En matemáticas , específicamente en la teoría de la homología y la topología algebraica , la cohomología es un término general para una secuencia de grupos abelianos asociados a un espacio topológico , a menudo definido a partir de un complejo cocadena . La cohomología puede verse como un método para asignar invariantes algebraicos más ricos a un espacio que la homología. Algunas versiones de cohomología surgen al dualizar la construcción de homología. En otras palabras, las cochains son funciones en el grupo de cadenas en la teoría de la homología.
Desde sus inicios en la topología , esta idea se convirtió en un método dominante en las matemáticas de la segunda mitad del siglo XX. Desde la idea inicial de la homología como método de construcción de invariantes algebraicos de espacios topológicos, la gama de aplicaciones de las teorías de homología y cohomología se ha extendido a lo largo de la geometría y el álgebra . La terminología tiende a ocultar el hecho de que la cohomología, una teoría contravariante , es más natural que la homología en muchas aplicaciones. En un nivel básico, esto tiene que ver con funciones y retrocesos en situaciones geométricas: espacios dados X e Y , y algún tipo de función F en Y, Para cualquier mapeo f : X → Y , la composición con f da lugar a una función F ∘ f en X . Las teorías de cohomología más importantes tienen un producto, el producto de copa , que les da una estructura de anillo . Debido a esta característica, la cohomología suele ser una invariante más fuerte que la homología.
Cohomología singular
La cohomología singular es una poderosa invariante en topología, que asocia un anillo conmutativo graduado a cualquier espacio topológico. Todo mapa continuo f : X → Y determina un homomorfismo del anillo de cohomología de Y al de X ; Esto pone restricciones fuertes sobre los posibles mapas de X a Y . A diferencia de los invariantes más sutiles, como los grupos de homotopía , el anillo de cohomología tiende a ser computable en la práctica para los espacios de interés.
Para un espacio topológico X , la definición de cohomología singular comienza con el complejo de cadena singular : [1]
Por definición, la homología singular de X es la homología de este complejo de cadena (el núcleo de un homomorfismo módulo la imagen del anterior). En más detalle, C i es el grupo abeliano libre en el conjunto de mapas continuos desde el estándar i -simplex a X (llamado "singular i -simplices en X "), y ∂ i es el i- ésimo homomorfismo de límite. Los grupos C i son cero para i negativo.
Ahora arregle un grupo abeliano A y reemplace cada grupo C i por su grupo dual y por su doble homomorfismo
Esto tiene el efecto de "invertir todas las flechas" del complejo original, dejando un complejo cocadena
Para un entero i , el i- ésimo grupo de cohomología de X con coeficientes en A se define como ker ( d i ) / im ( d i −1 ) y se denota por H i ( X , A ). El grupo H i ( X , A ) es cero para i negativo. Los elementos dese llaman singular i -cochains con coeficientes en A . (De manera equivalente, una i- cochain en X puede identificarse con una función del conjunto de i -simplices singulares en X a A. ) Los elementos de ker ( d ) e im ( d ) se denominan cociclos y co - límites , respectivamente, mientras que los elementos de ker ( d ) / im ( d ) = H i ( X , A ) se denominan clases de cohomología (porque son clases de equivalencia de ciclos).
En lo que sigue, el grupo de coeficientes A a veces no se escribe. Es común tomar A como un anillo conmutativo R ; a continuación, los grupos de cohomología son R - módulos . Una opción estándar es el anillo Z de números enteros .
Algunas de las propiedades formales de la cohomología son solo variantes menores de las propiedades de la homología:
- Un mapa continuo determina un homomorfismo de empuje hacia adelantesobre la homología y un homomorfismo de retrocesosobre cohomología. Esto convierte a la cohomología en un functor contravariante de espacios topológicos a grupos abelianos (o módulos R ).
- Dos mapas homotópicos de X a Y inducen el mismo homomorfismo en cohomología (al igual que en homología).
