En física y química, específicamente en resonancia magnética nuclear (RMN), resonancia magnética (RM) y resonancia de espín electrónico (ESR), las ecuaciones de Bloch son un conjunto de ecuaciones macroscópicas que se utilizan para calcular la magnetización nuclear M = ( M x , M y , M z ) en función del tiempo cuando están presentes los tiempos de relajación T 1 y T 2 . Estas son ecuaciones fenomenológicas que fueron introducidas por Felix Bloch en 1946. [1]A veces se les llama ecuaciones de movimiento de magnetización nuclear. Son análogos a las ecuaciones de Maxwell-Bloch .
En el marco de referencia del laboratorio (estacionario)
Sea M ( t ) = ( M x ( t ), M y ( t ), M z ( t )) la magnetización nuclear. Luego, las ecuaciones de Bloch dicen:
donde γ es la relación giromagnética y B ( t ) = ( B x ( t ), B y ( t ), B 0 + Δ B z (t)) es el campo magnético experimentado por los núcleos. La componente z del campo magnético B a veces se compone de dos términos:
- uno, B 0 , es constante en el tiempo,
- el otro, Δ B z (t), puede depender del tiempo. Está presente en las imágenes de resonancia magnética y ayuda con la decodificación espacial de la señal de RMN.
M ( t ) × B ( t ) es el producto cruzado de estos dos vectores. M 0 es la magnetización nuclear en estado estacionario (es decir, por ejemplo, cuando t → ∞); está en la dirección z .
Antecedentes fisicos
Sin relajación (es decir, T 1 y T 2 → ∞), las ecuaciones anteriores se simplifican a:
o, en notación vectorial:
Esta es la ecuación para la precesión de Larmor de la magnetización nuclear M en un campo magnético externo B .
Los términos de relajación
representar un proceso físico establecido de la transversal y la relajación longitudinal de la magnetización nuclear M .
Como ecuaciones macroscópicas
Estas ecuaciones no son microscópicas : no describen la ecuación de movimiento de los momentos magnéticos nucleares individuales. Estos están gobernados y descritos por leyes de la mecánica cuántica .
Las ecuaciones de Bloch son macroscópicas : describen las ecuaciones de movimiento de magnetización nuclear macroscópica que se pueden obtener sumando todos los momentos magnéticos nucleares en la muestra.
Formas alternativas
Abrir los corchetes de productos vectoriales en las ecuaciones de Bloch conduce a:
La forma anterior se simplifica aún más asumiendo
donde i = √ −1 . Después de algo de álgebra se obtiene:
- .
dónde
- .
es el complejo conjugado de M xy . Las partes real e imaginaria de M xy corresponden a M x y M y respectivamente. M xy a veces se denomina magnetización nuclear transversal .
Forma de matriz
Las ecuaciones de Bloch se pueden reformular en notación matricial-vectorial:
En un marco de referencia giratorio
En un marco de referencia en rotación, es más fácil de entender el comportamiento de la magnetización nuclear M . Esta es la motivación:
Solución de ecuaciones de Bloch con T 1 , T 2 → ∞
Asumir que:
- en t = 0 la magnetización nuclear transversal M xy (0) experimenta un campo magnético constante B ( t ) = (0, 0, B 0 );
- B 0 es positivo;
- no hay relajaciones longitudinales y transversales (es decir, T 1 y T 2 → ∞).
Luego, las ecuaciones de Bloch se simplifican a:
- ,
- .
Estas son dos ecuaciones diferenciales lineales (no acopladas) . Su solución es:
- ,
- .
Por lo tanto, la magnetización transversal, M xy , gira alrededor del eje z con frecuencia angular ω 0 = γ B 0 en el sentido de las agujas del reloj (esto se debe al signo negativo en el exponente). La magnetización longitudinal, M z, permanece constante en el tiempo. Así es también como aparece la magnetización transversal para un observador en el marco de referencia del laboratorio (es decir, para un observador estacionario ).
M xy ( t ) se traduce de la siguiente manera en cantidades observables de M x ( t ) y M y ( t ): Dado que
luego
- ,
- ,
donde Re ( z ) e Im ( z ) son funciones que devuelven la parte real e imaginaria del número complejo z . En este cálculo se asumió que M xy (0) es un número real.
Transformación a marco de referencia giratorio
Ésta es la conclusión de la sección anterior: en un campo magnético constante B 0 a lo largo del eje z, la magnetización transversal M xy gira alrededor de este eje en el sentido de las agujas del reloj con frecuencia angular ω 0 . Si el observador estuviera girando alrededor del mismo eje en el sentido de las agujas del reloj con frecuencia angular Ω, M xy le parecería girar con frecuencia angular ω 0 - Ω. Específicamente, si el observador girara alrededor del mismo eje en el sentido de las agujas del reloj con frecuencia angular ω 0 , la magnetización transversal M xy le parecería estacionaria.
Esto se puede expresar matemáticamente de la siguiente manera:
- Sea ( x , y , z ) el sistema de coordenadas cartesiano del marco de referencia de laboratorio (o estacionario ) , y
- ( x ′, y ′, z ′) = ( x ′, y ′, z ) ser un sistema de coordenadas cartesianas que gira alrededor del eje z del marco de referencia del laboratorio con frecuencia angular Ω. A esto se le llama marco de referencia rotatorio . Las variables físicas en este marco de referencia se denotarán con un número primo.
