En matemáticas , las relaciones de Green son cinco relaciones de equivalencia que caracterizan los elementos de un semigrupo en términos de los principales ideales que generan. Las relaciones llevan el nombre de James Alexander Green , quien las presentó en un artículo de 1951. John Mackintosh Howie , un destacado teórico del semigrupo, describió este trabajo como "tan omnipresente que, al encontrarse con un nuevo semigrupo, casi la primera pregunta que uno hace es '¿Cómo son las relaciones verdes?' ”(Howie 2002). Las relaciones son útiles para comprender la naturaleza de la divisibilidad en un semigrupo; tambien son validos para grupos, pero en este caso no nos dicen nada útil, porque los grupos siempre tienen divisibilidad.
En lugar de trabajar directamente con un semigrupo S , es conveniente definir las relaciones de Green sobre el monoide S 1 . ( S 1 es " S con una identidad adjunta si es necesario"; si S aún no es un monoide, se agrega un nuevo elemento y se define como una identidad). Esto asegura que los ideales principales generados por algún elemento de semigrupo realmente contengan ese elemento . Para un elemento a de S , los ideales relevantes son:
- El director ideal a izquierda generada por una :. Esto es lo mismo que, cual es .
- El director ideal justo generada por una :, o equivalente .
- El director ideales de dos caras generada por una :, o .
Las relaciones L, R y J
Para los elementos de una y B de S , las relaciones de Green L , R y J se definen por
- a L b si y solo si S 1 a = S 1 b .
- a R b si y solo si a S 1 = b S 1 .
- a J b si y solo si S 1 a S 1 = S 1 b S 1 .
Es decir, una y b son L -relacionados si generan el mismo ideal izquierda; Relacionado con R si generan el mismo ideal correcto; y J -relacionados si generan el mismo ideal bilateral. Estas son relaciones de equivalencia en S , por lo que cada una de ellas produce una partición de S en clases de equivalencia. La clase L de a se denota L a (y de manera similar para las otras relaciones). Las clases L y las clases R pueden entenderse de manera equivalente como los componentes fuertemente conectados de las gráficas de Cayley izquierda y derecha de S 1 . [1] Además, los L , R , y J relaciones definen tres preórdenes ≤ L , ≤ R , y ≤ J , donde un ≤ J b se mantiene para dos elementos de un y B de S si el J -class de una está incluido en el de b , es decir, S 1 a S 1 ⊆ S 1 b S 1 , y ≤ L y ≤ R se definen de forma análoga. [2]
Green usó la letra negra minúscula , y para estas relaciones, y escribi para a L b (y lo mismo para R y J ). Los matemáticos de hoy tienden a usar letras escritas comoen su lugar, y reemplace la notación modular de estilo aritmético de Green con el estilo infijo utilizado aquí. Se utilizan letras ordinarias para las clases de equivalencia.
Las relaciones L y R son duales izquierda-derecha entre sí; Los teoremas que conciernen a uno pueden traducirse en enunciados similares sobre el otro. Por ejemplo, L es compatible derecha : si un L b y c es otro elemento de S , entonces ac L bc . Dualmente, R es compatible a la izquierda : si a R b , entonces ca R cb .
Si S es conmutativo, entonces L , R y J coinciden.
Las relaciones H y D
Las relaciones restantes se derivan de L y R . Su intersección es H :
- a H b si y solo si a L b y a R b .
Esto también es una relación de equivalencia en S . La clase H a es la intersección de L a y R a . De manera más general, la intersección de cualquier clase L con cualquier clase R es una clase H o el conjunto vacío.
El teorema de Green establece que para cualquier-clase H de un semigrupo S ya sea (i) o (ii) y H es un subgrupo de S . Un corolario importante es que la clase de equivalencia H e , donde e es un idempotente , es un subgrupo de S (su identidad es e , y todos los elementos tienen inversos) y, de hecho, es el subgrupo más grande de S que contiene e . No-clase puede contener más de un idempotente, por lo tanto es idempotente separarse . En un monoide M , la clase H 1 se denomina tradicionalmente grupo de unidades . [3] (Tenga en cuenta que unidad no significa identidad en este contexto, es decir, en general hay elementos no identitarios en H 1. La terminología de "unidad" proviene de la teoría del anillo ). Por ejemplo, en la transformación monoide en n elementos, T n , el grupo de unidades es el grupo simétrico S n .
Finalmente, D se define: a D b si y solo si existe una c en S tal que a L c y c R b . En el lenguaje de los enrejados , D es la unión de L y R . (La unión para las relaciones de equivalencia es normalmente más difícil de definir, pero se simplifica en este caso por el hecho de que a L c y c R b para algunos c si y solo si a R d y d L b para algunos d ).
