Esfera de Bloch

Representación geométrica del espacio de estado puro de un sistema mecánico cuántico de dos niveles

Esfera de Bloch

En mecánica cuántica y computación , la esfera de Bloch es una representación geométrica del espacio de estado puro de un sistema de mecánica cuántica de dos niveles ( qubit ), que lleva el nombre del físico Felix Bloch . ^[1]

La mecánica cuántica se formula matemáticamente en el espacio de Hilbert o en el espacio proyectivo de Hilbert . Los estados puros de un sistema cuántico corresponden a los subespacios unidimensionales del correspondiente espacio de Hilbert (o los "puntos" del espacio proyectivo de Hilbert). Para un espacio de Hilbert bidimensional, el espacio de todos esos estados es la línea proyectiva compleja. Esta es la esfera de Bloch, también conocida por los matemáticos como la esfera de Riemann .${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}.}$

La esfera de Bloch es una unidad 2-esfera , con puntos antípodas correspondientes a un par de vectores de estado mutuamente ortogonales. Los polos norte y sur de la esfera de Bloch se eligen típicamente para que se correspondan con los vectores base estándar y , respectivamente, que a su vez podrían corresponder, por ejemplo, a los estados de spin- up y spin- down de un electrón. Sin embargo, esta elección es arbitraria. Los puntos de la superficie de la esfera corresponden a los estados puros del sistema, mientras que los puntos interiores corresponden a los estados mixtos . ^{[2] [3]} La esfera de Bloch puede generalizarse a un n${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$de nivel cuántico, pero luego la visualización es menos útil.

Por razones históricas, en óptica la esfera de Bloch también se conoce como esfera de Poincaré y representa específicamente diferentes tipos de polarizaciones . Existen seis tipos de polarización comunes y se denominan vectores de Jones . De hecho, Henri Poincaré fue el primero en sugerir el uso de este tipo de representación geométrica a finales del siglo XIX, ^[4] como una representación tridimensional de los parámetros de Stokes .

La métrica natural en la esfera de Bloch es la métrica Fubini-Study . El mapeo de la unidad 3-esfera en el espacio de estado bidimensional a la esfera de Bloch es la fibración de Hopf , con cada rayo de espinores mapeado a un punto en la esfera de Bloch.${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

Definición

Dada una base ortonormal, cualquier estado puro de un sistema cuántico de dos niveles se puede escribir como una superposición de los vectores base y , donde el coeficiente de (o la contribución de) cada uno de los dos vectores base es un número complejo . Esto significa que el estado se describe mediante cuatro números reales. Sin embargo, solo la fase relativa entre los coeficientes de los dos vectores base tiene algún significado físico (la fase del sistema cuántico no se puede medir directamente ), por lo que hay redundancia en esta descripción. Podemos considerar que el coeficiente de es real y no negativo. Esto permite que el estado sea descrito por solo tres números reales, dando lugar a las tres dimensiones de la esfera de Bloch.${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$

También sabemos por la mecánica cuántica que la probabilidad total del sistema tiene que ser uno:

${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$, o de forma equivalente .${\displaystyle {\big \|}|\psi \rangle {\big \|}^{2}=1}$

Dada esta restricción, podemos escribir usando la siguiente representación:${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,e^{i\phi }\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle \,+\,(\cos \phi +i\sin \phi )\,\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle }$, donde y .${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }$${\displaystyle 0\leq \phi <2\pi }$

La representación es siempre única, porque, aunque el valor de no es único, when es uno de los vectores de Ket (ver notación Bra-Ket ) o , el punto representado por y es único.${\displaystyle \phi }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |1\rangle }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \phi }$

Los parámetros y , reinterpretados en coordenadas esféricas como, respectivamente, la colatitud con respecto al eje z y la longitud con respecto al eje x , especifican un punto${\displaystyle \theta \,}$${\displaystyle \phi \,}$

