En mecánica cuántica , un sistema de dos estados (también conocido como sistema de dos niveles ) es un sistema cuántico que puede existir en cualquier superposición cuántica de dos estados cuánticos independientes (físicamente distinguibles) . El espacio de Hilbert que describe tal sistema es bidimensional . Por tanto, una base completa que abarque el espacio constará de dos estados independientes. Cualquier sistema de dos estados también puede verse como un qubit .
Los sistemas de dos estados son los sistemas cuánticos más simples que son de interés, ya que la dinámica de un sistema de un estado es trivial (ya que no hay otros estados en los que el sistema pueda existir). El marco matemático requerido para el análisis de sistemas de dos estados es el de las ecuaciones diferenciales lineales y el álgebra lineal de espacios bidimensionales. Como resultado, la dinámica de un sistema de dos estados se puede resolver analíticamente sin ninguna aproximación. El comportamiento genérico del sistema es que la amplitud de la función de onda oscila entre los dos estados.
Un ejemplo muy conocido de un sistema de dos estados es el espín de una partícula de espín-1/2 como un electrón, cuyo espín puede tener valores + ħ / 2 o - ħ / 2, donde ħ es la constante de Planck reducida .
El sistema de dos estados no puede usarse como una descripción de absorción o desintegración, porque tales procesos requieren acoplarse a un continuo. Tales procesos involucrarían un decaimiento exponencial de las amplitudes, pero las soluciones del sistema de dos estados son oscilatorias.
Soluciones analíticas para energías en estado estacionario y dependencia del tiempo
Representación
Suponiendo que los dos estados base disponibles del sistema son y , en general, el estado se puede escribir como una superposición de estos dos estados con amplitudes de probabilidad ,
Dado que los estados base son ortonormales , dónde y es el delta de Kronecker , entonces. Estos dos números complejos pueden considerarse coordenadas en un espacio de Hilbert complejo bidimensional . [1] Por lo tanto, el vector de estado correspondiente al estado es
y los estados base corresponden a los vectores base, y .
Si el estado está normalizado , la norma del vector de estado es la unidad, es decir.
Todas las cantidades físicas observables , como la energía, están asociadas con operadores hermitianos . En el caso de la energía y el correspondiente hamiltoniano , H , esto significa
es decir y son reales, y . Por lo tanto, estos cuatro elementos de la matrizproducir una matriz hermitiana de 2 × 2 ,
La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo establece que; sustituyendo por en términos de los estados base de arriba, y premultiplicando ambos lados por o produce un sistema de dos ecuaciones lineales que se pueden escribir en forma de matriz,
o que es un problema de autovalores y autovectores de matriz de 2 × 2 .
Debido a la hermiticidad de los valores propios son reales; o, más bien, a la inversa, es la exigencia de que las energías sean reales lo que implica la hermiticidad de. Los autovectores representan los estados estacionarios , es decir, aquellos para quienes la magnitud absoluta de los cuadrados de las amplitudes de probabilidad no cambia con el tiempo.
Autovalores del hamiltoniano
La forma más general de una matriz hermitiana 2 × 2 como la hamiltoniana de un sistema de dos estados viene dada por
dónde y γ son números reales con unidades de energía. Los niveles de energía permitidos del sistema, es decir, los valores propios de la matriz hamiltoniana, se pueden encontrar de la forma habitual.
De manera equivalente, esta matriz se puede descomponer como,
Aquí, y son números reales. La matriz es la matriz identidad 2 × 2 y las matrices son las matrices de Pauli . Esta descomposición simplifica el análisis del sistema, especialmente en el caso independiente del tiempo, donde los valores de y son constantes.
El hamiltoniano se puede condensar aún más como
El vector es dado por y es dado por . Esta representación simplifica el análisis de la evolución temporal del sistema y es más fácil de usar con otras representaciones especializadas como la esfera de Bloch .
Si el hamiltoniano H independiente del tiempo del sistema de dos estados se define como antes, entonces sus valores propios vienen dados por. Evidentemente, α es la energía promedio de los dos niveles, y la norma dees la división entre ellos. Los vectores propios correspondientes se denotan como y .
Dependencia del tiempo
Ahora asumimos que las amplitudes de probabilidad dependen del tiempo, aunque los estados base no lo son. La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo establece, y procediendo como antes (sustituyendo y premultiplicando por nuevamente produce un par de ecuaciones lineales acopladas, pero esta vez son ecuaciones diferenciales parciales de primer orden: . Si es independiente del tiempo hay varios enfoques para encontrar la dependencia del tiempo de , como los modos normales . El resultado es que
dónde es el vector de estado en . Aquí, el exponencial de una matriz se puede encontrar a partir de la expansión de la serie. La matriz se denomina matriz de evolución temporal (que comprende los elementos de la matriz del correspondiente operador de evolución temporal ). Se prueba fácilmente quees unitario , lo que significa que.
