Invariante de una forma binaria

En matemática teoría de invariantes , una invariante de una forma binaria es un polinomio en los coeficientes de una forma binaria en dos variables x y Y que permanece invariante bajo el grupo lineal especial que actúa sobre las variables x e y .

Terminología

Una forma binaria (de grado n ) es un polinomio homogéneo Σⁿ
_{yo = 0} (ⁿ
_yo) una _{norte - yo} x ^{norte - yo} y ^yo = una _norte x ^norte + (ⁿ
₁) a _{n −1}x ^{n −1}y + ... + a ₀y ⁿ . El grupo SL ₂ ( C ) actúa sobre estas formas mediante la adopción de x a ax + por y y para cx + dy . Esto induce una acción sobre el espacio generado por un ₀ , ..., una _ny sobre los polinomios de estas variables. Un invariante es un polinomio en estas n + 1 variables a ₀ , ..., a_n que es invariante bajo esta acción. De manera más general una covariante es un polinomio en un ₀ , ..., un _n , x , y que es invariable, por lo que una invariante es un caso especial de una covariante donde las variables x e y no ocurren. Más en general todavía, una invariante simultánea es un polinomio en los coeficientes de varias formas diferentes en x y y .

En términos de teoría de la representación , dado cualquier representación V del grupo SL ₂ ( C ) uno puede pedir el anillo de polinomios invariantes en V . Las invariantes de una forma binaria de grado n corresponden a tomar V como la representación irreducible ( n + 1) -dimensional, y las covariantes corresponden a tomar V como la suma de las representaciones irreductibles de las dimensiones 2 y n + 1.

Las invariantes de una forma binaria forman un álgebra graduada , y Gordan (1868) demostró que esta álgebra se genera de manera finita si el campo base son los números complejos.

Las formas de los grados 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 a veces se denominan cuádruples, cúbicos, cuárticos, quínticos, sépticos, sépticos o septímicos, octicos u octavicos, nonicos y decicos o decimicos. "Quantic" es un nombre antiguo para una forma de grado arbitrario. Las formas en 1, 2, 3, 4, ... variables se denominan formas unarias, binarias, ternarias, cuaternarias, ... formas.

Ejemplos de

Una forma f es en sí misma una covariante de grado 1 y orden n .

El discriminante de una forma es invariante.

La resultante de dos formas es una invariante simultánea de ellas.

La covariante hessiana de una forma de Hilbert (1993 , p.88) es el determinante de la matriz hessiana

{\ Displaystyle H (f) = {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial x ^ {2}}} & {\ frac {\ parcial ^ {2} f} { \ parcial x \, \ parcial y}} \\ [10 puntos] {\ frac {\ parcial ^ {2} f} {\ parcial y \, \ parcial x}} & {\ frac {\ parcial ^ {2} f } {\ y parcial ^ {2}}} \ end {bmatrix}}.}

Es una covariante de orden 2 n - 4 y grado 2.

El catalizador es un invariante de grado n / 2 + 1 de una forma binaria de grado par n .

El canonizante es una covariante de grado y orden ( n +1) / 2 de una forma binaria de grado impar n .

El jacobiano

{\ Displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x}} y {\ frac {\ parcial f} {\ parcial y}} \\ [10pt] {\ frac {\ parcial g} {\ parcial x}} & {\ frac {\ parcial g} {\ parcial y}} \ end {bmatrix}}}

es una covariante simultánea de dos formas f , g .

El anillo de los invariantes

La estructura del anillo de invariantes se ha elaborado en pequeños grados. Sylvester y Franklin (1879) proporcionaron tablas de los números de generadores de invariantes y covariantes para formas de grado hasta 10, aunque las tablas tienen algunos errores menores para grados grandes, principalmente donde se omiten algunas invariantes o covariantes.

Covariantes de una forma lineal binaria

Para formas lineales ax + by, las únicas invariantes son constantes. El álgebra de covariantes se genera mediante la propia forma de grado 1 y orden 1.