- La secuencia de Mayer-Vietoris es una herramienta computacional importante en cohomología, como en homología. Tenga en cuenta que el homomorfismo de límites aumenta (en lugar de disminuir) el grado en cohomología. Es decir, si un espacio X es la unión de subconjuntos abiertos U y V , entonces hay una secuencia larga y exacta :
- Hay grupos de cohomología relativapara cualquier subespacio Y de un espacio X . Están relacionados con los grupos de cohomología habituales mediante una secuencia larga y exacta:
- El teorema del coeficiente universal describe la cohomología en términos de homología, utilizando grupos Ext . Es decir, hay una breve secuencia exacta
- Una declaración relacionada es que para un campo F , es precisamente el espacio dual del espacio vectorial.
- Si X es una variedad topológica o un complejo CW , entonces los grupos de cohomologíason cero para i mayor que la dimensión de X . [2] Si X es una variedad compacta (posiblemente con límite), o un complejo CW con un número finito de celdas en cada dimensión, y R es un anillo noetheriano conmutativo , entonces el módulo R H i ( X , R ) se genera de forma finita para cada i . [3]
Por otro lado, la cohomología tiene una estructura crucial que la homología no tiene: para cualquier espacio topológico X y anillo conmutativo R , existe un mapa bilineal , llamado producto de copa :
definido por una fórmula explícita en monedas singulares. El producto de las clases de cohomología u y v se escribe como u ∪ V o simplemente como UV . Este producto hace la suma directa
en un anillo graduado , llamado el anillo de cohomología de X . Es graduado-conmutativo en el sentido de que: [4]
Para cualquier mapa continuo el retroceso es un homomorfismo de graduadas R - álgebra . De ello se deduce que si dos espacios son homotopía equivalentes , entonces sus anillos de cohomología son isomorfos.
Estas son algunas de las interpretaciones geométricas del producto de taza. En lo que sigue, se entiende que las variedades no tienen límite, a menos que se indique lo contrario. Un colector cerrado significa un colector compacto (sin límite), mientras que un sub colector cerrado N de un colector M significa un subconjunto que es un subconjunto cerrado de M , no necesariamente compacto (aunque N es automáticamente compacto si M lo es).
- Sea X una variedad orientada cerrada de dimensión n . Entonces Poincaré dualidad da un isomorfismo H i X ≅ H n - i X . Como resultado, una subvarietal S orientada cerrada de codimensión i en X determina una clase de cohomología en H i X , llamada [ S ]. En estos términos, el producto de taza describe la intersección de subvariedades. Es decir, si S y T son subvariedades de codimensión i y j que se cruzan transversalmente , entonces
- donde la intersección S ∩ T es una subvariedad de codimensión i + j , con una orientación determinada por las orientaciones de S , T , y X . En el caso de variedades suaves , si S y T no se cruzan transversalmente, esta fórmula aún se puede usar para calcular el producto de copa [ S ] [ T ], perturbando S o T para hacer la intersección transversal.
- Más en general, sin asumir que X tiene una orientación, una subvariedad cerrada de X con una orientación en su fibrado normal determina una clase cohomology en X . Si X es una variedad no compacta, y luego una subvariedad cerrada (no necesariamente compacto) determina una clase cohomology en X . En ambos casos, el producto de copa puede describirse nuevamente en términos de intersecciones de subvariedades.
- Tenga en cuenta que Thom construyó una clase de cohomología integral de grado 7 en un colector 14 liso que no es la clase de ningún sub colector liso. [5] Por otro lado, demostró que toda clase de cohomología integral de grado positivo en una variedad suave tiene un múltiplo positivo que es la clase de una subvarietal suave. [6] Además, cada clase de cohomología integral en una variedad puede ser representada por una "pseudomúltiple", es decir, un complejo simplicial que es una variedad fuera de un subconjunto cerrado de codimensión al menos 2.
- Para una variedad uniforme X , el teorema de de Rham dice que la cohomología singular de X con coeficientes reales es isomorfa a la cohomología de De Rham de X , definida usando formas diferenciales . El producto de taza corresponde al producto de formas diferenciales. Esta interpretación tiene la ventaja de que el producto en formas diferenciales es graduado-conmutativo, mientras que el producto en cadenas singulares es solo graduado-conmutativo hasta la homotopía en cadena . De hecho, es imposible modificar la definición de cochains singulares con coeficientes en los enteros o en para que un número primo p haga que el producto sea graduado-conmutativo en la nariz. El fracaso de la conmutatividad graduada en el nivel de la cocadena conduce a las operaciones de Steenrod en la cohomología mod p .
