En matemáticas , una bicategoría (o una categoría 2 débil ) es un concepto en la teoría de categorías que se usa para extender la noción de categoría para manejar los casos en los que la composición de los morfismos no es (estrictamente) asociativa , sino solo asociativa hasta un isomorfismo . La noción fue introducida en 1967 por Jean Bénabou .
Las bicategorías pueden considerarse como un debilitamiento de la definición de 2 categorías . Un proceso similar para 3 categorías conduce a tricategorías y, más generalmente, a n -categorías débiles para n -categorías .
Definición
Formalmente, una bicategoría B consta de:
- objetos a , b , ... llamados celdas 0 ;
- morfismos f , g , ... con objetos de origen y destino fijos llamados 1- celdas ;
- "morfismos entre morfismos" ρ, σ, ... con morfismos de origen y destino fijos (que deben tener el mismo origen y el mismo destino), llamados 2 células ;
con algo más de estructura:
- dado dos objetos una y b existe una categoría B ( un , b ) cuyos objetos son los 1-células y morfismos son los 2-células. La composición en esta categoría se llama composición vertical ;
- dado tres objetos un , b y c , hay una bifuntor llamada composición horizontal .
Se requiere que la composición horizontal sea asociativa hasta un isomorfismo natural α entre morfismos y . Además, se requieren algunos axiomas de coherencia más , similares a los necesarios para las categorías monoidales : una categoría monoidal es lo mismo que una bicategoría con una celda 0.
Referencias
- J. Bénabou. "Introducción a las bicategorías, parte I". En Reports of the Midwest Category Seminar , Lecture Notes in Mathematics 47, páginas 1-77. Springer, 1967.
enlaces externos
- Bicategoría en nLab