En matemáticas , más específicamente en álgebra lineal numérica , el método de gradiente biconjugado es un algoritmo para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
A diferencia del método de gradiente conjugado , este algoritmo no requiere la matriz para ser autoadjunto , pero en su lugar uno necesita realizar multiplicaciones por la transpuesta conjugada A * .
- Elija la conjetura inicial , otros dos vectores y y un preacondicionador
- por hacer
En la formulación anterior, el cálculo y satisfacer
y así son los respectivos residuos correspondientes a y , como soluciones aproximadas a los sistemas
es el adjunto , yes el conjugado complejo .
Versión no acondicionada del algoritmo
- Elija la conjetura inicial ,
- por hacer
El método de gradiente biconjugado es numéricamente inestable [ cita requerida ] (comparar con el método de gradiente estabilizado biconjugado ), pero muy importante desde un punto de vista teórico. Defina los pasos de iteración por
dónde usando la proyección relacionada
con
Estas proyecciones relacionadas pueden repetirse como
Una relación con los métodos de Cuasi-Newton viene dada por y , dónde
Las nuevas direcciones
son entonces ortogonales a los residuos:
que ellos mismos satisfacen
dónde .
El método de gradiente biconjugado ahora hace una elección especial y usa la configuración
Con esta elección particular, evaluaciones explícitas de y A −1 se evitan, y el algoritmo toma la forma indicada anteriormente.