De manera muy informal, para cualquier espacio topológico X , elementos depuede ser pensado como el representado por codimension- i subespacios de X que se pueden mover libremente en X . Por ejemplo, una forma de definir un elemento dees dar un mapa continuo f desde X a una variedad M y una codimensión cerrada - i subvariedades N de M con una orientación en el paquete normal. De manera informal, uno piensa en la clase resultante como acostado en el subespacio de X ; esto se justifica porque la clase se restringe a cero en la cohomología del subconjunto abierto La clase de cohomología se puede mover libremente en X en el sentido de que N podría ser sustituido por cualquier deformación continua de N dentro M .
Ejemplos de
En lo que sigue, la cohomología se toma con coeficientes en los números enteros Z , a menos que se indique lo contrario.
- El anillo de cohomología de un punto es el anillo Z en grado 0. Por invariancia de homotopía, este es también el anillo de cohomología de cualquier espacio contráctil , como el espacio euclidiano R n .
- Para un entero positivo n , el anillo de cohomología de la esfera es Z [ x ] / ( x 2 ) (el anillo cociente de un anillo polinomial por el ideal dado ), con x en grado n . En términos de la dualidad de Poincaré como arriba, x es la clase de un punto en la esfera.
- El anillo de cohomología del toro. es el álgebra exterior sobre Z en n generadores en grado 1. [7] Por ejemplo, sea P un punto en el círculo, y Q el punto ( P , P ) en el toro bidimensional. Entonces la cohomología de ( S 1 ) 2 tiene una base como un módulo Z libre de la forma: el elemento 1 en grado 0, x : = [ P × S 1 ] ey : = [ S 1 × P ] en grados 1 y xy = [ Q ] en grado 2. (Implícitamente, aquí se han fijado las orientaciones del toro y de los dos círculos). Note que yx = - xy = - [ Q ], por conmutatividad graduada.
- Más generalmente, sea R un anillo conmutativo, y sean X e Y cualquier espacio topológico tal que H * ( X , R ) sea un módulo R libre finitamente generado en cada grado. (No se necesita ninguna suposición sobre Y ). Entonces, la fórmula de Künneth da que el anillo de cohomología del espacio del producto X × Y es un producto tensorial de R -álgebras: [8]
- El anillo de cohomología del espacio proyectivo real RP n con coeficientes Z / 2 es Z / 2 [ x ] / ( x n +1 ), con x en grado 1. [9] Aquí x es la clase de un hiperplano RP n −1 en RP n ; esto tiene sentido aunque RP j no es orientable para j par y positivo, porque la dualidad de Poincaré con coeficientes Z / 2 funciona para variedades arbitrarias.
- Con coeficientes enteros, la respuesta es un poco más complicada. La cohomología Z de RP 2 a tiene un elemento y de grado 2 tal que toda la cohomología es la suma directa de una copia de Z dividida por el elemento 1 en grado 0 junto con copias de Z / 2 divididas por los elementos y i para i = 1, ..., a . La cohomología Z de RP 2 a +1 es la misma junto con una copia extra de Z en grado 2 a +1. [10]
- El anillo de cohomología del espacio proyectivo complejo CP n es Z [ x ] / ( x n +1 ), con x en grado 2. [9] Aquí x es la clase de un hiperplano CP n −1 en CP n . De manera más general, x j es la clase de un subespacio lineal CP n - j en CP n .
- El anillo de cohomología de la superficie cerrada orientada X de género g ≥ 0 tiene una base como libre Z -módulo de la forma: el elemento 1 en grado 0, A 1 , ..., A g y B 1 , ... , B g en grado 1, y la clase P de un punto en grado 2. El producto viene dado por: A i A j = B i B j = 0 para todo i y j , A i B j = 0 si i ≠ j , y A i B i = P para todo i . [11] Por clasifica-conmutatividad, se deduce que B i A i = - P .