${\displaystyle {\vec {a}}=(\sin \theta \cos \phi ,\;\sin \theta \sin \phi ,\;\cos \theta )=(u,v,w)}$

en la esfera de la unidad en .${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Para estados mixtos , se considera el operador de densidad . Cualquier operador densidad bidimensional ρ se puede ampliar usando la identidad I y la hermitiana , traceless Pauli matrices ,${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &={\frac {1}{2}}\left(I+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}\right)\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+{\frac {a_{x}}{2}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{y}}{2}}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+{\frac {a_{z}}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+a_{z}&a_{x}-ia_{y}\\a_{x}+ia_{y}&1-a_{z}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$,

donde se llama vector de Bloch .${\displaystyle {\vec {a}}\in \mathbb {R} ^{3}}$

Es este vector el que indica el punto dentro de la esfera que corresponde a un estado mixto dado. Específicamente, como característica básica del vector de Pauli , los valores propios de ρ son . Los operadores de densidad deben ser semidefinidos positivos, por lo que se deduce de eso .${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1\pm |{\vec {a}}|\right)}$${\displaystyle \left|{\vec {a}}\right|\leq 1}$

Para estados puros, entonces uno tiene

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\rho ^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left(1+\left|{\vec {a}}\right|^{2}\right)=1\quad \Leftrightarrow \quad \left|{\vec {a}}\right|=1~,}$

de acuerdo con lo anterior. ^[5]

Como consecuencia, la superficie de la esfera de Bloch representa todos los estados puros de un sistema cuántico bidimensional, mientras que el interior corresponde a todos los estados mixtos.

u , v , w representación

El vector de Bloch se puede representar de la siguiente manera, con referencia al operador de densidad : ^[6]${\displaystyle {\vec {a}}=(u,v,w)}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle u=\rho _{10}+\rho _{01}=2\operatorname {Re} (\rho _{01})}$

${\displaystyle v=i(\rho _{01}-\rho _{10})=2\operatorname {Im} (\rho _{10})}$

${\displaystyle w=\rho _{00}-\rho _{11}}$

donde

${\displaystyle \rho ={\begin{pmatrix}\rho _{00}&\rho _{01}\\\rho _{10}&\rho _{11}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1+w&u-iv\\u+iv&1-w\end{pmatrix}}.}$

Esta base se utiliza a menudo en la teoría del láser , donde se conoce como inversión de población . ^[7] En esta base, los números son las expectativas de las tres matrices de Pauli , lo que permite identificar las tres coordenadas con los ejes xy y z.${\displaystyle w}$${\displaystyle u,v,w}$ ${\displaystyle X,Y,Z}$

Estados puros

Considere un sistema mecánico cuántico de n niveles. Este sistema está descrito por un espacio de Hilbert n- dimensional H _n . El espacio de estado puro es, por definición, el conjunto de rayos unidimensionales de H _n .

Teorema . Sea U ( n ) el grupo de Lie de matrices unitarias de tamaño n . Entonces, el espacio de estado puro de H _n se puede identificar con el espacio de clase lateral compacto

${\displaystyle \operatorname {U} (n)/(\operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1)).}$

Para probar este hecho, tenga en cuenta que existe una acción de grupo natural de U ( n ) sobre el conjunto de estados de H _n . Esta acción es continua y transitiva en los estados puros. Para cualquier estado , el grupo de isotropía de , (definido como el conjunto de elementos de U ( n ) tal que ) es isomorfo al grupo de productos${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle g}$${\displaystyle g|\psi \rangle =|\psi \rangle }$

${\displaystyle \operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1).}$

En términos de álgebra lineal, esto se puede justificar de la siguiente manera. Cualquiera de U ( n ) que deje invariante debe tener como vector propio . Dado que el valor propio correspondiente debe ser un número complejo de módulo 1, esto da el factor U (1) del grupo de isotropía. La otra parte del grupo de isotropía está parametrizada por las matrices unitarias en el complemento ortogonal de , que es isomorfo a U ( n - 1). De esto, la afirmación del teorema se deriva de hechos básicos sobre las acciones de grupo transitivas de grupos compactos.${\displaystyle g}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

El hecho importante a señalar arriba es que el grupo unitario actúa transitivamente sobre estados puros.

Ahora la dimensión (real) de U ( n ) es n ² . Esto es fácil de ver ya que el mapa exponencial

${\displaystyle A\mapsto e^{iA}}$

es un homeomorfismo local desde el espacio de matrices complejas autoadjuntas a U ( n ). El espacio de las matrices complejas autoadjuntas tiene una dimensión real n ² .

Corolario . La dimensión real del espacio de estado puro de H _n es 2 n - 2.

De hecho,

${\displaystyle n^{2}-\left((n-1)^{2}+1\right)=2n-2.\quad }$

Apliquemos esto para considerar la dimensión real de un registro cuántico de m qubit. El espacio de Hilbert correspondiente tiene una dimensión de 2 ^m .

