La reciprocidad cuartica o bicuadrática es una colección de teoremas en la teoría de números elemental y algebraica que establecen condiciones bajo las cuales la congruencia x 4 ≡ p (mod q ) se puede resolver; la palabra "reciprocidad" proviene de la forma de algunos de estos teoremas, ya que relacionan la solubilidad de la congruencia x 4 ≡ p (mod q ) con la de x 4 ≡ q (mod p ).
Historia
Euler hizo las primeras conjeturas sobre la reciprocidad bicuadrática. [1] Gauss publicó dos monografías sobre reciprocidad bicuadrática. En el primero (1828) probó la conjetura de Euler sobre el carácter bicuadrático del 2. En el segundo (1832) estableció la ley de reciprocidad bicuadrática para los enteros gaussianos y probó las fórmulas complementarias. Dijo [2] que se publicaría una tercera monografía con la prueba del teorema general, pero nunca apareció. Jacobi presentó pruebas en sus conferencias de Königsberg de 1836-1837. [3] Las primeras pruebas publicadas fueron de Eisenstein. [4] [5] [6] [7]
Desde entonces, se han encontrado varias otras pruebas de la versión clásica (gaussiana), [8] así como enunciados alternativos. Lemmermeyer afirma que ha habido una explosión de interés en las leyes de reciprocidad racional desde la década de 1970. [A] [9]
Enteros
A quartic o residuo biquadratic (mod p ) es cualquier número congruente a la cuarta potencia de un número entero (mod p ). Si x 4 ≡ un (mod p ) no tiene una solución entera, una es una quartic o no residuo biquadratic (mod p ). [10]
Como suele ocurrir en la teoría de números, es más fácil trabajar con números primos módulo, por lo que en esta sección se supone que todos los módulos p , q , etc. son primos impares y positivos. [10]
Gauss
Lo primero que hay que notar cuando se trabaja dentro del anillo Z de enteros es que si el número primo q es ≡ 3 (mod 4) entonces un residuo r es un residuo cuadrático (mod q ) si y solo si es un residuo bicuadrático (mod q ). De hecho, el primer suplemento de reciprocidad cuadrática establece que −1 es un no residuo cuadrático (mod q ), de modo que para cualquier entero x , uno de x y - x es un residuo cuadrático y el otro no es un residuo. Por lo tanto, si r ≡ a 2 (mod q ) es un residuo cuadrático, entonces si a ≡ b 2 es un residuo, r ≡ a 2 ≡ b 4 (mod q ) es un residuo bicuadrático, y si a no es un residuo, - a es un residuo, - a ≡ b 2 , y nuevamente, r ≡ (- a ) 2 ≡ b 4 (mod q ) es un residuo bicuadrático. [11]
Por tanto, el único caso interesante es cuando el módulo p ≡ 1 ( módulo 4).
Gauss demostró [12] que si p ≡ 1 (mod 4), entonces las clases de residuos distintos de cero (mod p ) se pueden dividir en cuatro conjuntos, cada uno de los cuales contiene ( p −1) / 4 números. Sea e un no residuo cuadrático. El primer conjunto son los residuos cuárticos; el segundo es e veces los números del primer grupo, el tercero es e 2 veces los números del primer grupo y el cuarto es e 3 veces los números del primer grupo. Otra forma de describir esta división es hacer que g sea una raíz primitiva (mod p ); entonces el primer conjunto son todos los números cuyos índices con respecto a esta raíz son ≡ 0 (mod 4), el segundo conjunto son todos aquellos cuyos índices son ≡ 1 (mod 4), etc. [13] En el vocabulario de la teoría de grupos , el primer conjunto es un subgrupo del índice 4 (del grupo multiplicativo Z / p Z × ), y los otros tres son sus clases laterales.