Covariantes de un cuadrático binario

El álgebra de invariantes de la forma cuadrática ax ² + 2 bxy + cy ² es un álgebra polinomial en 1 variable generada por el discriminante b ² - ac de grado 2. El álgebra de covariantes es un álgebra polinomial en 2 variables generadas por el discriminante junto con la propia forma f (de grado 1 y orden 2). ( Schur 1968 , II.8) ( Hilbert 1993 , XVI, XX)

Covariantes de un cúbico binario

El álgebra de invariantes de la forma cúbica ax ³ + 3 bx ²y + 3 cxy ² + dy ³ es un álgebra polinomial en 1 variable generada por el discriminante D = 3 b ²c ² + 6 abcd - 4 b ³d - 4 c ³a - a ²d ² de grado 4. El álgebra de covariantes es generada por el discriminante, la forma en sí (grado 1, orden 3), el Hessiano H (grado 2, orden 2) y una covariante Tde grado 3 y orden 3. Están relacionados por la sicigia 4 H ³ = Df ² - T ² de grado 6 y orden 6. ( Schur 1968 , II.8) ( Hilbert 1993 , XVII, XX)

Covariantes de un cuartico binario

El álgebra de invariantes de forma cuártica es generada por invariantes i , j de grados 2, 3. Este anillo es naturalmente isomorfo al anillo de formas modulares de nivel 1, con los dos generadores correspondientes a las series de Eisenstein E ₄ y E ₆ . El álgebra de covariantes se genera por estos dos invariantes junto con el formulario f de grado 1 y el orden 4, el Hessian H de grado 2 y el orden 4, y una covariante T de grado 3 y el orden 6. Están relacionados por una sicigia $jf 3 - Hf 2 i + 4 H 3 + T 2 = 0$ de grado 6 y orden 12. ( Schur 1968 , II.8) ( Hilbert 1993 , XVIII, XXII)

Covariantes de una quintica binaria

El álgebra de invariantes de una forma quíntica fue encontrada por Sylvester y es generada por invariantes de grado 4, 8, 12, 18. Los generadores de grados 4, 8, 12 generan un anillo polinomial, que contiene el cuadrado del invariante de inclinación de Hermite de grado 18. Las invariantes son bastante complicadas de escribir explícitamente: Sylvester demostró que los generadores de grados 4, 8, 12, 18 tienen 12, 59, 228 y 848 términos, a menudo con coeficientes muy grandes. ( Schur 1968 , II.9) ( Hilbert 1993 , XVIII) El anillo de covariantes es generado por 23 covariantes, una de las cuales es la canonizante de grado 3 y orden 3.

Covariantes de una sextica binaria

El álgebra de invariantes de forma séxtica es generada por invariantes de grado 2, 4, 6, 10, 15. Los generadores de grados 2, 4, 6, 10 generan un anillo polinomial, que contiene el cuadrado del generador de grado 15 ( Schur 1968 , II.9) El anillo de covariantes es generado por 26 covariantes. El anillo de invariantes está estrechamente relacionado con el espacio de módulos de las curvas del género 2, porque dicha curva se puede representar como una doble cobertura de la línea proyectiva ramificada en 6 puntos, y los 6 puntos se pueden tomar como las raíces de un binario. séxtica.

Covariantes de un séptico binario

El anillo de invariantes de sépticos binarios es anómalo y ha causado varios errores publicados. Cayley afirmó incorrectamente que el anillo de invariantes no se genera de forma finita. Sylvester y Franklin (1879) dieron límites inferiores de 26 y 124 para el número de generadores del anillo de invariantes y el anillo de covariantes y observaron que un "postulado fundamental" no probado implicaría que la igualdad se cumple. Sin embargo, von Gall (1888) mostró que los números de Sylvester no son iguales a los números de generadores, que son 30 para el anillo de invariantes y al menos 130 para el anillo de covariantes, por lo que el postulado fundamental de Sylvester es incorrecto. von Gall (1888) y Dixmier y Lazard (1986)mostró que el álgebra de invariantes de una forma de grado 7 es generada por un conjunto con 1 invariante de grado 4, 3 de grado 8, 6 de grado 12, 4 de grado 14, 2 de grado 16, 9 de grado 18 y uno de cada uno de los grados 20, 22, 26, 30. Cröni (2002) da 147 generadores para el anillo de covariantes.

Covariantes de un octavico binario

Sylvester y Franklin (1879) demostraron que el anillo de invariantes de una forma de grado 8 es generado por 9 invariantes de grados 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, y el anillo de covariantes es generado por 69 covariantes. August von Gall ( von Gall (1880) ) y Shioda (1967) confirmaron los generadores del anillo de invariantes y mostraron que el ideal de relaciones entre ellos es generado por elementos de grados 16, 17, 18, 19, 20.

Covariantes de un nonic binario

Brouwer y Popoviciu (2010a) mostraron que el álgebra de invariantes de una forma de grado 9 es generada por 92 invariantes. Cröni, Hagedorn y Brouwer ^[1] calcularon 476 covariantes, y Lercier & Olive demostraron que esta lista está completa.