Corolario . La dimensión real del espacio de estado puro de un registro cuántico de m - qubit es 2 ^{m +1} - 2.

Trazado de estados puros de dos espinores mediante proyección estereográfica

Esfera de Bloch centrada en el origen de . Un par de puntos en él, y se han elegido como base. Matemáticamente son ortogonales aunque gráficamente el ángulo entre ellos es π. En esos puntos tienen las coordenadas (0,0,1) y (0,0, −1). Un espinor arbitrario en la esfera de Bloch se puede representar como una combinación lineal única de los dos espinores básicos, siendo los coeficientes un par de números complejos; llámalos α y β . Sea su razón , que también es un número complejo . Considere que el plano z  = 0, el plano ecuatorial de la esfera, por así decirlo, es un plano complejo y que el punto u está trazado en él como${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }$${\displaystyle u={\beta \over \alpha }}$${\displaystyle u_{x}+iu_{y}}$${\displaystyle (u_{x},u_{y},0)}$. Proyecte el punto u estereográficamente sobre la esfera de Bloch lejos del Polo Sur - por así decirlo - (0,0, −1). La proyección está sobre un punto marcado en la esfera como .${\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }$

Dado un estado puro

${\displaystyle \alpha \left|\uparrow \right\rangle +\beta \left|\downarrow \right\rangle =\left|\nearrow \right\rangle }$

donde y son números complejos que están normalizados para que ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=\alpha ^{*}\alpha +\beta ^{*}\beta =1}$

y tal que y , es decir, tal que y formen una base y tengan representaciones diametralmente opuestas en la esfera de Bloch, entonces dejemos${\displaystyle \langle \downarrow |\uparrow \rangle =0}$${\displaystyle \langle \downarrow |\downarrow \rangle =\langle \uparrow |\uparrow \rangle =1}$${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$

${\displaystyle u={\beta \over \alpha }={\alpha ^{*}\beta \over \alpha ^{*}\alpha }={\alpha ^{*}\beta \over |\alpha |^{2}}=u_{x}+iu_{y}}$

sea ​​su proporción.

Si se piensa que la esfera de Bloch está incrustada con su centro en el origen y con un radio de uno, entonces el plano z  = 0 (que interseca la esfera de Bloch en un círculo máximo; el ecuador de la esfera, por así decirlo) puede pensarse de como un diagrama de Argand . Trace el punto u en este plano, de modo que tenga coordenadas .${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle (u_{x},u_{y},0)}$

Dibuja una línea recta que pase por uy por el punto de la esfera que representa . (Sea (0,0,1) representar y (0,0, −1) representar .) Esta línea interseca la esfera en otro punto además . (La única excepción es cuando , es decir, cuando y .) Llame este punto P . El punto u en el plano z = 0 es la proyección estereográfica del punto P en la esfera de Bloch. El vector con cola en el origen y punta en P es la dirección en el espacio 3-D correspondiente al espinor . Las coordenadas de P son${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$${\displaystyle u=\infty }$${\displaystyle \alpha =0}$${\displaystyle \beta \neq 0}$${\displaystyle \left|\nearrow \right\rangle }$

${\displaystyle P_{x}={2u_{x} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}$

${\displaystyle P_{y}={2u_{y} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}$

${\displaystyle P_{z}={1-u_{x}^{2}-u_{y}^{2} \over 1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}$.

Nota: matemáticamente, la esfera de Bloch para un estado de dos espinor puede considerarse una esfera de Riemann o un espacio de Hilbert proyectivo bidimensional complejo , denotable como . El complejo espacio de Hilbert bidimensional (del cual es una proyección) es un espacio de representación de SO (3) . ^[8]${\displaystyle \mathbb {P} \mathbf {H} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {P} \mathbf {H} ^{2}}$

Operadores de densidad

Las formulaciones de la mecánica cuántica en términos de estados puros son adecuadas para sistemas aislados; en general, los sistemas de mecánica cuántica deben describirse en términos de operadores de densidad . La esfera de Bloch parametriza no solo estados puros sino estados mixtos para sistemas de 2 niveles. El operador de densidad que describe el estado mixto de un sistema cuántico de 2 niveles (qubit) corresponde a un punto dentro de la esfera de Bloch con las siguientes coordenadas:

${\displaystyle \left(\sum p_{i}x_{i},\sum p_{i}y_{i},\sum p_{i}z_{i}\right),}$

donde es la probabilidad de los estados individuales dentro del conjunto y son las coordenadas de los estados individuales (en la superficie de la esfera de Bloch). El conjunto de todos los puntos en y dentro de la esfera de Bloch se conoce como la bola de Bloch.${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle x_{i},y_{i},z_{i}}$

Para estados de dimensiones superiores, es difícil extender esto a estados mixtos. La descripción topológica se complica por el hecho de que el grupo unitario no actúa transitivamente sobre los operadores de densidad. Además, las órbitas son extremadamente diversas, como se desprende de la siguiente observación:

Teorema . Suponga que A es un operador de densidad en un sistema de mecánica cuántica de nivel n cuyos valores propios distintos son μ ₁ , ..., μ _k con multiplicidades n ₁ , ..., n _k . Entonces, el grupo de operadores unitarios V tal que VAV * = A es isomorfo (como un grupo de Lie) a

${\displaystyle \operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k}).}$

En particular, la órbita de A es isomórfica a

${\displaystyle \operatorname {U} (n)/\left(\operatorname {U} (n_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n_{k})\right).}$

Es posible generalizar la construcción de la pelota Bloch a dimensiones mayores que 2, pero la geometría de tal "cuerpo Bloch" es más complicada que la de una pelota. ^[9]

Rotaciones

Una ventaja útil de la representación de la esfera de Bloch es que la evolución del estado del qubit se puede describir mediante rotaciones de la esfera de Bloch. La explicación más concisa de por qué esto es así es que el álgebra de mentiras para el grupo de matrices unitarias y hermitianas es isomorfa al álgebra de mentiras del grupo de rotaciones tridimensionales . ^[10]${\displaystyle SU(2)}$${\displaystyle SO(3)}$

Operadores de rotación sobre la base de Bloch

Las rotaciones de la esfera de Bloch sobre los ejes cartesianos en la base de Bloch están dadas por ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}(\theta )&=e^{(-i\theta X/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)X={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-i\sin \theta /2\\-i\sin \theta /2&\cos \theta /2\end{bmatrix}}\\R_{y}(\theta )&=e^{(-i\theta Y/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)Y={\begin{bmatrix}\cos \theta /2&-\sin \theta /2\\\sin \theta /2&\cos \theta /2\end{bmatrix}}\\R_{z}(\theta )&=e^{(-i\theta Z/2)}=\cos(\theta /2)I-i\sin(\theta /2)Z={\begin{bmatrix}e^{-i\theta /2}&0\\0&e^{i\theta /2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Rotaciones sobre un eje general

Si es un vector unitario real en tres dimensiones, la rotación de la esfera de Bloch alrededor de este eje viene dada por:${\displaystyle {\hat {n}}=(n_{x},n_{y},n_{z})}$

${\displaystyle R_{\hat {n}}(\theta )=\exp \left(-i\theta {\hat {n}}\cdot {\frac {1}{2}}{\vec {\sigma }}\right)}$

Algo interesante a tener en cuenta es que esta expresión es idéntica al reetiquetarse a la fórmula de Euler extendida para cuaterniones .

${\displaystyle \mathbf {q} =e^{{\frac {1}{2}}\theta (u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )}=\cos {\frac {\theta }{2}}+(u_{x}\mathbf {i} +u_{y}\mathbf {j} +u_{z}\mathbf {k} )\sin {\frac {\theta }{2}}}$

Derivación del generador de rotación de Bloch

Ballentine ^[12] presenta una derivación intuitiva para la transformación unitaria infinitesimal. Esto es importante para comprender por qué las rotaciones de las esferas de Bloch son exponenciales de combinaciones lineales de matrices de Pauli . Por lo tanto, aquí se da un breve tratamiento sobre esto. Aquí se puede encontrar una descripción más completa en un contexto de mecánica cuántica .

Considere una familia de operadores unitarios que representan una rotación alrededor de algún eje. Dado que la rotación tiene un grado de libertad, el operador actúa sobre un campo de escalares tal que:${\displaystyle U}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle U(0)=I}$

${\displaystyle U(s_{1}+s_{2})=U(s_{1})U(s_{2})}$

Donde ${\displaystyle 0,s_{1},s_{2},\in S}$

Definimos el unitario infinitesimal como la expansión de Taylor truncada en segundo orden.

