En los campos matemáticos de las ecuaciones diferenciales parciales y el análisis geométrico , el principio de máximo se refiere a una colección de resultados y técnicas de fundamental importancia en el estudio de las ecuaciones diferenciales elípticas y parabólicas .
En el caso más simple, considere una función de dos variables u ( x , y ) tal que
El principio del máximo débil , en este contexto, dice que para cualquier subconjunto abierto precompacto M del dominio de T , el máximo de U sobre el cierre de M se logra en el límite de M . El principio de máximo fuerte dice que, a menos que u sea una función constante, el máximo no se puede alcanzar también en ninguna parte de M mismo.
Tales declaraciones dan una imagen cualitativa sorprendente de las soluciones de la ecuación diferencial dada. Esta imagen cualitativa puede extenderse a muchos tipos de ecuaciones diferenciales. En muchas situaciones, también se pueden utilizar estos principios máximos para sacar conclusiones cuantitativas precisas sobre soluciones de ecuaciones diferenciales, como el control sobre el tamaño de su gradiente . No existe un principio máximo único o más general que se aplique a todas las situaciones a la vez.
En el campo de la optimización convexa , hay una declaración análoga que afirma que el máximo de una función convexa en un conjunto convexo compacto se alcanza en la frontera . [1]
Intuición
Una formulación parcial del principio máximo fuerte
Aquí consideramos el caso más simple, aunque el mismo pensamiento puede extenderse a escenarios más generales. Sea M un subconjunto abierto del espacio euclidiano y sea u una función C 2 en M tal que
donde para cada i y j entre 1 y n , a ij es una función en M con a ij = a ji .
Solucionar algunos elección de x en M . Según el teorema espectral del álgebra lineal, todos los valores propios de la matriz [ a ij ( x )] son reales y existe una base ortonormal de ℝ n que consta de vectores propios. Denote los autovalores por λ i y los autovectores correspondientes por v i , para i de 1 a n . Entonces, la ecuación diferencial, en el punto x , puede reformularse como
La esencia del principio máximo es la simple observación de que si cada valor propio es positivo (lo que equivale a una determinada formulación de "elipticidad" de la ecuación diferencial), la ecuación anterior impone un cierto equilibrio de las segundas derivadas direccionales de la solución. En particular, si una de las segundas derivadas direccionales es negativa, otra debe ser positiva. En un punto hipotético donde u se maximiza, todas las segundas derivadas direccionales son automáticamente no positivas, y el "equilibrio" representado por la ecuación anterior requiere que todas las segundas derivadas direccionales sean idénticamente cero.
Se podría argumentar que este razonamiento elemental representa una formulación infinitesimal del principio máximo fuerte, que establece, bajo algunos supuestos adicionales (como la continuidad de a ), que u debe ser constante si hay un punto de M donde u está maximizado.
Tenga en cuenta que el razonamiento anterior no se ve afectado si se considera la ecuación diferencial parcial más general
ya que el término agregado es automáticamente cero en cualquier punto máximo hipotético. El razonamiento tampoco se ve afectado si se considera la condición más general
en el que incluso se puede notar el fenómeno adicional de tener una contradicción absoluta si hay una desigualdad estricta ( > en lugar de ≥ ) en esta condición en el punto máximo hipotético. Este fenómeno es importante en la prueba formal del principio de máximo débil clásico.
No aplicabilidad del principio máximo fuerte
Sin embargo, el razonamiento anterior ya no se aplica si se considera la condición
ya que ahora la condición de "equilibrio", evaluada en un punto máximo hipotético de u , sólo dice que un promedio ponderado de cantidades manifiestamente no positivas es no positivo. Esto es trivialmente cierto, por lo que no se puede sacar ninguna conclusión que no sea trivial. Esto se refleja en numerosos ejemplos concretos, como el hecho de que
y en cualquier región abierta que contenga el origen, la función - x 2 - y 2 ciertamente tiene un máximo.
El principio de máximo débil clásico para PDE elíptica lineal
La idea esencial
Sea M un subconjunto abierto del espacio euclidiano. Si una función suavese maximiza en un punto p , entonces uno tiene automáticamente:
- como una matriz de desigualdad.
