Complejo de cadena
En matemáticas , un complejo de cadena es una estructura algebraica que consta de una secuencia de grupos (o módulos ) abelianos y una secuencia de homomorfismos entre grupos consecutivos de manera que la imagen de cada homomorfismo se incluye en el núcleo del siguiente. Asociado a un complejo de cadena está su homología , que describe cómo se incluyen las imágenes en los núcleos.
Un complejo de cocadena es similar a un complejo de cadena, excepto que sus homomorfismos están en la dirección opuesta. La homología de un complejo cocadena se denomina cohomología .
En topología algebraica , el complejo de cadena singular de un espacio topológico X se construye usando mapas continuos de un simplex a X, y los homomorfismos del complejo de cadena capturan cómo estos mapas se restringen al límite del símplex. La homología de este complejo de cadenas se denomina homología singular de X, y es un invariante de uso común de un espacio topológico.
Los complejos de cadenas se estudian en álgebra homológica , pero se utilizan en varias áreas de las matemáticas, como el álgebra abstracta , la teoría de Galois , la geometría diferencial y la geometría algebraica . Pueden definirse de manera más general en categorías abelianas .
Un complejo de cadena es una secuencia de grupos o módulos abelianos ..., A 0 , A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , ... conectados por homomorfismos (llamados operadores de frontera o diferenciales ) d n : A n → A n −1 , de manera que la composición de dos mapas consecutivos cualesquiera sea el mapa cero. Explícitamente, los diferenciales satisfacen d n ∘ d n +1 = 0 , o con índices suprimidos,d 2 = 0 . El complejo se puede escribir de la siguiente manera.
El complejo cocadena es la noción dual de un complejo en cadena. Consiste en una secuencia de grupos o módulos abelianos ..., A 0 , A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , ... conectados por homomorfismos d n : A n → A n +1 satisfaciendo d n +1 ∘ d n = 0 . El complejo de cocadena puede escribirse de forma similar al complejo de cadena.