El primer conjunto son los residuos bicuadráticos, el tercer conjunto son los residuos cuadráticos que no son residuos cuárticos, y el segundo y cuarto conjuntos son los no residuos cuadráticos. Gauss demostró que −1 es un residuo bicuadrático si p ≡ 1 (mod 8) y un residuo cuadrático, pero no bicuadrático, cuando p ≡ 5 (mod 8). [14]
2 es un residuo cuadrático mod p si y solo si p ≡ ± 1 (mod 8). Dado que p también es ≡ 1 (mod 4), esto significa p ≡ 1 (mod 8). Cada primo es la suma de un cuadrado y dos veces un cuadrado. [15]
Gauss demostró [14]
Sea q = a 2 + 2 b 2 ≡ 1 (mod 8) un número primo. Luego
- 2 es un residuo bicuadrático (mod q ) si y solo si a ≡ ± 1 (mod 8), y
- 2 es un residuo cuadrático, pero no bicuadrático, (mod q ) si y solo si a ≡ ± 3 (mod 8).
Cada primo p ≡ 1 (mod 4) es la suma de dos cuadrados. [16] Si p = a 2 + b 2 donde a es impar y b es par, Gauss demostró [17] que
2 pertenece a la primera (respectivamente segunda, tercera o cuarta) clase definida anteriormente si y solo si b ≡ 0 (resp. 2, 4 o 6) (mod 8). El primer caso de esto es una de las conjeturas de Euler:
- 2 es un residuo bicuadrático de un primo p ≡ 1 (mod 4) si y solo si p = a 2 + 64 b 2 .
Dirichlet
Para un número primo impar py un residuo cuadrático a (mod p ), el criterio de Euler establece queentonces si p ≡ 1 (mod 4),
Defina el símbolo de residuo cuártico racional para el primo p ≡ 1 (mod 4) y el residuo cuadrático a (mod p ) comoEs fácil probar que a es un residuo bicuadrático (mod p ) si y solo si
Dirichlet [18] simplificó la prueba de Gauss del carácter bicuadrático de 2 (su demostración solo requiere reciprocidad cuadrática para los enteros) y puso el resultado en la siguiente forma:
Sea p = a 2 + b 2 ≡ 1 (mod 4) primo, y sea i ≡ b / a (mod p ). Luego
- (Tenga en cuenta que i 2 ≡ −1 (mod p ).)
De hecho, [19] sea p = a 2 + b 2 = c 2 + 2 d 2 = e 2 - 2 f 2 ≡ 1 (mod 8) sea primo y suponga que a es impar. Luego
Yendo más allá del carácter de 2, sea el primo p = a 2 + b 2 donde b es par, y sea q un primo tal que La reciprocidad cuadrática dice que dónde Sea σ 2 ≡ p (mod q ). Entonces [20]
- Esto implica [21] que
Los primeros ejemplos son: [22]
Euler había conjeturado las reglas para 2, −3 y 5, pero no probó ninguna de ellas.
Dirichlet [23] también demostró que si p ≡ 1 (mod 4) es primo y luego
Brown y Lehmer han ampliado este período de 17 a 17, 73, 97 y 193. [24]
Carga
Hay varias formas equivalentes de enunciar la ley de reciprocidad bicuadrática racional de Burde.
Todos ellos asumen que p = un 2 + b 2 y q = c 2 + d 2 son números primos, donde b y d son incluso, y que
La versión de Gosset es [9]
Dejando i 2 ≡ −1 (mod p ) y j 2 ≡ −1 (mod q ), la ley de Frölich es [25]
Burde declaró el suyo en la forma: [26] [27] [28]
Tenga en cuenta que [29]
Miscelánea
Sea p ≡ q ≡ 1 (mod 4) primos y suponga. Entonces e 2 = pf 2 + qg 2 tiene soluciones enteras no triviales, y [30]
Sea p ≡ q ≡ 1 (mod 4) primos y suponga que p = r 2 + qs 2 . Entonces [31]
Sea p = 1 + 4 x 2 primo, sea a cualquier número impar que divida x , y seaEntonces [32] a * es un residuo bicuadrático (mod p ).
Sea p = a 2 + 4 b 2 = c 2 + 2 d 2 ≡ 1 (mod 8) ser primo. Entonces [33] todos los divisores de c 4 - pa 2 son residuos bicuadráticos (mod p ). Lo mismo es cierto para todos los divisores de d 4 - pb 2 .