Se puede ver una ecuación diferencial parcial como la imposición de una relación algebraica entre las diversas derivadas de una función. Entonces, si u es la solución de una ecuación diferencial parcial, entonces es posible que las condiciones anteriores en la primera y segunda derivadas de u formen una contradicción con esta relación algebraica. Ésta es la esencia del principio máximo. Claramente, la aplicabilidad de esta idea depende en gran medida de la ecuación diferencial parcial particular en cuestión.
Por ejemplo, si u resuelve la ecuación diferencial
entonces es claramente imposible tener y en cualquier punto del dominio. Entonces, siguiendo la observación anterior, es imposible que u tome un valor máximo. Si, en lugar de u resolverse la ecuación diferencialentonces no se tendría tal contradicción, y el análisis dado hasta ahora no implica nada interesante. Si u resolvió la ecuación diferencialentonces el mismo análisis mostraría que u no puede tomar un valor mínimo.
La posibilidad de tal análisis ni siquiera se limita a ecuaciones diferenciales parciales. Por ejemplo, si es una función tal que
que es una especie de ecuación diferencial "no local", entonces la positividad estricta automática del lado derecho muestra, mediante el mismo análisis anterior, que u no puede alcanzar un valor máximo.
Existen muchos métodos para ampliar la aplicabilidad de este tipo de análisis de diversas formas. Por ejemplo, si u es una función armónica, entonces el tipo de contradicción anterior no ocurre directamente, ya que la existencia de un punto p donde no está en contradicción con el requisito En todas partes. Sin embargo, se podría considerar, para un número real arbitrario s , la función u s definida por
Es sencillo ver que
Según el análisis anterior, si a continuación, u s no puede alcanzar un valor máximo. Uno podría desear considerar el límite como sa 0 para concluir que u tampoco puede alcanzar un valor máximo. Sin embargo, es posible que el límite puntual de una secuencia de funciones sin máximos tenga un máximo. No obstante, si M tiene un límite tal que M junto con su límite es compacto, entonces suponiendo que u puede extenderse continuamente hasta el límite, se deduce inmediatamente que tanto u como u s alcanzan un valor máximo enComo hemos demostrado que u s , como función de M , no tiene un máximo, se deduce que el punto máximo de u s , para cualquier s , está en Por la compacidad secuencial de se deduce que el máximo de u se alcanza enEste es el principio máximo débil para funciones armónicas. Esto no significa, por sí mismo, descartó la posibilidad de que el máximo de U también se alcanza en algún lugar de M . Ese es el contenido del "principio de máximo fuerte", que requiere un análisis más detallado.
El uso de la función específica arriba era muy inesencial. Lo único que importaba era tener una función que se extendiera continuamente hasta el límite y cuyo laplaciano sea estrictamente positivo. Entonces podríamos haber usado, por ejemplo,
con el mismo efecto.
El principio de máximo fuerte clásico para PDE elíptica lineal
Resumen de la prueba
Sea M un subconjunto abierto del espacio euclidiano. Dejarser una función dos veces diferenciable que alcanza su valor máximo C . Suponer que
Supongamos que uno puede encontrar (o probar la existencia de):
- un compacto subconjunto Ω de M , con el interior no vacío, de manera que u ( x ) < C para todos x en el interior de Ω , y tales que existe x 0 en el límite de Ω con u ( x 0 ) = C .
- una función continua que es dos veces diferenciable en el interior de Ω y con
- y tal que uno tiene u + h ≤ C en el límite de Ω con h ( x 0 ) = 0
Entonces L ( u + h - C ) ≥ 0 en Ω con u + h - C ≤ 0 en el límite de Ω ; según el principio de máximo débil, se tiene u + h - C ≤ 0 en Ω . Esto se puede reorganizar para decir
para todo x en Ω . Si se puede elegir h de modo que el lado derecho tenga una naturaleza manifiestamente positiva, esto contradice el hecho de que x 0 es un punto máximo de u en M , por lo que su gradiente debe desaparecer.