- En cualquier espacio topológico, la conmutatividad gradual del anillo de cohomología implica que 2 x 2 = 0 para todas las clases de cohomología de grado impar x . De ello se deduce que para un anillo R que contiene 1/2, todos los elementos de grado impar de H * ( X , R ) tienen cero cuadrado. Por otro lado, los elementos de grado impar no necesitan tener cuadrado cero si R es Z / 2 o Z , como se ve en el ejemplo de RP 2 (con coeficientes Z / 2) o RP 4 × RP 2 (con coeficientes Z ) .
La diagonal
El producto de copa en cohomología puede verse como proveniente del mapa diagonal Δ: X → X × X , x ↦ ( x , x ). Es decir, para cualquier espacio X e Y con clases de cohomología u ∈ H i ( X , R ) y v ∈ H j ( Y , R ), hay un producto externo (o producto cruzado ) clase de cohomología u × v ∈ H i + j ( X × Y , R ). El producto de taza de las clases u ∈ H i ( X , R ) y v ∈ H j ( X , R ) se puede definir como el retroceso del producto externo por la diagonal: [12]
Alternativamente, el producto externo se puede definir en términos del producto de taza. Para los espacios X e Y , escriba f : X × Y → X y g : X × Y → Y para las dos proyecciones. Entonces el producto externo de las clases u ∈ H i ( X , R ) y v ∈ H j ( Y , R ) es:
Dualidad de Poincaré
Otra interpretación de la dualidad de Poincaré es que el anillo de cohomología de una variedad orientada cerrada es auto-dual en un sentido fuerte. Es decir, sea X una variedad orientada conectada cerrada de dimensión n , y sea F un campo. Entonces H n ( X , F ) es isomorfo a F , y el producto
es un emparejamiento perfecto para cada entero i . [13] En particular, los espacios vectoriales H i ( X , F ) y H n - i ( X , F ) tienen la misma dimensión (finita). Del mismo modo, el producto en cohomology integral módulo de torsión con valores en H n ( X , Z ) ≅ Z es un emparejamiento perfecto sobre Z .
Clases de caracteristicas
Un conjunto de vectores reales orientados E de rango r sobre un espacio topológico X determina una clase de cohomología en X , la clase de Euler χ ( E ) ∈ H r ( X , Z ). De manera informal, la clase de Euler es la clase de la puesta a cero de un general la sección de E . Esta interpretación se puede hacer más explícita cuando E es un haz vector lisa sobre una superficie lisa colector X , desde entonces una sección lisa general de X se desvanece en un codimension- r subvariedad de X .
Hay varios otros tipos de clases de características para paquetes de vectores que toman valores en cohomología, incluidas las clases de Chern , las clases de Stiefel-Whitney y las clases de Pontryagin .
Espacios Eilenberg – MacLane
Para cada grupo abeliano A y número natural j , hay un espaciocuyo j -ésimo grupo de homotopía es isomórfico a A y cuyos otros grupos de homotopía son cero. Dicho espacio se denomina espacio de Eilenberg-MacLane . Este espacio tiene la propiedad notable de ser un espacio clasificador para la cohomología: hay un elemento natural u de, y cada clase de cohomología de grado j en cada espacio X es el retroceso de u por algún mapa continuo. Más precisamente, retirar la clase u da una biyección
para cada espacio X con el tipo de homotopía de un complejo CW. [14] Aquídenota el conjunto de clases de homotopía de aplicaciones continuas de X a Y .
Por ejemplo, el espacio (definido hasta la equivalencia de homotopía) puede tomarse como el círculo . Entonces, la descripción anterior dice que cada elemento dese retira de la clase u de un punto en por algún mapa .
Existe una descripción relacionada de la primera cohomología con coeficientes en cualquier grupo abeliano A , digamos para un complejo X de CW . A saber,está en correspondencia uno-a-uno con el conjunto de clases de isomorfismo de Galois cubren espacios de X con el grupo A , también llamado director A -bundles sobre X . Para X conectado, se deduce que es isomorfo a , dónde es el grupo fundamental de X . Por ejemplo,clasifica los espacios de doble cobertura de X , con el elementocorrespondiente a la doble cubierta trivial, la unión disjunta de dos copias de X .