Enteros gaussianos
Fondo
En su segunda monografía sobre reciprocidad bicuadrática, Gauss muestra algunos ejemplos y hace conjeturas que implican los teoremas enumerados anteriormente para el carácter bicuadrático de los números primos pequeños. Hace algunas observaciones generales y admite que no hay una regla general obvia en el trabajo. Él continúa diciendo
Los teoremas sobre residuos bicuadráticos brillan con la mayor simplicidad y genuina belleza solo cuando el campo de la aritmética se extiende a los números imaginarios , de modo que sin restricción, los números de la forma a + bi constituyen el objeto de estudio ... números complejos integrales . [34] [negrita en el original]
Estos números ahora se denominan el anillo de los enteros gaussianos , denotados por Z [ i ]. Tenga en cuenta que i es una cuarta raíz de 1.
En una nota a pie de página, agrega
La teoría de residuos cúbicos debe basarse de manera similar en una consideración de números de la forma a + bh donde h es una raíz imaginaria de la ecuación h 3 = 1 ... y de manera similar la teoría de residuos de potencias superiores conduce a la introducción de otras cantidades imaginarias. [35]
Los números construidos a partir de una raíz cúbica de la unidad se denominan ahora el anillo de los enteros de Eisenstein . Las "otras cantidades imaginarias" necesarias para la "teoría de residuos de potencias superiores" son los anillos de números enteros de los campos de números ciclotómicos ; los enteros de Gauss y Eisenstein son los ejemplos más simples de estos.
Hechos y terminología
Gauss desarrolla la teoría aritmética de los "números complejos integrales" y muestra que es bastante similar a la aritmética de los enteros ordinarios. [36] Aquí es donde los términos unidad, asociado, norma y primario se introdujeron en las matemáticas.
Las unidades son los números que dividen 1. [37] Son 1, i , −1 y - i . Son similares a 1 y −1 en los enteros ordinarios, ya que dividen todos los números. Las unidades son las potencias de i .
Dado un número λ = a + bi , su conjugado es a - bi y sus asociados son los cuatro números [37]
- λ = + a + bi
- yo λ = - b + ai
- −λ = - a - bi
- - yo λ = + b - ai
Si λ = a + bi , la norma de λ, escrita Nλ, es el número a 2 + b 2 . Si λ y μ son dos enteros gaussianos, Nλμ = Nλ Nμ; en otras palabras, la norma es multiplicativa. [37] La norma de cero es cero, la norma de cualquier otro número es un entero positivo. ε es una unidad si y solo si Nε = 1. La raíz cuadrada de la norma de λ, un número real no negativo que puede no ser un entero gaussiano, es el valor absoluto de lambda.
Gauss demuestra que Z [ i ] es un dominio de factorización único y muestra que los números primos se dividen en tres clases: [38]
- 2 es un caso especial: 2 = i 3 (1 + i ) 2 . Es el único primo en Z divisible por el cuadrado de un primo en Z [ i ]. En la teoría algebraica de números, se dice que 2 se ramifica en Z [ i ].
- Los primos positivos en Z ≡ 3 (mod 4) también son primos en Z [ i ]. En la teoría algebraica de números, se dice que estos números primos permanecen inertes en Z [ i ].
- Los primos positivos en Z ≡ 1 (mod 4) son el producto de dos primos conjugados en Z [ i ]. En la teoría algebraica de números, se dice que estos números primos se dividen en Z [ i ].
Así, los primos inertes son 3, 7, 11, 19, ... y una factorización de los primos divididos es
- 5 = (2 + i ) × (2 - i ),
- 13 = (2 + 3 i ) × (2-3 i ),
- 17 = (4 + i ) × (4 - i ),
- 29 = (2 + 5 i ) × (2-5 i ), ...
Los asociados y el conjugado de un primo también son primos.
Tenga en cuenta que la norma de un primo inerte q es N q = q 2 ≡ 1 (mod 4); por tanto, la norma de todos los primos distintos de 1 + i y sus asociados es ≡ 1 (mod 4).
Gauss llama impar a un número en Z [ i ] si su norma es un número entero impar. [39] Por tanto, todos los números primos excepto 1 + i y sus asociados son impares. El producto de dos números impares es impar y el conjugado y los asociados de un número impar son impares.
