En grupo teoría, una inversa semigrupo (ocasionalmente llamado una inversión semigrupo [1] ) S es un semigrupo en el que cada elemento x en S tiene una única inversa y en S en el sentido de que x = xyx y y = YXY , es decir, un ordinario semigrupo en el que cada elemento tiene un inverso único. Los semigrupos inversos aparecen en una variedad de contextos; por ejemplo, pueden emplearse en el estudio de simetrías parciales . [2]
(La convención seguida en este artículo será la de escribir una función a la derecha de su argumento, por ejemplo, xf en lugar de f (x) , y componer funciones de izquierda a derecha, una convención que se observa a menudo en la teoría de semigrupos).
Orígenes
Los semigrupos inversos fueron introducidos independientemente por Viktor Vladimirovich Wagner [3] en la Unión Soviética en 1952, [4] y por Gordon Preston en el Reino Unido en 1954. [5] Ambos autores llegaron a semigrupos inversos a través del estudio de biyecciones parciales de un conjunto : una transformación parcial α de un conjunto X es una función de a a B , donde a y B son subconjuntos de X . Sean α y β transformaciones parciales de un conjunto X ; α y β se pueden componer (de izquierda a derecha) en el dominio más grande en el que "tiene sentido" componerlos:
donde α −1 denota la preimagen debajo de α . Las transformaciones parciales ya se habían estudiado en el contexto de pseudogrupos . [6] Sin embargo, fue Wagner quien fue el primero en observar que la composición de transformaciones parciales es un caso especial de la composición de relaciones binarias . [7] Reconoció también que el dominio de composición de dos transformaciones parciales puede ser el conjunto vacío , por lo que introdujo una transformación vacía para tener en cuenta esto. Con la adición de esta transformación vacía, la composición de las transformaciones parciales de un conjunto se convierte en una operación binaria asociativa definida en todas partes . Bajo esta composición, la colecciónde todas las transformaciones uno-uno parciales de un conjunto, X forma un semigrupo inverso, llamado semigrupo inverso simétrico (o monoide) en X , con el inverso funcional definido de imagen a dominio (equivalentemente, la relación inversa ). [8] Este es el semigrupo inverso "arquetípico", de la misma manera que un grupo simétrico es el grupo arquetípico . Por ejemplo, así como cada grupo se puede incrustar en un grupo simétrico , cada semigrupo inverso se puede incrustar en un semigrupo inverso simétrico (ver § Homomorfismos y representaciones de semigrupos inversos a continuación).
Los basicos
Estructuras de tipo grupal | |||||
---|---|---|---|---|---|
Totalidad α | Asociatividad | Identidad | Invertibilidad | Conmutatividad | |
Semigropoide | Innecesario | Requerido | Innecesario | Innecesario | Innecesario |
Categoría pequeña | Innecesario | Requerido | Requerido | Innecesario | Innecesario |
Groupoid | Innecesario | Requerido | Requerido | Requerido | Innecesario |
Magma | Requerido | Innecesario | Innecesario | Innecesario | Innecesario |
Cuasigrupo | Requerido | Innecesario | Innecesario | Requerido | Innecesario |
Magma unital | Requerido | Innecesario | Requerido | Innecesario | Innecesario |
Círculo | Requerido | Innecesario | Requerido | Requerido | Innecesario |
Semigroup | Requerido | Requerido | Innecesario | Innecesario | Innecesario |
Semigroup inverso | Requerido | Requerido | Innecesario | Requerido | Innecesario |
Monoide | Requerido | Requerido | Requerido | Innecesario | Innecesario |
Monoide conmutativo | Requerido | Requerido | Requerido | Innecesario | Requerido |
Grupo | Requerido | Requerido | Requerido | Requerido | Innecesario |
Grupo abeliano | Requerido | Requerido | Requerido | Requerido | Requerido |
^ α El cierre, que se utiliza en muchas fuentes, es un axioma equivalente a la totalidad, aunque se define de manera diferente. |
La inversa de un elemento x de un semigrupo S inverso generalmente se escribe x −1 . Los inversos en un semigrupo inverso tienen muchas de las mismas propiedades que los inversos en un grupo , por ejemplo, ( ab ) −1 = b −1 a −1 . En un monoide inverso , xx −1 y x −1 x no son necesariamente iguales a la identidad, pero ambos son idempotentes . [9] Un monoide inverso S en el que xx −1 = 1 = x −1 x , para todo x en S (un monoide inverso unipotente ), es, por supuesto, un grupo .
