Considere la situación que se muestra en la siguiente figura. Las siguientes definiciones utilizan las notaciones que se muestran en la figura.
Cantidades utilizadas en la definición de medidas de estrés |
En la configuración de referencia , la normal exterior a un elemento de superficie es y la tracción que actúa sobre esa superficie es que conduce a un vector de fuerza . En la configuración deformada, el elemento de superficie cambia a con normal exterior y vector de tracción conduciendo a una fuerza . Tenga en cuenta que esta superficie puede ser un corte hipotético dentro del cuerpo o una superficie real. La cantidades el tensor del gradiente de deformación , es su determinante.
Estrés de Cauchy
La tensión de Cauchy (o tensión verdadera) es una medida de la fuerza que actúa sobre un elemento de área en la configuración deformada. Este tensor es simétrico y se define mediante
o
dónde es la tracción y es la normal a la superficie sobre la que actúa la tracción.
Estrés de Kirchhoff
La cantidad,
se llama tensor de tensión de Kirchhoff , con el determinante de . Se usa ampliamente en algoritmos numéricos en plasticidad de metales (donde no hay cambios de volumen durante la deformación plástica). También se puede llamar tensor de tensión de Cauchy ponderado .
Estrés de Piola-Kirchhoff
Estrés nominal / Primer estrés de Piola-Kirchhoff
El estrés nominal es la transposición de la primera tensión de Piola-Kirchhoff (tensión PK1, también llamada tensión de ingeniería) y se define a través de
o
Esta tensión es asimétrica y es un tensor de dos puntos como el gradiente de deformación.
La asimetría deriva del hecho de que, como tensor, tiene un índice adjunto a la configuración de referencia y otro a la configuración deformada. [4]
Segundo estrés de Piola-Kirchhoff
Si retrocedemos a la configuración de referencia, tenemos
o,
El estrés PK2 () es simétrico y se define mediante la relación
Por lo tanto,
Estrés biot
La tensión de Biot es útil porque es energía conjugada al tensor de estiramiento derecho. . La tensión de Biot se define como la parte simétrica del tensor. dónde es el tensor de rotación obtenido de una descomposición polar del gradiente de deformación. Por lo tanto, el tensor de tensión de Biot se define como
El estrés de Biot también se denomina estrés de Jaumann.
La cantidad no tiene ninguna interpretación física. Sin embargo, el estrés Biot asimétrico tiene la interpretación
Relaciones entre la tensión de Cauchy y la tensión nominal
De la fórmula de Nanson que relaciona áreas en la referencia y configuraciones deformadas:
Ahora,
Por eso,
o,
o,
En notación de índice,
Por lo tanto,
Tenga en cuenta que y son (generalmente) no simétricas porque (generalmente) no es simétrico.
Relaciones entre la tensión nominal y la segunda tensión P – K
Recordar que
y
Por lo tanto,
o (usando la simetría de ),
En notación de índice,
Alternativamente, podemos escribir
Relaciones entre el estrés de Cauchy y el segundo estrés P – K
Recordar que
En términos del estrés del segundo PK, tenemos
Por lo tanto,
En notación de índice,
Dado que la tensión de Cauchy (y por tanto la tensión de Kirchhoff) es simétrica, la tensión del segundo PK también es simétrica.
Alternativamente, podemos escribir
o,
Claramente, a partir de la definición de las operaciones de empuje hacia adelante y hacia atrás , tenemos
y
Por lo tanto, es el retroceso de por y es el empuje hacia adelante de .