Producto de tapa
Para cualquier espacio topológico X , el producto cap es un mapa bilineal
para cualquier números enteros i y j y cualquier anillo conmutativo R . El mapa resultante
hace que la homología singular de X en un módulo sobre el anillo de cohomología singular de X .
Para i = j , el producto cap da el homomorfismo natural
que es un isomorfismo para el campo R a.
Por ejemplo, sea X una variedad orientada, no necesariamente compacta. Entonces, una codimensión orientada cerrada- i subvariedades Y de X (no necesariamente compacta) determina un elemento de H i ( X , R ), y una subvariedad compacta orientada j -dimensional Z de X determina un elemento de H j ( X , R ) . El producto cap [ Y ] ∩ [ Z ] ∈ H j - i ( X , R ) se puede calcular perturbando Y y Z para que se crucen transversalmente y luego tomando la clase de su intersección, que es una subvariedad de dimensión orientada compacta j - yo .
Una variedad X de orientación cerrada de dimensión n tiene una clase fundamental [ X ] en H n ( X , R ). El isomorfismo de la dualidad de Poincaré
se define por producto tapa con la clase fundamental de X .
Historia, al nacimiento de la cohomología singular
Aunque la cohomología es fundamental para la topología algebraica moderna, su importancia no se vio durante unos 40 años después del desarrollo de la homología. El concepto de estructura celular dual , que Henri Poincaré usó en su demostración de su teorema de dualidad de Poincaré, contenía el germen de la idea de cohomología, pero esto no se vio hasta más tarde.
Hubo varios precursores de la cohomología. [15] A mediados de la década de 1920, JW Alexander y Solomon Lefschetz fundaron la teoría de la intersección de ciclos en variedades. En una variedad n- dimensional de orientación cerrada M , un ciclo i y un ciclo j con intersección no vacía tendrán, si están en posición general , una intersección con un ciclo ( i + j - n ). Esto conduce a una multiplicación de clases de homología.
que en retrospectiva se puede identificar con el producto taza sobre la cohomología de M .
Alexander ya había definido en 1930 una primera noción de cochain, al pensar en una i- cochain en un espacio X como una función en pequeños vecindarios de la diagonal en X i +1 .
En 1931, Georges de Rham relacionó la homología y las formas diferenciales, demostrando el teorema de De Rham. Este resultado puede expresarse de forma más sencilla en términos de cohomología.
En 1934, Lev Pontryagin demostró el teorema de la dualidad de Pontryagin ; un resultado en grupos topológicos . Esto (en casos bastante especiales) proporcionó una interpretación de la dualidad de Poincaré y la dualidad de Alexander en términos de caracteres grupales .
En una conferencia de 1935 en Moscú , Andrey Kolmogorov y Alexander introdujeron la cohomología e intentaron construir una estructura de productos de cohomología.
En 1936, Norman Steenrod construyó la cohomología Čech dualizando la homología Čech.
De 1936 a 1938, Hassler Whitney y Eduard Čech desarrollaron el producto de copa (convirtiendo la cohomología en un anillo graduado) y el producto de tapón, y se dieron cuenta de que la dualidad de Poincaré puede expresarse en términos del producto de tapón. Su teoría todavía se limitaba a complejos de células finitas.
En 1944, Samuel Eilenberg superó las limitaciones técnicas y dio la definición moderna de homología y cohomología singulares.
En 1945, Eilenberg y Steenrod establecieron los axiomas que definen una teoría de homología o cohomología, que se analizan a continuación. En su libro de 1952, Fundamentos de la topología algebraica , demostraron que las teorías de homología y cohomología existentes satisfacían sus axiomas.
En 1946, Jean Leray definió la cohomología de la gavilla.
En 1948, Edwin Spanier , basándose en el trabajo de Alexander y Kolmogorov, desarrolló la cohomología Alexander-Spanier .