Hay una serie de caracterizaciones equivalentes de un semigrupo S inverso : [10]
- Cada elemento de S tiene un inverso único, en el sentido anterior.
- Cada elemento de S tiene al menos una inversa ( S es un semigrupo regular ) y los idempotentes conmutan (es decir, los idempotentes de S forman un semirretículo ).
- Cada -clase y cada -clase contiene precisamente un idempotente , donde y son dos de los parientes de Green .
El idempotente en el-clase de s es s −1 s , mientras que el idempotente en el-clase de s es ss −1 . Por tanto, hay una caracterización simple de las relaciones de Green en un semigrupo inverso: [11]
A menos que se indique lo contrario, E (S) denotará la semirrejilla de idempotentes de un semigrupo S inverso .
Ejemplos de semigrupos inversos
- Las biyecciones parciales en un conjunto X forman un semigrupo inverso bajo composición.
- Cada grupo es un semigrupo inverso.
- El semigrupo bicíclico es inverso, con ( a , b ) −1 = ( b , a ).
- Cada semirrejilla es inversa.
- El semigrupo de Brandt es inverso.
- El semigrupo de Munn es inverso.
Ejemplo de tabla de multiplicar. Es asociativo y cada elemento tiene su propia inversa según aba = a, bab = b. No tiene identidad y no es conmutativa.
Y | a | B | C | D | mi |
---|---|---|---|---|---|
a | a | a | a | a | a |
B | a | B | C | a | a |
C | a | a | a | B | C |
D | a | D | mi | a | a |
mi | a | a | a | D | mi |
El orden parcial natural
Un semigrupo S inverso posee una relación de orden parcial natural ≤ (a veces denotado por ω), que se define por lo siguiente: [12]
por alguna idempotente e en S . Equivalentemente,
para algunos (en general, diferente) idempotente f en S . De hecho, e se pueden tomar para ser aa -1 y f ser un -1 una . [13]
El orden parcial natural es compatible tanto con la multiplicación como con la inversión, es decir, [14]
y
En un grupo , este orden parcial simplemente se reduce a la igualdad, ya que la identidad es la única idempotente . En un semigrupo inverso simétrico, el orden parcial se reduce a la restricción de mapeos, es decir, α ≤ β si, y solo si, el dominio de α está contenido en el dominio de β yx α = x β, para todo x en el dominio de α. [15]
El orden parcial natural en un semigrupo inverso interactúa con las relaciones de Green de la siguiente manera: si s ≤ t y st , entonces s = t . Del mismo modo, si st . [dieciséis]
En E (S) , el orden parcial natural se convierte en:
así, dado que los idempotentes forman una semirrejilla bajo la operación del producto, los productos en E (S) dan menos límites superiores con respecto a ≤.
Si E (S) es finito y forma una cadena (es decir, E (S) está totalmente ordenado por ≤), entonces S es una unión de grupos . [17] Si E (S) es una cadena infinita , es posible obtener un resultado análogo bajo hipótesis adicionales sobre S y E (S). [18]
Homomorfismos y representaciones de semigrupos inversos
Un homomorfismo (o morfismo ) de semigrupos inversos se define exactamente de la misma manera que para cualquier otro semigrupo: para los semigrupos inversos S y T , una función θ de S a T es un morfismo si ( sθ ) ( tθ ) = ( st ) θ , para todos los s , t en S . La definición de un morfismo de semigrupos inversos podría aumentarse incluyendo la condición ( sθ ) −1 = s −1 θ , sin embargo, no es necesario hacerlo, ya que esta propiedad se deriva de la definición anterior, a través del siguiente teorema:
Teorema. La imagen homomórfica de un semigrupo inverso es un semigrupo inverso; el inverso de un elemento siempre se asigna al inverso de la imagen de ese elemento. [19]
Uno de los primeros resultados probados sobre los semigrupos inversos fue el teorema de Wagner-Preston , que es un análogo del teorema de Cayley para grupos :
Teorema de Wagner-Preston. Si S es un semigrupo inverso, entonces la función φ de S a, dada por
- dom ( a φ) = Sa −1 y x ( a φ) = xa
es una fiel representación de S . [20]
Por lo tanto, cualquier semigrupo inverso se puede incrustar en un semigrupo inverso simétrico, y con la imagen cerrada bajo la operación inversa en biyecciones parciales. Por el contrario, cualquier subsemigrupo del semigrupo inverso simétrico cerrado bajo la operación inversa es un semigrupo inverso. Por tanto, un semigrupo S es isomorfo a un subsemigrrupo del semigrupo inverso simétrico cerrado bajo inversas si y sólo si S es un semigrupo inverso.