${\displaystyle U(s)=I+{\frac {dU}{dS}}{\Bigg |}_{s=0}s+O\left(s^{2}\right)}$

Por la condición unitaria:

${\displaystyle U^{\dagger }U=I}$

Por eso

${\displaystyle U^{\dagger }U=I+s\left({\frac {dU}{dS}}+{\frac {dU^{\dagger }}{ds}}\right)+O\left(s^{2}\right)=I}$

Para que esta igualdad sea cierta (asumiendo que es insignificante) necesitamos${\displaystyle O\left(s^{2}\right)}$

${\displaystyle {\frac {dU}{dS}}+{\frac {dU^{\dagger }}{ds}}=0}$.

Esto da como resultado una solución de la forma:

${\displaystyle {\frac {dU}{ds}}=iK}$

Donde hay una transformación unitaria hermitiana, y se le llama generador de la familia unitaria.${\displaystyle K}$

Por eso:

${\displaystyle U(s)=e^{iKs}}$

Dado que las matrices de Pauli son matrices hermitianas unitarias y tienen vectores propios correspondientes a la base de Bloch , podemos ver naturalmente cómo una rotación de la esfera de Bloch alrededor de un eje arbitrario se describe mediante${\displaystyle (\sigma _{x},\sigma _{y},\sigma _{z})}$${\displaystyle ({\hat {x}},{\hat {y}},{\hat {z}})}$${\displaystyle {\hat {n}}}$

${\displaystyle R_{\hat {n}}(\theta )=\exp(-i\theta {\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}/2)}$

Con el generador de rotación dado por ${\displaystyle K={\hat {n}}\cdot {\vec {\sigma }}/2}$

Ver también

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con las esferas de Bloch .

• Las implementaciones específicas de la esfera de Bloch se enumeran en el artículo de qubit .
• Transición de electrones atómicos
• Espacio Gyrovector
• Esfera de Poincaré (óptica)
• Versors

Referencias

1. Bloch, Felix (octubre de 1946). "Inducción nuclear" . Phys. Rev . 70 (7–8): 460–474. Código Bibliográfico : 1946PhRv ... 70..460B . doi : 10.1103 / physrev.70.460 .; véase Arecchi, FT, Courtens, E, Gilmore, R y Thomas, H (1972). "Estados atómicos coherentes en óptica cuántica", Phys Rev A6 (6): 2211
2. Nielsen, Michael A .; Chuang, Isaac L. (2004). Computación cuántica e información cuántica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-63503-5.
3. http://www.quantiki.org/wiki/Bloch_sphere
4. Poincaré, Henri (1892). Théorie mathématique de la lumière II . G. Carré.
5. La matriz de densidad idempotente

   ${\displaystyle {\frac {1}{2}}(1\!\!1+{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }})={\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta /2&\sin \theta /2~\cos \theta /2~e^{-i\phi }\\\sin \theta /2~\cos \theta /2~e^{i\phi }&\sin ^{2}\theta /2\end{pmatrix}}}$

   actúa sobre el vector propio de estado con valor propio 1, así que como un operador de proyección para él.${\displaystyle (\cos \theta /2,e^{i\phi }\sin \theta /2)}$
6. Feynman, Richard; Vernon, Frank; Hellwarth, Robert (enero de 1957). "Representación geométrica de la ecuación de Schrödinger para resolver problemas de Maser". Revista de Física Aplicada . 28 (1): 49–52. Código Bibliográfico : 1957JAP .... 28 ... 49F . doi : 10.1063 / 1.1722572 . S2CID 36493808 . 
7. Milonni, Peter W .; Eberly, Joseph (1988). Láseres . Nueva York: Wiley. pag. 340. ISBN 978-0471627319.
8. Penrose, Roger (2007) [2004]. El camino a la realidad: una guía completa de las leyes del universo . Nueva York: Vintage Books (Random House, Inc.). pag. 554. ISBN 978-0-679-77631-4.
9. Appleby, DM (2007). "Medidas simétricas informativamente completas de rango arbitrario". Óptica y espectroscopia . 103 (3): 416–428. arXiv : quant-ph / 0611260 . Código bibliográfico : 2007OptSp.103..416A . doi : 10.1134 / S0030400X07090111 . S2CID 17469680 . 
10. DB Westra 2008, "SU (2) y SO (3)", https://www.mat.univie.ac.at/~westra/so3su2.pdf
11. Nielsen y Chuang 2010, "Computación cuántica e información", pág. 174
12. Ballentine 2014, "Mecánica cuántica: un desarrollo moderno", capítulo 3