Cohomología de la gavilla
La cohomología de la gavilla es una rica generalización de la cohomología singular, que permite "coeficientes" más generales que simplemente un grupo abeliano. Por cada haz de grupos abelianos E en un espacio topológico X , se tienen grupos de cohomología H i ( X , E ) para enteros i . En particular, en el caso de la gavilla constante en X asociada a un grupo abeliano A , los grupos resultantes H i ( X , A ) coinciden con la cohomología singular para X un complejo múltiple o CW (aunque no para espacios arbitrarios X ). A partir de la década de 1950, la cohomología de gavillas se ha convertido en una parte central de la geometría algebraica y el análisis complejo , en parte debido a la importancia de la gavilla de funciones regulares o la gavilla de funciones holomórficas .
Grothendieck definió y caracterizó elegantemente la cohomología de gavillas en el lenguaje del álgebra homológica . El punto esencial es fijar el espacio X y pensar en la cohomología de gavillas como un funtor de la categoría abeliana de gavillas en X a grupos abelianos. Comience con el funtor llevando un haz E sobre X a su grupo abeliano de secciones globales sobre X , E ( X ). Este funtor es exacto a la izquierda , pero no necesariamente exacto a la derecha. Grothendieck definió los grupos de cohomología de gavilla como los functores derivados de la derecha del functor exacto izquierdo E ↦ E ( X ). [dieciséis]
Esa definición sugiere varias generalizaciones. Por ejemplo, se puede definir la cohomología de un espacio topológico X con coeficientes en cualquier complejo de haces , antes llamado hipercohomología (pero normalmente ahora sólo "cohomología"). Desde ese punto de vista, la cohomología de gavillas se convierte en una secuencia de functores de la categoría derivada de gavillas en X a grupos abelianos.
En un sentido amplio de la palabra, "cohomología" se usa a menudo para los functores derivados de la derecha de un functor exacto izquierdo en una categoría abeliana, mientras que "homología" se usa para los functores derivados de la izquierda de un functor exacto derecho. Por ejemplo, para un anillo R , los grupos Tor Tor i R ( M , N ) forman una "teoría de homología" en cada variable, los functores derivados de la izquierda del producto tensorial M ⊗ R N de R -módulos. Asimismo, los grupos Ext Ext i R ( M , N ) pueden verse como una "teoría de cohomología" en cada variable, los functores derivados de la derecha del functor Hom R ( M , N ).
La cohomología de la gavilla se puede identificar con un tipo de grupo ext. Es decir, para una gavilla E en un espacio topológico X , H i ( X , E ) es isomorfo a Ext i ( Z X , E ), donde Z X denota la gavilla constante asociada a los enteros Z , y Ext se toma en el categoría abeliana de poleas en X .
Cohomología de variedades
Existen numerosas máquinas construidas para calcular la cohomología de variedades algebraicas. El caso más simple es la determinación de la cohomología para variedades proyectivas suaves sobre un campo de características. Las herramientas de la teoría de Hodge, llamadas estructuras de Hodge, ayudan a realizar cálculos de cohomología de este tipo de variedades (con la adición de información más refinada). En el caso más simple, la cohomología de una hipersuperficie lisa en se puede determinar a partir del grado del polinomio solo.
Al considerar variedades en un campo finito o un campo de características , se requieren herramientas más poderosas porque las definiciones clásicas de homología / cohomología se rompen. Esto se debe a que las variedades sobre campos finitos solo serán un conjunto finito de puntos. A Grothendieck se le ocurrió la idea de una topología de Grothendieck y utilizó la cohomología de gavilla sobre la topología etale para definir la teoría de la cohomología para variedades en un campo finito. Usando la topología étale para una variedad en un campo de características uno puede construir -cohomología ácida para . Esto se define como
If we have a scheme of finite type
then there is an equality of dimensions for the Betti cohomology of and the -adic cohomology of whenever the variety is smooth over both fields. In addition to these cohomology theories there are other cohomology theories called Weil cohomology theories which behave similarly to singular cohomology. There is a conjectured theory of motives which underlie all of the Weil cohomology theories.
