En el análisis complejo , el producto de Blaschke es una función analítica acotada en el disco unitario abierto construido para tener ceros en una secuencia (finita o infinita) de números complejos prescritos .
- un 0 , un 1 , ...
dentro del disco de la unidad .
Los productos Blaschke fueron introducidos por Wilhelm Blaschke ( 1915 ). Están relacionados con los espacios Hardy .
Definición
Una secuencia de puntos se dice que dentro del disco de la unidad satisface la condición de Blaschke cuando
Dada una secuencia que obedece a la condición de Blaschke, el producto de Blaschke se define como
con factores
proporcionó un ≠ 0. Aquíes el complejo conjugado de a . Cuando a = 0, tome B ( 0 , z ) = z .
El producto de Blaschke B ( z ) define una función analítica en el disco unitario abierto, y cero exactamente en la a n (con multiplicidad contada): además, está en la clase Hardy. [1]
La secuencia de una n que satisface el criterio de convergencia anterior a veces se denomina secuencia de Blaschke .
Teorema de Szegő
Un teorema de Gábor Szegő establece que si f está en, el espacio de Hardy con norma integrable, y si f no es idénticamente cero, entonces los ceros de f (ciertamente contables en número) satisfacen la condición de Blaschke.
Productos Finite Blaschke
Los productos Finite Blaschke se pueden caracterizar (como funciones analíticas en el disco unitario) de la siguiente manera: Suponga que f es una función analítica en el disco unitario abierto, de modo que f puede extenderse a una función continua en el disco unitario cerrado
que mapea el círculo unitario a sí mismo. Entonces ƒ es igual a un producto de Blaschke finito
donde ζ se encuentra en el círculo unitario y m i es la multiplicidad del cero a i , | a i | <1. En particular, si ƒ satisface la condición anterior y no tiene ceros dentro del círculo unitario, entonces ƒ es constante (este hecho también es una consecuencia del principio máximo para funciones armónicas , aplicado a la función armónica log (| ƒ ( z ) |)).
Ver también
Referencias
- ↑ Conway (1996) 274
- W. Blaschke, Eine Erweiterung des Satzes von Vitali über Folgen analytischer Funktionen Berichte Math.-Phys. Kl., Sächs. Gesell. der Wiss. Leipzig, 67 (1915) págs. 194-200
- Peter Colwell, Blaschke Products - Bounded Analytic Functions (1985), University of Michigan Press, Ann Arbor, 140 páginas. ISBN 0-472-10065-3
- Conway, John B. Funciones de una variable compleja II . Textos de Posgrado en Matemáticas . 159 . Springer-Verlag . págs. 273–274. ISBN 0-387-94460-5.
- Tamrazov, PM (2001) [1994], "Producto Blaschke" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press