Para enunciar el teorema de factorización única, es necesario tener una forma de distinguir uno de los asociados de un número. Gauss define [40] un número impar como primario si es ≡ 1 (mod (1 + i ) 3 ). Es sencillo demostrar que cada número impar tiene exactamente un asociado principal. Un número impar λ = a + bi es primario si a + b ≡ a - b ≡ 1 (mod 4); es decir, a ≡ 1 y b ≡ 0, o a ≡ 3 y b ≡ 2 (mod 4). [41] El producto de dos números primarios es primario y el conjugado de un número primario también es primario.
El teorema de factorización único [42] para Z [ i ] es: si λ ≠ 0, entonces
donde 0 ≤ μ ≤ 3, ν ≥ 0, los π i s son primos primarios y los α i s ≥ 1, y esta representación es única, hasta el orden de los factores.
Las nociones de congruencia [43] y máximo común divisor [44] se definen de la misma forma en Z [ i ] como lo son para los números enteros ordinaria Z . Debido a que las unidades dividen todos los números, una congruencia (mod λ) también es verdadera módulo cualquier asociado de λ, y cualquier asociado de un MCD es también un MCD.
Carácter de residuo cuartico
Gauss demuestra el análogo del teorema de Fermat : si α no es divisible por un primo impar π, entonces [45]
Dado que Nπ ≡ 1 (mod 4), tiene sentido, y para una unidad única i k .
Esta unidad se llama el quartic o carácter residuo biquadratic de α (π mod) y se designa por [46] [47]
Tiene propiedades formales similares a las del símbolo de Legendre . [48]
- La congruencia se puede resolver en Z [ i ] si y solo si [49]
- donde la barra denota conjugación compleja .
- si π y θ son asociados,
- si α ≡ β (mod π),
El carácter bicuadrático se puede extender a números compuestos impares en el "denominador" de la misma manera que el símbolo de Legendre se generaliza en el símbolo de Jacobi . Como en ese caso, si el "denominador" es compuesto, el símbolo puede ser igual a uno sin que la congruencia se pueda resolver:
- dónde
- Si un y b son números enteros ordinarios, un ≠ 0, | b | > 1, mcd ( a , b ) = 1, luego [50]
Declaraciones del teorema
Gauss declaró la ley de reciprocidad bicuadrática de esta forma: [2] [51]
Sean π y θ primos primarios distintos de Z [ i ]. Luego
- si π o θ o ambos son ≡ 1 (mod 4), entonces pero
- si tanto π como θ son ≡ 3 + 2 i (mod 4), entonces
Así como la ley de reciprocidad cuadrática para el símbolo de Legendre también es válida para el símbolo de Jacobi, el requisito de que los números sean primos no es necesario; basta con que sean extrañas no unidades relativamente primarias. [52] Probablemente la declaración más conocida es:
Sean π y θ primarios no unidades primos relativos. Entonces [53]
Hay teoremas suplementarios [54] [55] para las unidades y el primo medio par 1 + i .
si π = a + bi es un primo primario, entonces
y por lo tanto
Además, si π = a + bi es un primo primario, y b ≠ 0 entonces [56]
- (si b = 0 el símbolo es 0).
Jacobi definió π = a + bi como primario si a ≡ 1 (mod 4). Con esta normalización, la ley toma la forma [57]
Sea α = a + bi y β = c + di donde a ≡ c ≡ 1 (mod 4) yb y d son incluso no unidades primas relativas. Luego
La siguiente versión se encontró en los manuscritos inéditos de Gauss. [58]
Sea α = a + 2 bi y β = c + 2 di donde a y c son impares y no unidades primas relativas. Luego
La ley se puede enunciar sin utilizar el concepto de primaria:
Si λ es impar, sea ε (λ) la unidad única congruente con λ (mod (1 + i ) 3 ); es decir, ε (λ) = i k ≡ λ (mod 2 + 2 i ), donde 0 ≤ k ≤ 3. Entonces [59] para α y β impares y relativamente primos, ninguno por unidad,
Para λ impar, deje Entonces, si λ y μ son no unidades relativamente primos, Eisenstein demostró [60]
Ver también
- Reciprocidad cuadrática
- Reciprocidad cúbica
- Reciprocidad óctica
- Reciprocidad de Eisenstein
- Reciprocidad Artin
Notas
- R. ^ Aquí, "racional" significa leyes que se expresan en términos de números enteros ordinarios en lugar de en términos de números enteros de algún campo numérico algebraico .