Another useful computational tool is the blowup sequence. Given a codimension subscheme there is a Cartesian square
From this there is an associated long exact sequence
If the subvariety is smooth, then the connecting morphisms are all trivial, hence
Axiomas y teorías de cohomología generalizada
There are various ways to define cohomology for topological spaces (such as singular cohomology, Čech cohomology, Alexander–Spanier cohomology or sheaf cohomology). (Here sheaf cohomology is considered only with coefficients in a constant sheaf.) These theories give different answers for some spaces, but there is a large class of spaces on which they all agree. This is most easily understood axiomatically: there is a list of properties known as the Eilenberg–Steenrod axioms, and any two constructions that share those properties will agree at least on all CW complexes.[17] There are versions of the axioms for a homology theory as well as for a cohomology theory. Some theories can be viewed as tools for computing singular cohomology for special topological spaces, such as simplicial cohomology for simplicial complexes, cellular cohomology for CW complexes, and de Rham cohomology for smooth manifolds.
One of the Eilenberg–Steenrod axioms for a cohomology theory is the dimension axiom: if P is a single point, then Hi(P) = 0 for all i ≠ 0. Around 1960, George W. Whitehead observed that it is fruitful to omit the dimension axiom completely: this gives the notion of a generalized homology theory or a generalized cohomology theory, defined below. There are generalized cohomology theories such as K-theory or complex cobordism that give rich information about a topological space, not directly accessible from singular cohomology. (In this context, singular cohomology is often called "ordinary cohomology".)
By definition, a generalized homology theory is a sequence of functors hi (for integers i) from the category of CW-pairs (X, A) (so X is a CW complex and A is a subcomplex) to the category of abelian groups, together with a natural transformation ∂i: hi(X, A) → hi−1(A) called the boundary homomorphism (here hi−1(A) is a shorthand for hi−1(A,∅)). The axioms are:
- Homotopy: If is homotopic to , then the induced homomorphisms on homology are the same.
- Exactness: Each pair (X,A) induces a long exact sequence in homology, via the inclusions f: A → X and g: (X,∅) → (X,A):
- Excision: If X is the union of subcomplexes A and B, then the inclusion f: (A,A∩B) → (X,B) induces an isomorphism for every i.
- Additivity: If (X,A) is the disjoint union of a set of pairs (Xα,Aα), then the inclusions (Xα,Aα) → (X,A) induce an isomorphism from the direct sum: for every i.
The axioms for a generalized cohomology theory are obtained by reversing the arrows, roughly speaking. In more detail, a generalized cohomology theory is a sequence of contravariant functors hi (for integers i) from the category of CW-pairs to the category of abelian groups, together with a natural transformation d: hi(A) → hi+1(X,A) called the boundary homomorphism (writing hi(A) for hi(A,∅)). The axioms are:
- Homotopy: Homotopic maps induce the same homomorphism on cohomology.
- Exactness: Each pair (X,A) induces a long exact sequence in cohomology, via the inclusions f: A → X and g: (X,∅) → (X,A):
- Excision: If X is the union of subcomplexes A and B, then the inclusion f: (A,A∩B) → (X,B) induces an isomorphism for every i.
- Additivity: If (X,A) is the disjoint union of a set of pairs (Xα,Aα), then the inclusions (Xα,Aα) → (X,A) induce an isomorphism to the product group: for every i.
A spectrum determines both a generalized homology theory and a generalized cohomology theory. A fundamental result by Brown, Whitehead, and Adams says that every generalized homology theory comes from a spectrum, and likewise every generalized cohomology theory comes from a spectrum.[18] This generalizes the representability of ordinary cohomology by Eilenberg–MacLane spaces.
A subtle point is that the functor from the stable homotopy category (the homotopy category of spectra) to generalized homology theories on CW-pairs is not an equivalence, although it gives a bijection on isomorphism classes; there are nonzero maps in the stable homotopy category (called phantom maps) that induce the zero map between homology theories on CW-pairs. Likewise, the functor from the stable homotopy category to generalized cohomology theories on CW-pairs is not an equivalence.[19] It is the stable homotopy category, not these other categories, that has good properties such as being triangulated.