Congruencias en semigrupos inversos
Las congruencias se definen en semigrupos inversos exactamente de la misma manera que para cualquier otro semigrupo: una congruencia ρ es una relación de equivalencia que es compatible con la multiplicación de semigrupos, es decir,
- [21]
De particular interés es la relación , definido en un semigrupo S inverso por
- existe un con [22]
Se puede demostrar que σ es una congruencia y, de hecho, es una congruencia de grupo , lo que significa que el factor semigrupo S / σ es un grupo. En el conjunto de todas las congruencias de grupo en un semigrupo S , el elemento mínimo (para el orden parcial definido por la inclusión de conjuntos) no necesita ser el elemento más pequeño. En el caso específico en el que S es un semigrupo inverso σ es la congruencia más pequeña en S tal que S / σ es un grupo, es decir, si τ es cualquier otra congruencia en S con S / τ un grupo, entonces σ está contenido en τ . La congruencia σ se denomina congruencia grupo mínimo en S . [23] La congruencia de grupo mínima se puede utilizar para dar una caracterización de los semigrupos inversos unitarios E (ver más abajo).
Una congruencia ρ en un semigrupo inverso S se llama idempotente puro si
- [24]
E -semigrupos inversos unitarios
Una clase de semigrupos inversos que se ha estudiado extensamente a lo largo de los años es la clase de E - semigrupos inversos unitarios: un semigrupo inverso S (con semirretículo E de idempotentes ) es E - unitario si, para todo e en E y todo s en S ,
Equivalentemente,
- [25]
Una caracterización adicional de un E inversa -unitary semigrupo S es la siguiente: si e está en E y e ≤ s , para algunas s en S , entonces s es en E . [26]
Teorema. Sea S un semigrupo inverso con semirretículo E de idempotentes y congruencia mínima de grupo σ . Entonces los siguientes son equivalentes: [27]
- S es E -unitario;
- σ es idempotente puro;
- = σ ,
dónde es la relación de compatibilidad en S , definida por
- son idempotentes.
Teorema de cobertura de McAlister. Cada semigrupo inverso S tiene una cobertura E-unitaria; es decir, existe un homomorfismo sobreyectivo idempotente que separa de algún semigrupo T E-unitario en S. [28]
En el centro del estudio de los semigrupos inversos unitarios E es la siguiente construcción. [29] Dejaser un conjunto parcialmente ordenado , con orden ≤, y seaser un subconjunto de con las propiedades que
- es una semirrejilla inferior , es decir, cada par de elementos A , B entiene un límite inferior mayor A B en (con respecto a ≤);
- es un ideal de orden de, es decir, para A , B en, si A está eny B ≤ A , entonces B está en.
Ahora sea G un grupo que actúa sobre (a la izquierda), de modo que
- para todo g en G y todo A , B en, gA = gB si, y solo si, A = B ;
- para cada g en G y cada B en, existe una A ental que gA = B ;
- para todo A , B en, A ≤ B si, y solo si, gA ≤ gB ;
- para todo g , h en G y todo A en, G ( hA ) = ( gh ) A .
El triple también se supone que tiene las siguientes propiedades:
- por cada X en, existe una g en G y una A ental que gA = X ;
- para todo g en G , g y tener intersección no vacía.
Un triple se llama un triple de McAlister . Un triple de McAlister se utiliza para definir lo siguiente:
junto con la multiplicación
- .