Referencias
- ^ Euler, Tractatus , § 456
- ^ a b Gauss, BQ, § 67
- ^ Lemmermeyer, pág. 200
- ^ Eisenstein, Lois de reciprocite
- ^ Eisenstein, Einfacher Beweis ...
- ^ Eisenstein, Application de l'algebre ...
- ^ Eisenstein, Beitrage zur Theorie der elliptischen ...
- ^ Lemmermeyer, págs. 199–202
- ↑ a b Lemmermeyer, pág. 172
- ^ a b Gauss, BQ § 2
- ^ Gauss, BQ § 3
- ^ Gauss, BQ §§ 4–7
- ^ Gauss, BQ § 8
- ^ a b Gauss, BQ § 10
- ^ Gauss, DA Art. 182
- ^ Gauss, DA, art. 182
- ^ Gauss BQ §§ 14-21
- ^ Dirichlet, demostración ...
- ^ Lemmermeyer, Prop. 5.4
- ^ Lemmermeyer, Prop. 5.5
- ^ Lemmermeyer, ej. 5,6
- ^ Lemmmermeyer, págs. 159, 190
- ^ Dirichlet, Untersuchungen ...
- ^ Lemmermeyer, ej. 5.19
- ^ Lemmermeyer, pág. 173
- ^ Lemmermeyer, pág. 167
- ^ Irlanda y Rosen pp.128-130
- ^ Burde, K. (1969). "Ein rationales biquadratisches Reziprozitätsgesetz". J. Reine Angew. Matemáticas. (en alemán). 235 : 175-184. Zbl 0169.36902 .
- ^ Lemmermeyer, ej. 5.13
- ^ Lemmermeyer, ej. 5.5
- ^ Lemmermeyer, ej. 5.6, acreditado a Brown
- ^ Lemmermeyer, ej. 6.5, acreditado a Sharifi
- ^ Lemmermeyer, ej. 6.11, acreditado a E. Lehmer
- ^ Gauss, BQ, § 30, traducción en Cox, p. 83
- ^ Gauss, BQ, § 30, traducción en Cox, p. 84
- ^ Gauss, BQ, §§ 30–55
- ^ a b c Gauss, BQ, § 31
- ^ Gauss, BQ, §§ 33–34
- ↑ Gauss, BQ, § 35. Define los números "pares a la mitad" como los divisibles por 1 + i pero no entre 2, y los números "pares" como los divisibles por 2.
- ^ Gauss, BQ, § 36
- ^ Irlanda y Rosen, cap. 9,7
- ^ Gauss, BQ, § 37
- ^ Gauss, BQ, §§ 38–45
- ^ Gauss, BQ, §§ 46–47
- ^ Gauss, BQ, § 51
- ^ Gauss definió el carácter como el exponente k en lugar de la unidad i k ; además, no tenía ningún símbolo para el personaje.
- ^ No existe una notación estándar para caracteres de residuo superior en diferentes dominios (ver Lemmermeyer, p. Xiv); este artículo sigue a Lemmermeyer, cap. 5-6
- ^ Irlanda y Rosen, Prop 9.8.3
- ^ Gauss, BQ, § 61
- ^ Irlanda y Rosen, Prop. 9.8.3, Lemmermeyer, Prop. 6.8
- ^ las pruebas están en Lemmermeyer, cap. 6 y 8, Irlanda y Rosen, cap. 9,7–9,10
- ^ Lemmermeyer, Th. 69.