Como D es la relación de equivalencia más pequeño que contiene tanto L y R , sabemos que una D b implica una J b -SO J contiene D . En un semigrupo finito, D y J son iguales, [4] como también en un monoide racional . [5] [ aclaración necesaria ] Además, también coinciden en cualquier epigrupo . [6]
También hay una formulación de D en términos de clases de equivalencia, derivada directamente de la definición anterior: [7]
- a D b si y solo si la intersección de R a y L b no está vacía.
En consecuencia, las clases D de un semigrupo pueden verse como uniones de clases L , como uniones de clases R o como uniones de clases H. Clifford y Preston (1961) sugieren pensar en esta situación en términos de una "caja de huevos": [8]
Cada fila de huevos representa una clase R y cada columna una clase L ; los huevos mismos son las clases H. Para un grupo, solo hay un huevo, porque las cinco relaciones de Green coinciden y hacen que todos los elementos del grupo sean equivalentes. El caso opuesto, que se encuentra por ejemplo en el semigrupo bicíclico , es donde cada elemento está en una clase H propia. La caja de huevos para este semigrupo contendría una cantidad infinita de huevos, pero todos los huevos están en la misma caja porque solo hay una clase D. (Un semigrupo para el que todos los elementos están relacionados con D se llama bisimple ).
Se puede demostrar que dentro de una clase D , todas las clases H tienen el mismo tamaño. Por ejemplo, el semigrupo de transformación T 4 contiene cuatro clases D , dentro de las cuales las clases H tienen 1, 2, 6 y 24 elementos respectivamente.
Los avances recientes en la combinatoria de semigrupos han utilizado las relaciones de Green para ayudar a enumerar semigrupos con ciertas propiedades. Un resultado típico (Satoh, Yama y Tokizawa 1994) muestra que hay exactamente 1.843.120.128 semigrupos no equivalentes de orden 8, incluidos 221.805 que son conmutativos; su trabajo se basa en una exploración sistemática de posibles clases- D . (Por el contrario, solo hay cinco grupos de orden 8 ).
Ejemplo
El semigrupo de transformación completa T 3 consta de todas las funciones del conjunto {1, 2, 3} a sí mismo; hay 27 de estos. Escribe ( a b c ) para la función que envía 1 a a , 2 a b y 3 a c . Dado que T 3 contiene el mapa de identidad, (1 2 3), no es necesario adjuntar una identidad.
El diagrama de caja de huevos para T 3 tiene tres clases D. También son clases J , porque estas relaciones coinciden para un semigrupo finito.
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En T 3 , dos funciones están relacionadas con L si y solo si tienen la misma imagen . Estas funciones aparecen en la misma columna de la tabla anterior. Del mismo modo, las funciones f y g son R -relacionados si y sólo si
- f ( x ) = f ( y ) ⇔ g ( x ) = g ( y )
para x y y en {1, 2, 3}; tales funciones están en la misma fila de la tabla. En consecuencia, dos funciones están relacionadas con D si y solo si sus imágenes son del mismo tamaño.
Los elementos en negrita son los idempotentes. Cualquier clase H que contenga uno de estos es un subgrupo (máximo). En particular, la tercera clase D es isomorfa al grupo simétrico S 3 . También hay seis subgrupos de orden 2 y tres de orden 1 (así como subgrupos de estos subgrupos). Seis elementos de T 3 no están en ningún subgrupo.
Generalizaciones
Básicamente, hay dos formas de generalizar una teoría algebraica. Uno es cambiar sus definiciones para que cubra más o diferentes objetos; la otra forma, más sutil, es encontrar algún resultado deseable de la teoría y considerar formas alternativas de llegar a esa conclusión.
Siguiendo la primera ruta, se han definido versiones análogas de las relaciones de Green para semirrings (Grillet 1970) y anillos (Petro 2002). Algunas, pero no todas, las propiedades asociadas con las relaciones en semigrupos se trasladan a estos casos. Permaneciendo dentro del mundo de los semigrupos, las relaciones de Green pueden extenderse para cubrir ideales relativos , que son subconjuntos que son solo ideales con respecto a un subsemigrupo (Wallace 1963).
Para el segundo tipo de generalización, los investigadores se han concentrado en las propiedades de las biyecciones entre las clases L y R. Si x R y , entonces siempre es posible encontrar biyecciones entre L x y L y que conserven la clase R. (Es decir, si dos elementos de una clase L están en la misma clase R , entonces sus imágenes bajo una biyección seguirán estando en la misma clase R ). La declaración dual para x L y también es válida. Estas biyecciones son traducciones de derecha e izquierda, restringidas a las clases de equivalencia apropiadas. La pregunta que surge es: ¿de qué otra manera podría haber tales biyecciones?
