En el contexto de un proceso de Markov de tiempo continuo , las ecuaciones de Kolmogorov , incluidas las ecuaciones hacia adelante y hacia atrás de Kolmogorov , son un par de sistemas de ecuaciones diferenciales que describen la evolución temporal de la probabilidad. , dónde (el espacio de estado) y son el tiempo final e inicial respectivamente.
Las ecuaciones
Para el caso del espacio de estado contable ponemos en lugar de . Kolmogorov ecuaciones adelante leídos
- ,
dónde es la matriz de tasa de transición (también conocida como matriz generadora),
mientras que las ecuaciones hacia atrás de Kolmogorov son
Las funciones son continuos y diferenciables en ambos argumentos de tiempo. Representan la probabilidad de que el sistema que estaba en estado en el momento salta al estado en algún momento posterior . Las cantidades continuas satisfacer
Fondo
La derivación original de las ecuaciones de Kolmogorov [1] comienza con la ecuación de Chapman-Kolmogorov (Kolmogorov la llamó ecuación fundamental ) para procesos de Markov diferenciables y continuos en el tiempo en un espacio de estado finito y discreto. En esta formulación, se supone que las probabilidades son funciones continuas y diferenciables de . También se asumen propiedades límite adecuadas para las derivadas. Feller [2] deriva las ecuaciones bajo condiciones ligeramente diferentes, comenzando con el concepto de proceso de Markov puramente discontinuo y formulándolos para espacios de estados más generales. Feller [2] demuestra la existencia de soluciones de carácter probabilístico para las ecuaciones hacia adelante de Kolmogorov y las ecuaciones hacia atrás de Kolmogorov en condiciones naturales.
Relación con la función generadora
Todavía en el caso del estado discreto, dejando y suponiendo que el sistema inicialmente se encuentra en estado , Las ecuaciones progresivas de Kolmogorov describen un problema de valor inicial para encontrar las probabilidades del proceso, dadas las cantidades. Nosotros escribimos dónde , luego
Para el caso de un proceso de muerte pura con tasas constantes, los únicos coeficientes distintos de cero son . Dejando
En este caso, el sistema de ecuaciones puede reformularse como una ecuación diferencial parcial para con condición inicial . Después de algunas manipulaciones, el sistema de ecuaciones dice: [3]
Historia
Se puede encontrar una breve nota histórica en las ecuaciones de Kolmogorov .
Ver también
Referencias
- ^ Kolmogoroff, A. (1931). "Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung". Mathematische Annalen . 104 : 415–458. doi : 10.1007 / BF01457949 .
- ^ a b Feller, Willy (1940) "Sobre las ecuaciones integro-diferenciales de los procesos de marcación puramente discontinuos", Transacciones de la American Mathematical Society , 48 (3), 488-515 JSTOR 1990095
- ^ Bailey, Norman TJ (1990) Los elementos de los procesos estocásticos con aplicaciones a las ciencias naturales , Wiley. ISBN 0-471-52368-2 (página 90)