Luego es un semigrupo inverso bajo esta multiplicación, con ( A , g ) −1 = ( g −1 A , g −1 ). Uno de los principales resultados en el estudio de los semigrupos inversos unitarios E es el teorema P de McAlister :
Teorema P de McAlister. DejarSea un triple de McAlister. Luegoes un semigrupo inverso E -unitario. Por el contrario, cada semigrupo inverso unitario E es isomorfo a uno de este tipo. [30]
F -semigrupos inversos
Se dice que un semigrupo inverso es F- inverso si cada elemento tiene un elemento máximo único encima de él en el orden parcial natural, es decir, cada clase σ tiene un elemento máximo. Cada semigrupo inverso F es un monoide unitario E. MV Lawson ha perfeccionado el teorema de cobertura de McAlister para:
Teorema. Cada semigrupo inverso tiene una F -inversa cubierta. [31]
También se ha utilizado el teorema P de McAlister para caracterizar los semigrupos F inversos. Un triple de McAlisteres un semigrupo inverso F si y solo si es un ideal principal de y es una semirrejilla.
Semigrupos inversos libres
Una construcción similar a un grupo libre es posible para semigrupos inversos. Se puede obtener una presentación del semigrupo inverso libre en un conjunto X considerando el semigrupo libre con involución , donde la involución es la toma de la inversa y luego el cociente por la congruencia de Vagner.
El problema verbal de los semigrupos inversos libres es mucho más complejo que el de los grupos libres. Un resultado celebrado en esta área debido a WD Munn, quien demostró que los elementos del semigrupo inverso libre pueden considerarse naturalmente como árboles, conocidos como árboles de Munn. La multiplicación en el semigrupo inverso libre tiene un corresponsal en los árboles Munn , que esencialmente consiste en porciones comunes superpuestas de los árboles. (ver Lawson 1998 para más detalles)
Cualquier semigrupo inverso libre es F -inverso. [31]
Conexiones con la teoría de categorías
La composición anterior de transformaciones parciales de un conjunto da lugar a un semigrupo inverso simétrico. Hay otra forma de componer transformaciones parciales, que es más restrictiva que la utilizada anteriormente: se componen dos transformaciones parciales α y β si, y solo si, la imagen de α es igual al dominio de β ; de lo contrario, la composición αβ no está definida. Bajo esta composición alternativa, la colección de todas las transformaciones uno-uno parciales de un conjunto no forma un semigrupo inverso sino un grupoide inductivo , en el sentido de la teoría de categorías . Esta estrecha conexión entre semigrupos inversos y grupoides inductivos está incorporada en el Teorema de Ehresmann-Schein-Nambooripad , que establece que un grupoide inductivo siempre se puede construir a partir de un semigrupo inverso, y viceversa. [32] Más precisamente, un semigrupo inverso es precisamente un groupoide en la categoría de posets que es un groupoid étale con respecto a su topología (dual) de Alexandrov y cuyo poset de objetos es un semirretículo de encuentro.
Generalizaciones de semigrupos inversos
Como se señaló anteriormente, un semigrupo S inverso se puede definir por las condiciones (1) S es un semigrupo regular , y (2) los idempotentes en S conmutan; esto ha llevado a dos clases distintas de generalizaciones de un semigrupo inverso: semigrupos en los que (1) se cumple, pero (2) no, y viceversa.
Ejemplos de generalizaciones regulares de un semigrupo inverso son: [33]
- Semigrupos regulares : un semigrupo S es regular si cada elemento tiene al menos una inversa; de manera equivalente, para cada a en S , hay una x en S tal que axa = a .
- Semigrupos localmente inversos : un semigrupo S regular es localmente inverso si eSe es un semigrupo inverso, para cada idempotente e .
- Semigrupos ortodoxos : un semigrupo S regular es ortodoxo si su subconjunto de idempotentes forma un subgrupo.
- Semigrupos inversos generalizados : un semigrupo S regular se denomina semigrupo inverso generalizado si sus idempotentes forman una banda normal, es decir, xyzx = xzyx , para todos los idempotentes x , y , z .
La clase de semigrupos inversos generalizados es la intersección de la clase de semigrupos localmente inversos y la clase de semigrupos ortodoxos. [34]
Entre las generalizaciones no regulares de un semigrupo inverso se encuentran: [35]
- (Izquierda, derecha, bilateral) semigrupos adecuados.
- (Izquierda, derecha, bilateral) amplios semigrupos.
- (Izquierda, derecha, dos lados) semigrupos semiadecuados.
- Semigrupos débilmente amplios (izquierdo, derecho, bilateral).