Prueba
El "programa" anterior se puede llevar a cabo. Elija Ω para que sea un anillo esférico; uno selecciona su centro x c para que sea un punto más cercano al conjunto cerrado u −1 ( C ) que al conjunto cerrado ∂ M , y el radio exterior R se selecciona para ser la distancia desde este centro a u −1 ( C ) ; sea x 0 un punto en este último conjunto que se da cuenta de la distancia. El radio interior ρ es arbitrario. Definir
Ahora bien, el límite de Ω consta de dos esferas; en la esfera exterior, se tiene h = 0 ; debido a la selección de R , se tiene u ≤ C en esta esfera, por lo que u + h - C ≤ 0 se cumple en esta parte del límite, junto con el requisito h ( x 0 ) = 0 . En la esfera interior, uno tiene u < C . Debido a la continuidad de u y la compacidad de la esfera interior, se puede seleccionar δ > 0 tal que u + δ < C . Dado que h es constante en esta esfera interior, se puede seleccionar ε > 0 tal que u + h ≤ C en la esfera interior y, por tanto, en todo el límite de Ω .
Muestra de cálculo directo
Hay varias condiciones bajo las cuales se puede garantizar que el lado derecho no sea negativo; vea el enunciado del teorema a continuación.
Por último, tenga en cuenta que la derivada direccional de h en x 0 a lo largo de la línea radial del anillo que apunta hacia adentro es estrictamente positiva. Como se describe en el resumen anterior, esto asegurará que una derivada direccional de u en x 0 es distinto de cero, en contradicción con x 0 ser un punto máximo de u en el conjunto abierto M .
Declaración del teorema
El siguiente es el enunciado del teorema en los libros de Morrey y Smoller, siguiendo el enunciado original de Hopf (1927):
Sea M un subconjunto abierto del espacio euclidiano ℝ n . Para cada i y j entre 1 y n , sean a ij y b i funciones continuas en M con a ij = a ji . Suponga que para todo x en M , la matriz simétrica [ a ij ] es definida positiva. Si u es una función C 2 no constante en M tal que
en M , entonces T no significa alcanzan un valor máximo de M .
El punto del supuesto de continuidad es que las funciones continuas están limitadas en conjuntos compactos, siendo el conjunto compacto relevante aquí el anillo esférico que aparece en la prueba. Además, por el mismo principio, hay un número λ tal que para todo x en el anillo, la matriz [ a ij ( x )] tiene todos los valores propios mayores o iguales que λ . Entonces se considera que α , como aparece en la demostración, es grande en relación con estos límites. El libro de Evans tiene una formulación ligeramente más débil, en el que no se supone que es un número positivo λ que es un límite inferior de los valores propios de [ un ij ] para todo x en M .
Estos supuestos de continuidad claramente no son los más generales posibles para que la prueba funcione. Por ejemplo, lo siguiente es el enunciado del teorema de Gilbarg y Trudinger, siguiendo la misma demostración:
Sea M un subconjunto abierto del espacio euclidiano ℝ n . Para cada i y j entre 1 y n , sean a ij y b i funciones en M con a ij = a ji . Suponga que para todo x en M , la matriz simétrica [ a ij ] es positiva-definida, y sea λ (x) su valor propio más pequeño. Suponer que y son funciones limitadas en M para cada i entre 1 y n . Si u es una función C 2 no constante en M tal que
en M , entonces T no significa alcanzan un valor máximo de M .
Uno no puede extender ingenuamente estas afirmaciones a la ecuación elíptica lineal general de segundo orden, como ya se vio en el caso unidimensional. Por ejemplo, la ecuación diferencial ordinaria y ″ + 2 y = 0 tiene soluciones sinusoidales, que ciertamente tienen máximos interiores. Esto se extiende al caso de dimensiones superiores, donde a menudo se tienen soluciones para las ecuaciones de "función propia" Δ u + cu = 0 que tienen máximos interiores. El signo de c es relevante, como también se ve en el caso unidimensional; por ejemplo, las soluciones de y ″ - 2 y = 0 son exponenciales, y el carácter de los máximos de tales funciones es bastante diferente al de las funciones sinusoidales.
Ver también
Notas
- ^ Capítulo 32 de Rockafellar (1970).
Referencias
Artículos de investigación
- Calabi, E. Una extensión del principio máximo de E. Hopf con una aplicación a la geometría de Riemann. Duke Math. J. 25 (1958), 45–56.
- Cheng, SY; Yau, ST Ecuaciones diferenciales sobre variedades de Riemann y sus aplicaciones geométricas. Comm. Pure Appl. Matemáticas. 28 (1975), núm. 3, 333–354.
