Un biarco es una curva suave formada por dos arcos circulares . [1] Para suavizar el biarco ( G 1 continuo ), los dos arcos deben tener la misma tangente en el punto de conexión donde se encuentran.
Los biarcos se utilizan comúnmente en modelado geométrico y gráficos por computadora . Se pueden utilizar para aproximar splines y otras curvas planas colocando los dos extremos exteriores del biarc a lo largo de la curva que se va a aproximar, con una tangente que coincida con la curva, y luego eligiendo un punto medio que se ajuste mejor a la curva. Esta elección de tres puntos y dos tangentes determina un par único de arcos circulares, y el lugar geométrico de los puntos medios para el cual estos dos arcos forman un biarco es en sí mismo un arco circular. En particular, para aproximar una curva de Bézier de esta manera, el punto medio de la biarca debe elegirse como el incentro.del triángulo formado por los dos extremos de la curva de Bézier y el punto donde se encuentran sus dos tangentes. De manera más general, se puede aproximar una curva mediante una secuencia suave de biarcos; el uso de más biarcos en la secuencia mejorará en general la cercanía de la aproximación a la curva original.
- En los siguientes ejemplos biarcs están subtenidos por el acorde y es el punto de unión. Vector tangente en el punto inicial es , y es la tangente en el punto final
- La figura 2 muestra seis ejemplos de biarcos.
- Biarc 1 se dibuja con Biarcs 2-6 tienen
- En los ejemplos 1, 2, 6 el signo de cambios de curvatura y el punto de unión también es el punto de inflexión. Biarc 3 incluye el segmento de línea recta.
- Los biarcs 1–4 son cortos en el sentido de que no giran cerca de los extremos. Alternativamente, los biarcos 5,6 son largos : girar cerca de uno de los extremos significa que cortan el complemento izquierdo o derecho de la cuerda hasta la línea recta infinita.
- Biarcs 2–6 comparten tangentes finales. Se pueden encontrar en el fragmento inferior de la Fig. 3, entre la familia de biarcos con tangentes comunes.
- La figura 3 muestra dos ejemplos de familias de biarcos, que comparten puntos finales y tangentes finales.
- La figura 4 muestra dos ejemplos de familias de biarcos, que comparten puntos finales y tangentes finales, siendo las tangentes finales paralelas:
- La figura 5 muestra familias específicas con o
Fig. 2. Ejemplos de biarcs | Fig. 3. Familias de biarcs con tangentes comunes (dos ejemplos) | Fig. 4. Familias de Biarcs con extremos tangentes paralelos |
Fig 5. Familias de Biarcs con
o
Los diferentes colores de las figuras 3, 4, 5 se explican a continuación como subfamilias. , , . En particular, para los biarcs, que se muestran en marrón sobre un fondo sombreado ( como una lente o como una luna ), se aplica lo siguiente:
- la rotación total (ángulo de giro) de la curva es exactamente (no , que es la rotación para otros biarcos);
- : la suma es el ancho angular de la lente / luna, que cubre el biarco, cuyo signo corresponde a la curvatura creciente (+1) o decreciente (-1) del biarco, según el teorema generalizado de Vogt ( ru ).
Una familia de biarcs con puntos finales comunes , , y las tangentes finales comunes (1) se denotan como o, brevemente, como siendo el parámetro familiar. Las propiedades de Biarc se describen a continuación en términos de artículo. [2]
- La construcción de un biarc es posible si
- Denotar
- , y la curvatura, el ángulo de giro y la longitud del arco : ;
- , y lo mismo para el arco : .
Luego
(debido a (2), ). Ángulos de giro:
- El lugar de los puntos de unión es el circulo
(se muestra discontinua en la Fig. 3, Fig. 5). Este círculo (línea recta si, Fig.4) pasa por puntos la tangente en ser Los biarcos cortan este círculo bajo el ángulo constante - Vector tangente al biarc en el punto de unión es , dónde
- Biarcs con tener el punto de unión en el eje Y y ceder el salto de curvatura mínimo , a
- Los biarcos degenerados son:
- Biarc : como , , arco desaparece.
- Biarc : como , , arco desaparece.
- Biarc discontinuo incluye línea recta o y pasa por el punto infinito :
La región oscura similar a una lente en las figuras 3.4 está delimitada por biarcos Cubre biarcos con El biarco discontinuo se muestra con una línea punteada de guiones rojos. - Toda la familia se puede subdividir en tres subfamilias de biarcos no degenerados:
Subfamilia desaparece si Subfamilia desaparece si En figuras 3, 4, 5 biarcs se muestran en marrón, biarcs en azul y biarcos en verde.