Obviamente:
- .
¿Qué es M xy ′ ( t )? Expresando el argumento al comienzo de esta sección de forma matemática:
- .
Ecuación de movimiento de magnetización transversal en un marco de referencia giratorio
¿Cuál es la ecuación de movimiento de M xy ′ ( t )?
Sustituya de la ecuación de Bloch en el marco de referencia del laboratorio:
Pero asumiendo en la sección anterior: B z ′ ( t ) = B z ( t ) = B 0 + Δ B z ( t ) y M z ( t ) = M z ′ ( t ). Sustituyendo en la ecuación anterior:
Este es el significado de los términos en el lado derecho de esta ecuación:
- i (Ω - ω 0 ) M xy ′ ( t ) es el término de Larmor en el marco de referencia que gira con frecuencia angular Ω. Tenga en cuenta que se vuelve cero cuando Ω = ω 0 .
- El término - i γ Δ B z ( t ) M xy ′ ( t ) describe el efecto de la falta de homogeneidad del campo magnético (expresado por Δ B z ( t )) sobre la magnetización nuclear transversal; se utiliza para explicar T 2 * . También es el término que está detrás de la resonancia magnética : es generado por el sistema de bobina de gradiente.
- El i γ B xy ′ ( t ) M z ( t ) describe el efecto del campo de RF (el factor B xy ′ ( t )) sobre la magnetización nuclear. Para ver un ejemplo, vea a continuación.
- - M xy ′ ( t ) / T 2 describe la pérdida de coherencia de la magnetización transversal.
De manera similar, la ecuación de movimiento de M z en el marco de referencia giratorio es:
Forma independiente del tiempo de las ecuaciones en el marco de referencia giratorio
Cuando el campo externo tiene la forma:
- ,
Definimos:
- y : ,
y obtener (en la notación matriz-vector):
Soluciones sencillas
Relajación de la magnetización nuclear transversal M xy
Asumir que:
- La magnetización nuclear está expuesto al campo magnético externo constante en la z dirección B z '( t ) = B z ( t ) = B 0 . Por tanto, ω 0 = γ B 0 y Δ B z ( t ) = 0.
- No hay RF, es decir B xy '= 0.
- El marco de referencia giratorio gira con una frecuencia angular Ω = ω 0 .
Luego, en el marco de referencia giratorio, la ecuación de movimiento para la magnetización nuclear transversal, M xy '( t ) se simplifica a:
Esta es una ecuación diferencial ordinaria lineal y su solución es
- .
donde M xy '(0) es la magnetización nuclear transversal en el marco giratorio en el tiempo t = 0. Esta es la condición inicial para la ecuación diferencial.
Tenga en cuenta que cuando el marco de referencia giratorio gira exactamente a la frecuencia de Larmor (este es el significado físico del supuesto anterior Ω = ω 0 ), el vector de magnetización nuclear transversal, M xy ( t ) parece estar estacionario.
Relajación de la magnetización nuclear longitudinal M z
Asumir que:
- La magnetización nuclear está expuesto al campo magnético externo constante en la z dirección B z '( t ) = B z ( t ) = B 0 . Por tanto, ω 0 = γ B 0 y Δ B z ( t ) = 0.
- No hay RF, es decir B xy '= 0.
- El marco de referencia giratorio gira con una frecuencia angular Ω = ω 0 .
Luego, en el marco de referencia giratorio, la ecuación de movimiento para la magnetización nuclear longitudinal, M z ( t ) se simplifica a:
Esta es una ecuación diferencial ordinaria lineal y su solución es
donde M z (0) es la magnetización nuclear longitudinal en el marco giratorio en el tiempo t = 0. Esta es la condición inicial para la ecuación diferencial.
Pulsos de RF de 90 y 180 °
Asumir que:
- La magnetización nuclear está expuesta a un campo magnético externo constante en la dirección z B z ′ ( t ) = B z ( t ) = B 0 . Por tanto, ω 0 = γ B 0 y Δ B z ( t ) = 0.
- En t = 0 se aplica un pulso de RF de amplitud y frecuencia constantes ω 0 . Eso es B ' xy ( t ) = B' xy es constante. La duración de este pulso es τ.
- El marco de referencia giratorio gira con una frecuencia angular Ω = ω 0 .
- T 1 y T 2 → ∞. Prácticamente esto significa que τ ≪ T 1 y T 2 .
Entonces para 0 ≤ t ≤ τ:
Ver también
- La ecuación de Bloch-Torrey es una generalización de las ecuaciones de Bloch, que incluye términos agregados debido a la transferencia de magnetización por difusión. [2]
Referencias
- ^ F. Bloch , " Inducción nuclear ", Physical Review 70 , 4604–73 (1946)
- ^ Torrey, HC (1956). "Ecuaciones de Bloch con términos de difusión". Revisión física . 104 (3): 563–565. Código Bibliográfico : 1956PhRv..104..563T . doi : 10.1103 / PhysRev.104.563 . (1956)
Otras lecturas
- Charles Kittel , Introducción a la física del estado sólido , John Wiley & Sons, 8a edición (2004), ISBN 978-0-471-41526-8 . El capítulo 13 trata sobre la resonancia magnética.