En matemáticas , el semigrupo bicíclico es un objeto algebraico importante para la teoría de la estructura de los semigrupos . Aunque de hecho es un monoide , generalmente se lo denomina simplemente un semigrupo. Quizás se entienda más fácilmente como el monoide sintáctico que describe el lenguaje Dyck de pares equilibrados de paréntesis. Por lo tanto, encuentra aplicaciones comunes en combinatoria , como la descripción de árboles binarios y álgebras asociativas .
Historia
La primera descripción publicada de este objeto fue dada por Evgenii Lyapin en 1953. Alfred H. Clifford y Gordon Preston afirman que uno de ellos, trabajando con David Rees , lo descubrió de forma independiente (sin publicación) en algún momento antes de 1943.
Construcción
Hay al menos tres formas estándar de construir el semigrupo bicíclico y varias notaciones para referirse a él. Lyapin lo llamó P ; Clifford y Preston utilizaron; y la mayoría de los trabajos recientes han tendido a utilizar B . Este artículo utilizará el estilo moderno en todas partes.
De un semigrupo libre
El semigrupo bicíclico es el monoide libre en dos generadores de p y q , bajo la relación p q = 1. Es decir, cada elemento semigrupo es una cadena de esas dos letras, con la condición de que la subsecuencia " p q " no aparece. La operación de semigrupo es la concatenación de cadenas, que es claramente asociativa . Puede entonces ser mostrado que todos los elementos de B , de hecho, tienen la forma q un p b , para algunos números naturales a y b . La operación de composición se simplifica a
- ( q a p segundo ) ( q c p re ) = q a + c - min { b , c } p d + b - min { b , c } .
De pares ordenados
La forma en que estos exponentes están restringidos sugiere que la " estructura p y q " puede descartarse, dejando solo operaciones en la parte " a y b ". Entonces B es el semigrupo de pares de números naturales (incluido el cero), con la operación [1]
- ( a , b ) ( c , d ) = ( a + c - mínimo { b , c }, d + b - mínimo { b , c }).
Esto es suficiente para definir B de modo que sea el mismo objeto que en la construcción original. Al igual que p y q generada B originalmente, con la cadena vacía como la identidad monoide, esta nueva construcción de B tiene generadores (1, 0) y (0, 1), con la identidad (0, 0).
De funciones
Se puede demostrar que cualquier semigrupo S generado por elementos e , una , y b la satisfacción de las declaraciones a continuación es isomorfa a la semigrupo bicíclico.
- a e = e a = a
- b e = e b = b
- a b = e
- b a ≠ e
No es del todo obvio que este deba ser el caso; quizás la tarea más difícil sea comprender que S debe ser infinito. Para ver esto, suponga que a (digamos) no tiene un orden infinito, entonces a k + h = a h para algunos h y k . Entonces a k = e , y
- b = e b = un k b = un k - 1 e = un k - 1 ,
entonces
- b a = a k = e ,
lo cual no está permitido, por lo que hay infinitos poderes distintos de a . La prueba completa se da en el libro de Clifford y Preston.
Tenga en cuenta que las dos definiciones dadas anteriormente satisfacen estas propiedades. Una tercera forma de derivar B usa dos funciones elegidas apropiadamente para producir el semigrupo bicíclico como un monoide de transformaciones de los números naturales. Sean α, β y ι elementos del semigrupo de transformación en los números naturales, donde
- ι ( n ) = n
- α ( n ) = n + 1
- β ( n ) = 0 si n = 0 y n - 1 en caso contrario.