Supongamos que Λ y Ρ son semigroups de transformaciones parciales de algunos semigrupo S . Bajo ciertas condiciones, se puede demostrar que si x Ρ = y Ρ, con x ρ 1 = y y y ρ 2 = x , entonces las restricciones
- ρ 1 : Λ x → Λ y
- ρ 2 : Λ y → Λ x
son biyecciones mutuamente inversas. (Convencionalmente, los argumentos se escriben a la derecha para Λ y a la izquierda para Ρ). Entonces las relaciones L y R se pueden definir mediante
- x L y si y solo si Λ x = Λ y
- x R y si y solo si x Ρ = y Ρ
y D y H siguen como de costumbre. La generalización de J no es parte de este sistema, ya que no juega ningún papel en la propiedad deseada.
Llamamos (Λ, Ρ) un par de Green . Hay varias opciones de semigrupo de transformación parcial que producen las relaciones originales. Un ejemplo sería tomar Λ como el semigrupo de todas las traducciones a la izquierda en S 1 , restringido a S , y Ρ el correspondiente semigrupo de traducciones restringidas a la derecha.
Estas definiciones se deben a Clark y Carruth (1980). Incluyen el trabajo de Wallace, así como varias otras definiciones generalizadas propuestas a mediados de la década de 1970. Los axiomas completos son bastante extensos de exponer; informalmente, los requisitos más importantes son que tanto Λ como Ρ deben contener la transformación de identidad, y que los elementos de Λ deben conmutar con los elementos de Ρ.
Ver también
Referencias
- ^ "¿Cómo puedes usar las relaciones de Green para aprender sobre un monoide?" . Stack Exchange . 19 de noviembre de 2015.
- ^ Johnson, Marianne; Kambites, Mark (2011). "Orden J de Green y el rango de matrices tropicales". arXiv : 1102.2707 [ math.RA ].
- ^ Howie, pág. 171
- ^ Gomes, Pin y Silva (2002), p. 94
- ^ Sakarovitch, Jacques (septiembre de 1987). "Multiplicaciones fáciles I. El reino del teorema de Kleene" . Información y Computación . 74 (3): 173-197. doi : 10.1016 / 0890-5401 (87) 90020-4 . Zbl 0642.20043 .
- ^ Peter M. Higgins (1992). Técnicas de teoría de semigrupos . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 28. ISBN 978-0-19-853577-5.
- ^ Lawson (2004) p. 219
- ^ Lawson (2004) p. 220
- CE Clark y JH Carruth (1980) Generalized Green's teories , Semigroup Forum 20 (2); 95-127.
- AH Clifford y GB Preston (1961) The Algebraic Theory of Semigroups , volumen 1, (1967) volumen 2, American Mathematical Society , las relaciones de Green se presentan en el capítulo 2 del primer volumen.
- JA Green (julio de 1951) "Sobre la estructura de los semigrupos", Annals of Mathematics (segunda serie) 54 (1): 163-172.
- Grillet, Mireille P. (1970). "Relaciones de Green en un semiring" . Puerto. Matemáticas . 29 : 181-195. Zbl 0227.16029 .
- John M. Howie (1976) Una introducción a la teoría del semigrupo , Academic PressISBN 0-12-356950-8 . Una versión actualizada está disponible como Fundamentals of Semigroup Theory , Oxford University Press , 1995. ISBN 0-19-851194-9 .
- John M. Howie (2002) "Semigroups, Past, Present and Future", Actas de la Conferencia Internacional sobre Álgebra y sus Aplicaciones , Universidad de Chulalongkorn , Tailandia
- Lawson, Mark V. (2004). Autómatas finitos . Chapman y Hall / CRC. ISBN 1-58488-255-7. Zbl 1086.68074 .
- Petraq Petro (2002) Relaciones de Green y cuasi-ideales mínimos en anillos , Communications in Algebra 30 (10): 4677-4686.
- S. Satoh, K. Yama y M. Tokizawa (1994) "Semigroups of order 8", Semigroup Forum 49: 7-29.
- Gomes, GMS; Pin, JE; Silva, JE (2002). Semigrupos, algoritmos, autómatas y lenguajes. Actas de los talleres realizados en el Centro Internacional de Matemáticas, CIM, Coimbra, Portugal, mayo, junio y julio de 2001 . World Scientific . ISBN 978-981-238-099-9. Zbl 1005.00031 .