Las coordenadas bisféricas son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales que resulta de la rotación del sistema de coordenadas bipolar bidimensional alrededor del eje que conecta los dos focos. Así, los dos focos y en coordenadas bipolares siguen siendo puntos (en el-eje, el eje de rotación) en el sistema de coordenadas bisféricas.
Ilustración de coordenadas bisféricas, que se obtienen al girar un
sistema de coordenadas bipolar bidimensional sobre el eje que une sus dos focos. Los focos se encuentran a una distancia 1 del eje
z vertical . El toro rojo que se interseca automáticamente es la isosuperficie σ = 45 °, la esfera azul es la isosuperficie τ = 0.5 y el semiplano amarillo es la isosuperficie φ = 60 °. El semiplano verde marca el plano
x -
z , desde el cual se mide φ. El punto negro está ubicado en la intersección de las isosuperficies roja, azul y amarilla, en coordenadas cartesianas aproximadamente (0.841, -1.456, 1.239).
La definición más común de coordenadas bisféricas es
donde el coordenada de un punto es igual al ángulo y el coordenada es igual al logaritmo natural de la razón de las distancias y a los focos
Superficies coordinadas
Superficies de constante corresponden a toros de intersección de diferentes radios
que todos pasan por los focos pero no son concéntricos. Las superficies de constante son esferas que no se cruzan de diferentes radios
que rodean los focos. Los centros de la constante esferas se encuentran a lo largo del -eje, mientras que la constante- tori están centrados en el avión.
Fórmulas inversas
Las fórmulas para la transformación inversa son:
dónde y
Factores de escala
Los factores de escala para las coordenadas bisféricas y son iguales
mientras que el factor de escala azimutal es igual a
Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal es igual a
y el laplaciano está dado por
Otros operadores diferenciales como y se puede expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales .
Las aplicaciones clásicas de las coordenadas bisféricas se encuentran en la resolución de ecuaciones diferenciales parciales , por ejemplo, la ecuación de Laplace , para la cual las coordenadas bisféricas permiten una separación de variables . Sin embargo, la ecuación de Helmholtz no es separable en coordenadas bisféricas. Un ejemplo típico sería el campo eléctrico que rodea a dos esferas conductoras de diferentes radios.