Covariantes de un decimal binario

Sylvester afirmó que el anillo de invariantes de decicos binarios es generado por 104 invariantes; el anillo de covariantes por 475 covariantes; Esta lista debe ser correcta para grados hasta 16 pero incorrecta para grados superiores. Brouwer y Popoviciu (2010b) demostraron que el álgebra de invariantes de una forma de grado 10 es generada por 106 invariantes. Hagedorn y Brouwer ^[1] calcularon 510 covariantes, y Lercier & Olive demostraron que esta lista está completa.

Covariantes de un undecimic binario

El anillo de invariantes de formas binarias de grado 11 es complicado y aún no se ha descrito explícitamente.

Covariantes de un duodecímico binario

Para las formas de grado 12, Sylvester (1881) encontró que en grados hasta 14 hay 109 invariantes básicos. Hay al menos 4 más en grados superiores. El número de covariantes básicas es de al menos 989.

El número de generadores de invariantes y covariantes de formas binarias se puede encontrar en (secuencia A036983 en OEIS ) y (secuencia A036984 en OEIS ), respectivamente.

Invariantes de varias formas binarias

Las covariantes de una forma binaria son esencialmente las mismas que las invariantes conjuntas de una forma binaria y una forma lineal binaria. De manera más general, on puede solicitar las invariantes conjuntas (y covariantes) de cualquier colección de formas binarias. Algunos casos que se han estudiado se enumeran a continuación.

Covariantes de dos formas lineales

Hay 1 invariante básica y 3 covariantes básicas.

Covariantes de una forma lineal y una cuadrática

Hay 2 invariantes básicos y 5 covariantes básicos.

Covariantes de una forma lineal y una cúbica

Hay 4 invariantes básicas (esencialmente las covariantes de un cúbico) y 13 covariantes básicas.

Covariantes de una forma lineal y una cuartica

Hay 5 invariantes básicas (esencialmente las covariantes básicas de un cuartico) y 20 covariantes básicas.

Covariantes de una forma lineal y una quíntica

Hay 23 invariantes básicas (esencialmente las covariantes básicas de una quintica) y 94 covariantes básicas.

Covariantes de forma lineal y cuántica

Covariantes de varias formas lineales

El anillo de invariantes de n formas lineales es generado por n ( n –1) / 2 invariantes de grado 2. El anillo de covariantes de n formas lineales es esencialmente el mismo que el anillo de invariantes de n +1 formas lineales.

Covariantes de dos cuadráticas

Hay 3 invariantes básicos y 6 covariantes básicos.

Covariantes de dos cuadráticas y una forma lineal

Covariantes de varias formas lineales y cuadráticas

El anillo de invariantes de una suma de m formas lineales yn formas cuadráticas es generado por m ( m –1) / 2 + n ( n +1) / 2 generadores en grado 2, nm ( m +1) / 2 + n ( n –1) ( n –2) / 6 en grado 3 y m ( m +1) n ( n –1) / 4 en grado 4.

Para el número de generadores del anillo de covariantes, el cambio m a m + 1.

Covariantes de una cuadrática y una cúbica

Hay 5 invariantes básicos y 15 covariantes básicos

Covariantes de un cuadrático y un cuartico

Hay 6 invariantes básicas y 18 covariantes básicas

Covariantes de una cuadrática y una quíntica

Hay 29 invariantes básicas y 92 covariantes básicas

Covariantes de un cúbico y un cuártico

Hay 20 invariantes básicas y 63 covariantes básicas

Covariantes de dos cuarticos

Hay 8 invariantes básicas (3 de grado 2, 4 de grado 3 y 1 de grado 4) y 28 covariantes básicas. (Gordan dio 30 covariantes, pero Sylvester demostró que dos de ellas son reducibles).

Covariantes de muchos cúbicos o cuárticos

Young (1899) dio los números de generadores de invariantes o covariantes .

Ver también

Ternario cúbico
Cuartico ternario

Referencias

^ a b Brouwer, invariantes y covariantes de cuánticos

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Brouwer, Andries E .; Popoviciu, Mihaela (2010b), "Los invariantes del decimal binario", Journal of Symbolic Computation , 45 (8): 837–843, arXiv : 1002.1008 , doi : 10.1016 / j.jsc.2010.03.002 , ISSN 0747-7171 , MR 2657667 , S2CID 12702092
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enlaces externos

Brouwer, Andries E., invariantes de formas binarias

[aeb-1] Brouwer, invariantes y covariantes de cuánticos