Categoría inversa
Esta noción de inverso también se generaliza fácilmente a categorías . Una categoría inversa es simplemente una categoría en la que cada morfismo f : X → Y tiene una inversa generalizada g : Y → X tal que fgf = f y gfg = g . Una categoría inversa es auto-dual . La categoría de conjuntos y biyecciones parciales es el mejor ejemplo. [36]
Las categorías inversas han encontrado diversas aplicaciones en la informática teórica . [37]
Ver también
- Semigrupo ortodoxo
- Conjunto biordado
- Pseudogrupo
- Simetrías parciales
- Semigrupo regular
- Semirretículo
- Relaciones de Green
- Teoría de categorías
- Clases especiales de semigrupos
- Inversa débil
- Orden de Nambooripad
Notas
- ^ Weisstein, Eric W. (2002). Enciclopedia Concisa de Matemáticas CRC (2ª ed.). Prensa CRC. pag. 1528. ISBN 978-1-4200-3522-3.
- ^ Lawson 1998
- ↑ Dado que su padre era alemán, Wagner prefirió la transliteración alemana de su nombre (con una "W", en lugar de una "V") del cirílico; véase Schein 1981 .
- ↑ Primero un breve anuncio en Wagner 1952 , luego una exposición mucho más completa en Wagner 1953 .
- ^ Preston 1954a , b, c.
- ^ Véase, por ejemplo, Gołab 1939 .
- ^ Schein 2002 , p. 152
- ^ Howie 1995 , p. 149
- ^ Howie 1995 , Proposición 5.1.2 (1)
- ^ Howie 1995 , Teorema 5.1.1
- ^ Howie 1995 , Proposición 5.1.2 (1)
- ^ Wagner 1952
- ^ Howie 1995 , Proposición 5.2.1
- ^ Howie 1995 , págs. 152–3
- ^ Howie 1995 , p. 153
- ^ Lawson 1998 , Proposición 3.2.3
- ^ Clifford y Preston 1967 , Teorema 7.5
- ^ Gonçalves, D; Sobottka, M; Starling, C (2017). "Cambios de semigrupo inverso sobre alfabetos contables". Foro de Semigroup . 96 (2): 203–240. arXiv : 1510.04117 . doi : 10.1007 / s00233-017-9858-5 Corolario 4.9CS1 maint: posdata ( enlace )
- ^ Clifford y Preston 1967 , Teorema 7.36
- ^ Howie 1995 , Teorema 5.1.7 Originalmente, Wagner 1952 y, de forma independiente, Preston 1954c.
- ^ Howie 1995 , p. 22
- ^ Lawson 1998 , p. 62
- ^ Lawson 1998 , Teorema 2.4.1
- ^ Lawson 1998 , p. sesenta y cinco
- ^ Howie 1995 , p. 192
- ^ Lawson 1998 , Proposición 2.4.3
- ^ Lawson 1998 , Teorema 2.4.6
- ^ Grillet, PA (1995). Semigroups: Una introducción a la teoría de la estructura . Prensa CRC. pag. 248. ISBN 978-0-8247-9662-4.
- ^ Howie 1995 , págs. 193–4
- ^ Howie 1995 , Teorema 5.9.2. Originalmente, McAlister 1974a , b.
- ↑ a b Lawson , 1998 , p. 230
- ^ Lawson 1998 , 4.1.8
- ^ Howie 1995 , Sección 2.4 y Capítulo 6
- ^ Howie 1995 , p. 222
- ^ Fuente 1979 , Gould
- ^ Grandis, Marco (2012). Álgebra homológica: la interacción de la homología con entramados distributivos y semigrupos ortodoxos . World Scientific. pag. 55. ISBN 978-981-4407-06-9.
- ^ Hines, Peter; Braunstein, Samuel L. (2010). "La estructura de las isometrías parciales" . En Gay y, Simon; Mackie, Ian (eds.). Técnicas semánticas en computación cuántica . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 369. ISBN 978-0-521-51374-6.
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- Wagner, VV (1953). "La teoría de montones generalizados y grupos generalizados". Matematicheskii Sbornik . Novaya Seriya (en ruso). 32 (74): 545–632.
Otras lecturas
- Para una breve introducción a los semigrupos inversos, vea Clifford & Preston 1967 , Capítulo 7 o Howie 1995 , Capítulo 5.
- Se pueden encontrar introducciones más completas en Petrich 1984 y Lawson 1998 .
- Linckelmann, M. (2012). "Sobre categorías inversas y transferencia en cohomología" (PDF) . Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo . 56 : 187. doi : 10.1017 / S0013091512000211 . Preimpresión de acceso abierto