- ↑ Lemmermeyer, cap. 6, Irlanda y Rosen cap. 9,7–9,10
- ^ Lemmermeyer, Th. 6,9; Irlanda y Rosen, Ex. 9,32–9,37
- ^ Gauss prueba la ley para 1 + i en BQ, §§ 68–76
- ^ Irlanda y Rosen, ej. 9,30; Lemmermeyer, ej. 6.6, donde se acredita a Jacobi
- ^ Lemmermeyer, Th. 6,9
- ^ Lemmermeyer, ej. 6.17
- ^ Lemmermeyer, ej. 6.18 y p. 275
- ^ Lemmermeyer, cap. 8.4, ej. 8.19
Literatura
Las referencias a los artículos originales de Euler, Dirichlet y Eisenstein se copiaron de las bibliografías de Lemmermeyer y Cox y no se utilizaron en la preparación de este artículo.
Euler
- Euler, Leonhard (1849), Tractatus de numeroroum doctrina capita sedecim quae supersunt , Comentario. Aritmet. 2
En realidad, esto se escribió entre 1748 y 1750, pero solo se publicó póstumamente; Está en el Vol. V, págs. 182-283 de
- Euler, Leonhard (1911-1944), Opera Omnia, Serie prima, Vols I – V , Leipzig y Berlín: Teubner
Gauss
Las dos monografías que publicó Gauss sobre la reciprocidad bicuadrática tienen secciones numeradas consecutivamente: la primera contiene §§ 1–23 y la segunda §§ 24–76. Las notas a pie de página que hacen referencia a estos son de la forma "Gauss, BQ, § n ". Las notas a pie de página que hacen referencia a las Disquisitiones Arithmeticae tienen la forma "Gauss, DA, Art. N ".
- Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima , Göttingen: comentario. Soc. regiae sci, Gotinga 6
- Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda , Göttingen: comentario. Soc. regiae sci, Gotinga 7
Estos se encuentran en el Werke de Gauss , Vol II, págs. 65-92 y 93-148.
Las traducciones al alemán se encuentran en las páginas 511–533 y 534–586 de las siguientes, que también tienen las Disquisitiones Arithmeticae y otros artículos de Gauss sobre teoría de números.
- Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (traductor al alemán) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae y otros artículos sobre teoría de números) (segunda edición) , Nueva York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8
Eisenstein
- Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844), Lois de réciprocité (PDF) , J. Reine Angew. Matemáticas. 28, págs. 53–67 (Diario de Crelle)
- Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1844), Einfacher Beweis und Verallgemeinerung des Fundamentaltheorems für die biquadratischen Reste , J. Reine Angew. Matemáticas. 28 págs. 223–245 (Diario de Crelle)
- Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1845), Application de l'algèbre à l'arithmétique trascendante , J. Reine Angew. Matemáticas. 29 págs. 177-184 (Diario de Crelle)
- Eisenstein, Ferdinand Gotthold (1846), Beiträge zur Theorie der elliptischen Funktionen I: Ableitung des biquadratischen Fundalmentaltheorems aus der Theorie der Lemniskatenfunctionen, nebst Bemerkungen zu den Multiplications- und Transformationsforme Angeln. Matemáticas. 30 págs. 185-210 (Diario de Crelle)
Estos documentos están todos en el Vol I de su Werke .
Dirichlet
- Dirichlet, Pierre Gustave LeJeune (1832), Démonstration d'une propriété analogue à la loi de Réciprocité qui existe entre deux nombres premiers quelconques , J. Reine Angew. Matemáticas. 9 págs. 379–389 (Diario de Crelle)
- Dirichlet, Pierre Gustave LeJeune (1833), Untersuchungen über die Theorie der quadratischen Formen , Abh. Königl. Preuss. Akad. Wiss. págs. 101-121
ambos están en el Vol I de su Werke .
Autores modernos
- Cox, David A. (1989), Primes de la forma x 2 + ny 2 , Nueva York: Wiley, ISBN 0-471-50654-0
- Irlanda, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory (Segunda edición) , Nueva York: Springer , ISBN 0-387-97329-X
- Lemmermeyer, Franz (2000), Leyes de reciprocidad: de Euler a Eisenstein , Berlín: Springer, doi : 10.1007 / 978-3-662-12893-0 , ISBN 3-540-66957-4
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Teorema de reciprocidad bicuadrática" . MathWorld .
Estos dos artículos de Franz Lemmermeyer contienen pruebas de la ley de Burde y resultados relacionados:
- Reciprocidad cuartica racional
- Reciprocidad cuartica racional II