En la teoría de la probabilidad , un proceso de nacimiento o un proceso de nacimiento puro [1] es un caso especial de un proceso de Markov de tiempo continuo y una generalización de un proceso de Poisson . Define un proceso continuo que toma valores en los números naturales y solo puede aumentar en uno (un "nacimiento") o permanecer sin cambios. Este es un tipo de proceso de nacimiento-muerte sin muertes. La velocidad a la que ocurren los nacimientos está dada por una variable aleatoria exponencial cuyo parámetro depende solo del valor actual del proceso.
Definición
Definición de tasas de natalidad
Un proceso de nacimiento con tasas de natalidad y valor inicial es un proceso mínimo correcto continuo tal que y los tiempos entre llegadas son variables aleatorias exponenciales independientes con parámetro. [2]
Definición infinitesimal
Un proceso de nacimiento con tasas y valor inicial es un proceso tal que:
- es independiente de
(La tercera y cuarta condición usan poca notación o ).
Estas condiciones aseguran que el proceso comience en , no disminuye y tiene nacimientos individuales independientes continuamente a una tasa , cuando el proceso tiene valor . [3]
Definición de cadena de Markov en tiempo continuo
Un proceso de nacimiento se puede definir como un proceso de Markov de tiempo continuo (CTMC) con las entradas de la matriz Q distintas de cero y distribución inicial (la variable aleatoria que toma valor con probabilidad 1). [4]
Variaciones
Algunos autores requieren que un proceso de nacimiento comience desde 0, es decir, que , [3] mientras que otros permiten que el valor inicial sea dado por una distribución de probabilidad sobre los números naturales. [2] El espacio de estado puede incluir el infinito, en el caso de un proceso de nacimiento explosivo. [2] Las tasas de natalidad también se denominan intensidades. [3]
Propiedades
En cuanto a las CTMC, un proceso de nacimiento tiene la propiedad de Markov . Las definiciones de la CTMC para clases comunicativas, irreductibilidad, etc. se aplican a los procesos de nacimiento. Según las condiciones de recurrencia y transitoriedad de un proceso de nacimiento-muerte , [5] cualquier proceso de nacimiento es transitorio. Las matrices de transiciónde un proceso de nacimiento satisfacen las ecuaciones hacia adelante y hacia atrás de Kolmogorov .
Las ecuaciones al revés son: [6]
- (por )
Las ecuaciones hacia adelante son: [7]
- (por )
- (por )
De las ecuaciones hacia adelante se sigue que: [7]
- (por )
- (por )
A diferencia de un proceso de Poisson, un proceso de nacimiento puede tener un número infinito de nacimientos en una cantidad de tiempo finita. Definimos y decir que un proceso de nacimiento explota si es finito. Sientonces el proceso es explosivo con probabilidad 1; de lo contrario, no es explosivo con probabilidad 1 ("honesto"). [8] [9]
Ejemplos de
Un proceso de Poisson es un proceso de nacimiento donde las tasas de natalidad son constantes, es decir, para algunos . [3]
Proceso de nacimiento simple
Un proceso de nacimiento simple es un proceso de nacimiento con tasas. [10] Modela una población en la que cada individuo da a luz de forma repetida e independiente a un ritmo. Udny Yule estudió los procesos, por lo que pueden conocerse como procesos de Yule . [11]
El número de nacimientos en el tiempo. a partir de un simple proceso de nacimiento de la población viene dado por: [3]
En forma exacta, el número de nacimientos es la distribución binomial negativa con parámetros y . Para el caso especial, esta es la distribución geométrica con tasa de éxito. [12]
La expectativa del proceso crece exponencialmente; específicamente, si luego . [10]
Un proceso de nacimiento simple con inmigración es una modificación de este proceso con tarifas . Esto modela una población con nacimientos por cada miembro de la población además de una tasa constante de inmigración al sistema. [3]
Notas
- ^ Upton y Cook (2014) , proceso de nacimiento y muerte.
- ↑ a b c Norris (1997) , p. 81.
- ↑ a b c d e f Grimmett y Stirzaker (1992) , p. 232.
- ^ Norris (1997) , p. 81–82.
- ^ Karlin y McGregor (1957) .
- ↑ Ross (2010) , p. 386.
- ↑ a b Ross (2010) , p. 389.
- ^ Norris (1997) , p. 83.
- ^ Grimmett y Stirzaker (1992) , p. 234.
- ↑ a b Norris (1997) , p. 82.
- ↑ Ross (2010) , p. 375.
- ↑ Ross (2010) , p. 383.
Referencias
- Grimmett, GR ; Stirzaker, DR (1992). Probabilidad y procesos aleatorios (segunda ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0198572220.
- Karlin, Samuel ; McGregor, James (1957). "La clasificación de los procesos de nacimiento y muerte" (PDF) . Transacciones de la American Mathematical Society . 86 (2): 366–400.
- Norris, JR (1997). Cadenas de Markov . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780511810633.
- Ross, Sheldon M. (2010). Introducción a los modelos de probabilidad (décima ed.). Prensa académica. ISBN 9780123756862.
- Upton, G .; Cook, I. (2014). Diccionario de estadística (tercera edición). ISBN 9780191758317.