- Gidas, B .; Ni, Wei Ming; Nirenberg, L. Simetría y propiedades relacionadas a través del principio máximo. Comm. Matemáticas. Phys. 68 (1979), núm. 3, 209–243.
- Gidas, B .; Ni, Wei Ming; Nirenberg, L. Simetría de soluciones positivas de ecuaciones elípticas no lineales en R n . Análisis y aplicaciones matemáticas, Parte A, págs. 369–402, Adv. en matemáticas. Supl. Stud., 7a, Academic Press, Nueva York-Londres, 1981.
- Hamilton, Richard S. Cuatro colectores con operador de curvatura positiva. J. Geom diferencial. 24 (1986), núm. 2, 153-179.
- E. Hopf. Elementare Bemerkungen Über die Lösungen partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom elliptischen Typus. Sitber. Preuss. Akad. Wiss. Berlín 19 (1927), 147-152.
- Hopf, Eberhard. Un comentario sobre ecuaciones diferenciales elípticas lineales de segundo orden. Proc. Amer. Matemáticas. Soc. 3 (1952), 791–793.
- Nirenberg, Louis. Un principio máximo fuerte para ecuaciones parabólicas. Comm. Pure Appl. Matemáticas. 6 (1953), 167-177.
- Omori, Hideki. Inmersiones isométricas de variedades riemannianas. J. Math. Soc. Japón 19 (1967), 205-214.
- Yau, Shing Tung. Funciones armónicas en variedades riemannianas completas. Comm. Pure Appl. Matemáticas. 28 (1975), 201–228.
- Kreyberg, HJA Sobre el principio máximo de control óptimo en los procesos económicos, 1969 (Trondheim, NTH, Sosialøkonomisk institutt https://www.worldcat.org/title/on-the-maximum-principle-of-optimal-control-in- procesos-economicos / oclc / 23714026 )
Libros de texto
- Caffarelli, Luis A .; Xavier Cabre (1995). Ecuaciones elípticas completamente no lineales . Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 31–41. ISBN 0-8218-0437-5.
- Evans, Lawrence C. Ecuaciones diferenciales parciales. Segunda edicion. Estudios de posgrado en matemáticas, 19. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010. xxii + 749 pp. ISBN 978-0-8218-4974-3
- Friedman, Avner. Ecuaciones diferenciales parciales de tipo parabólico. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, Nueva Jersey 1964 xiv + 347 págs.
- Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden. Reimpresión de la edición de 1998. Clásicos de las matemáticas. Springer-Verlag, Berlín, 2001. xiv + 517 págs. ISBN 3-540-41160-7
- Ladyženskaja, OA; Solonnikov, VA; Uralʹceva, NN Ecuaciones lineales y cuasilineales de tipo parabólico. Traducido del ruso por S. Smith. Traducciones de monografías matemáticas, vol. 23 Sociedad Americana de Matemáticas, Providence, RI 1968 xi + 648 págs.
- Ladyzhenskaya, Olga A .; Ural'tseva, Nina N. Ecuaciones elípticas lineales y cuasilineales. Traducido del ruso por Scripta Technica, Inc. Editor de traducción: Leon Ehrenpreis. Academic Press, Nueva York-Londres 1968 xviii + 495 págs.
- Lieberman, Gary M. Ecuaciones diferenciales parabólicas de segundo orden. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, Nueva Jersey, 1996. xii + 439 págs. ISBN 981-02-2883-X
- Morrey, Charles B., Jr. Múltiples integrales en el cálculo de variaciones. Reimpresión de la edición de 1966. Clásicos de las matemáticas. Springer-Verlag, Berlín, 2008. x + 506 págs. ISBN 978-3-540-69915-6
- Protter, Murray H .; Weinberger, Hans F. Principios máximos en ecuaciones diferenciales. Reimpresión corregida del original de 1967. Springer-Verlag, Nueva York, 1984. x + 261 págs. ISBN 0-387-96068-6
- Rockafellar, RT (1970). Análisis convexo . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton.
- Smoller, Joel. Ondas de choque y ecuaciones de reacción-difusión. Segunda edicion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], 258. Springer-Verlag, Nueva York, 1994. xxiv + 632 pp. ISBN 0-387-94259-9