positivos menores o iguales an . Por ejemplo, ¡5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Por convención, el valor de 0! se define como 1. Esta función factorial clásica aparece de manera prominente en muchos teoremas de la teoría de números . Los siguientes son algunos de estos teoremas. [1]
Bhargava se planteó el siguiente problema y obtuvo una respuesta afirmativa: En los teoremas anteriores, ¿se puede reemplazar el conjunto de enteros por algún otro conjunto S (un subconjunto de Z , o un subconjunto de algún anillo ) y definir una función dependiendo de S que asigna un valor a cada entero no negativo k , denotado por k ! S , tal que los enunciados obtenidos de los teoremas dados anteriormente reemplazando k ! por k ! S siguen siendo verdad?
Los primeros factoriales asociados con el conjunto de números primos se obtienen de la siguiente manera (secuencia A053657 en la OEIS ).
Sea S un subconjunto infinito del conjunto Z de enteros. Para cualquier entero k , sea k ! S el factorial de Bhargava de k asociado con el conjunto S. Manjul Bhargava demostró los siguientes resultados, que son generalizaciones de resultados correspondientes para factoriales ordinarios. [1]