Estas tres funciones tienen las propiedades requeridas, por lo que el semigrupo que generan es B . [2]
Propiedades
El semigrupo bicíclico tiene la propiedad de que la imagen de cualquier homomorfismo φ de B a otro semigrupo S es o cíclico , o es una copia isomorfo de B . Los elementos φ ( a ), φ ( b ) y φ ( e ) de S siempre satisfarán las condiciones anteriores (porque φ es un homomorfismo) con la posible excepción de que φ ( b ) φ ( a ) podría resultar ser φ ( e ). Si esto no es cierto, entonces φ ( B ) es isomorfo a B ; de lo contrario, es el semigrupo cíclico generado por φ ( a ). En la práctica, esto significa que el semigrupo bicíclico se puede encontrar en muchos contextos diferentes.
Los idempotentes de B son todos pares ( x , x ), donde x es cualquier número natural (usando la caracterización de pares ordenados de B ). Dado que estos conmutan, y B es regular (para cada x hay una y tal que x y x = x ), el semigrupo bicíclico es un semigrupo inverso . (Esto significa que cada elemento x de B tiene una y inversa única , en el sentido de semigrupo "débil" de que x y x = x y y x y = y ).
Todo ideal de B es principal: los ideales principales izquierdo y derecho de ( m , n ) son
- ( m , n ) B = {( s , t ): s ≥ m } y
- B ( m , n ) = {( s , t ): t ≥ n }.
Cada uno de estos contiene infinitos otros, por lo que B no tiene ideales mínimos de izquierda o derecha.
En términos de las relaciones de Green , B tiene solo una clase D (es bisimple ) y, por lo tanto, solo tiene una clase J (es simple ). Las relaciones L y R están dadas por
- ( a , b ) R ( c , d ) si y solo si a = c ; y
- ( a , b ) L ( c , d ) si y solo si b = d . [3]
Esto implica que dos elementos están relacionados con H si y solo si son idénticos. En consecuencia, los únicos subgrupos de B son infinitas copias del grupo trivial, cada uno correspondiente a uno de los idempotentes.
El diagrama de caja de huevos para B es infinitamente grande; comienza la esquina superior izquierda:
(0, 0) | (1, 0) | (2, 0) | ... |
(0, 1) | (1, 1) | (2, 1) | ... |
(0, 2) | (1, 2) | (2, 2) | ... |
... | ... | ... | ... |
Cada entrada representa una clase H singleton ; las filas son las clases R y las columnas son clases L. Los idempotentes de B aparecen en la diagonal, de acuerdo con el hecho de que en un semigrupo regular con idempotentes en tránsito, cada clase L y cada clase R debe contener exactamente un idempotente.
El semigrupo bicíclico es el ejemplo "más simple" de un semigrupo inverso bisimple con identidad; hay muchos otros. Cuando la definición de B a partir de pares ordenados usaba la clase de números naturales (que no solo es un semigrupo aditivo, sino también un entramado conmutativo en operaciones mínimas y máximas), podría aparecer otro conjunto con propiedades apropiadas en su lugar, y el "+", Las operaciones "-" y "max" se modificaron en consecuencia.
Ver también
Notas
- ^ Hollings (2007), p. 332
- ^ Lothaire, M. (2011). Combinatoria algebraica sobre palabras . Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones. 90 . Con prefacio de Jean Berstel y Dominique Perrin (Reimpresión de la edición de tapa dura de 2002). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 459. ISBN 978-0-521-18071-9. Zbl 1221.68183 .
- ^ Howie p.60
Referencias
- La teoría algebraica de semigrupos , AH Clifford y GB Preston. American Mathematical Society, 1961 (volumen 1), 1967 (volumen 2).
- Semigroups: una introducción a la teoría de la estructura , Pierre Antoine Grillet. Marcel Dekker, Inc., 1995.
- Forma canónica de elementos de un sistema asociativo dada por la definición de relaciones , Evgenii Sergeevich Lyapin, Leningrad Gos. Ped. Inst. Uch. Borrar. 89 (1953), páginas 45–54 [ruso].
- Hollings, CD (2007). "Algunos primeros pasos tentadores en la teoría del semigrupo". Revista de Matemáticas . Asociación Matemática de América. 80 : 331–344. JSTOR 27643058 .