If one prefers homology or cohomology theories to be defined on all topological spaces rather than on CW complexes, one standard approach is to include the axiom that every weak homotopy equivalence induces an isomorphism on homology or cohomology. (That is true for singular homology or singular cohomology, but not for sheaf cohomology, for example.) Since every space admits a weak homotopy equivalence from a CW complex, this axiom reduces homology or cohomology theories on all spaces to the corresponding theory on CW complexes.[20]
Some examples of generalized cohomology theories are:
- Stable cohomotopy groups The corresponding homology theory is used more often: stable homotopy groups
- Various different flavors of cobordism groups, based on studying a space by considering all maps from it to manifolds: unoriented cobordism oriented cobordism complex cobordism and so on. Complex cobordism has turned out to be especially powerful in homotopy theory. It is closely related to formal groups, via a theorem of Daniel Quillen.
- Various different flavors of topological K-theory, based on studying a space by considering all vector bundles over it: (real periodic K-theory), (real connective K-theory), (complex periodic K-theory), (complex connective K-theory), and so on.
- Brown–Peterson cohomology, Morava K-theory, Morava E-theory, and other theories built from complex cobordism.
- Various flavors of elliptic cohomology.
Many of these theories carry richer information than ordinary cohomology, but are harder to compute.
A cohomology theory E is said to be multiplicative if has the structure of a graded ring for each space X. In the language of spectra, there are several more precise notions of a ring spectrum, such as an E∞ ring spectrum, where the product is commutative and associative in a strong sense.
Otras teorías de cohomología
Cohomology theories in a broader sense (invariants of other algebraic or geometric structures, rather than of topological spaces) include:
- Algebraic K-theory
- André–Quillen cohomology
- BRST cohomology
- Čech cohomology
- Coherent sheaf cohomology
- Crystalline cohomology
- Cyclic cohomology
- Deligne cohomology
- Equivariant cohomology
- Étale cohomology
- Ext groups
- Flat cohomology
- Floer homology
- Galois cohomology
- Group cohomology
- Hochschild cohomology
- Intersection cohomology
- Khovanov homology
- Lie algebra cohomology
- Local cohomology
- Motivic cohomology
- Non-abelian cohomology
- Quantum cohomology
Ver también
- complex-oriented cohomology theory
Notas
- ^ Hatcher (2001), p. 108.
- ^ Hatcher (2001), Theorem 3.5; Dold (1972), Proposition VIII.3.3 and Corollary VIII.3.4.
- ^ Dold (1972), Propositions IV.8.12 and V.4.11.
- ^ Hatcher (2001), Theorem 3.11.
- ^ Thom (1954), pp. 62–63.
- ^ Thom (1954), Theorem II.29.
- ^ Hatcher (2001), Example 3.16.
- ^ Hatcher (2001), Theorem 3.15.
- ^ a b Hatcher (2001), Theorem 3.19.
- ^ Hatcher (2001), p. 222.
- ^ Hatcher (2001), Example 3.7.
- ^ Hatcher (2001), p. 186.
- ^ Hatcher (2001), Proposition 3.38.
- ^ May (1999), p. 177.
- ^ Dieudonné (1989), section IV.3.
- ^ Hartshorne (1977), section III.2.
- ^ May (1999), p. 95.
- ^ Switzer (1975), Theorem 9.27; Corollary 14.36; Remarks, p. 117 and p. 331.
- ^ "Are spectra really the same as cohomology theories?". MathOverflow.
- ^ Switzer (1975), 7.68.
Referencias
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- Dold, Albrecht (1972), Lectures on Algebraic Topology, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-58660-9, MR 0415602
- Eilenberg, Samuel; Steenrod, Norman (1952), Foundations of Algebraic Topology, Princeton University Press, ISBN 9780691627236, MR 0050886
- Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 52, New York, Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90244-9, MR 0463157
- Hatcher, Allen (2001), Algebraic Topology, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, MR 1867354
- "Cohomology", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994].
- May, J. Peter (1999), A Concise Course in Algebraic Topology (PDF), University of Chicago Press, ISBN 0-226-51182-0, MR 1702278
- Switzer, Robert (1975), Algebraic Topology — Homology and Homotopy, Springer-Verlag, ISBN 3-540-42750-3, MR 0385836
- Thom, René (1954), "Quelques propriétés globales des variétés différentiables", Commentarii Mathematici Helvetici, 28: 17–86, doi:10.1007/BF02566923, MR 0061823