Se puede demostrar que
dónde
Cuando se cambia la base a los vectores propios del hamiltoniano, en otras palabras, si la base establece son elegidos para ser los vectores propios, entonces y y entonces el hamiltoniano es diagonal, es decir y es de la forma,
Ahora, el operador de evolución del tiempo unitario se ve fácilmente como dado por:
La El factor simplemente contribuye a la fase general del operador y, por lo general, puede ignorarse para producir un nuevo operador de evolución temporal que es físicamente indistinguible del operador original. Además, cualquier perturbación del sistema (que será de la misma forma que el hamiltoniano) puede agregarse al sistema en la base propia del hamiltoniano no perturbado y analizarse de la misma manera que antes. Por lo tanto, para cualquier perturbación, los nuevos vectores propios del sistema perturbado pueden resolverse exactamente, como se menciona en la introducción.
Fórmula de Rabi para una perturbación estática
Suponga que el sistema comienza en uno de los estados base en , decir así que eso , y nos interesa la probabilidad de ocupación de cada uno de los estados base en función del tiempo cuando es el hamiltoniano independiente del tiempo.
La probabilidad de ocupación del estado i es. En el caso del estado inicial,, y desde arriba, . Por eso,
Obviamente, debido a la condición inicial. La frecuencia se llama frecuencia Rabi generalizada, se llama la frecuencia Rabi, y se llama desafinación.
Con cero desafinación, , es decir, hay Rabi pasando de la ocupación garantizada del estado 1 a la ocupación garantizada del estado 2, y de regreso al estado 1, etc., con frecuencia . A medida que aumenta la desafinación desde cero, la frecuencia de la fluctuación aumenta (a Ω ) y la amplitud disminuye a.
Para hamiltonianos dependientes del tiempo inducidos por ondas de luz,
Algunos sistemas importantes de dos estados
Precesión en un campo
Considere el caso de una partícula de espín-1/2 en un campo magnético.. La interacción hamiltoniana para este sistema es
dónde es la magnitud del momento magnético de la partícula yes el vector de matrices de Pauli . Resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo rendimientos
dónde y . Físicamente, esto corresponde al vector de Bloch precesando alrededor con frecuencia angular . Sin pérdida de generalidad, suponga que el campo tiene puntos uniformes en, de modo que el operador de evolución temporal se da como
Se puede ver que tal operador de evolución temporal que actúa sobre un estado de espín general de una partícula de espín-1/2 conducirá a la precesión alrededor del eje definido por el campo magnético aplicado (este es el equivalente mecánico cuántico de la precesión de Larmor ) [ 2]
El método anterior se puede aplicar al análisis de cualquier sistema genérico de dos estados que esté interactuando con algún campo (equivalente al campo magnético en el caso anterior) si la interacción viene dada por un término de acoplamiento apropiado que sea análogo al momento magnético. . La precesión del vector de estado (que no necesita ser un giro físico como en el caso anterior) puede verse como la precesión del vector de estado en la esfera de Bloch .
La representación en la esfera de Bloch para un vector de estado será simplemente el vector de valores esperados . Como ejemplo, considere un vector de estado que es una superposición normalizada de y , es decir, un vector que se puede representar en la base como
Los componentes de en la esfera de Bloch simplemente será . Este es un vector unitario que comienza a apuntar a lo largo y precesos alrededor de manera zurda. En general, mediante una rotación, cualquier vector de estado se puede representar como con coeficientes reales y . Tal vector de estado corresponde a un vector de Bloch en el plano xz formando un ángulocon el eje z . Este vector procederá a precesar alrededor. En teoría, al permitir que el sistema interactúe con el campo de una dirección y fuerza particulares durante duraciones precisas, es posible obtener cualquier orientación del vector de Bloch , lo que equivale a obtener cualquier superposición compleja. Esta es la base de numerosas tecnologías, incluidas la computación cuántica y la resonancia magnética .
Evolución en un campo dependiente del tiempo: resonancia magnética nuclear
La resonancia magnética nuclear (RMN) es un ejemplo importante en la dinámica de los sistemas de dos estados porque implica la solución exacta de un hamiltoniano dependiente del tiempo. El fenómeno de RMN se logra colocando un núcleo en un campo estático fuerte B 0 (el "campo de retención") y luego aplicando un campo transversal débil B 1 que oscila en alguna radiofrecuencia ω r . [3] Explícitamente, considere una partícula de espín-1/2 en un campo de esperay un campo de rf transversal B 1 que gira en el plano xy a la derecha alrededor de B 0 :
Como en el caso de la precesión libre, el hamiltoniano es , y la evolución de un vector de estado se encuentra resolviendo la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo . Después de alguna manipulación (dada en la sección contraída a continuación), se puede demostrar que la ecuación de Schrödinger se convierte en
dónde y .
Según la sección anterior, la solución a esta ecuación tiene el vector de Bloch precesando alrededor decon una frecuencia que es el doble de la magnitud del vector. Sies suficientemente fuerte, alguna proporción de los giros apuntará directamente hacia abajo antes de la introducción del campo giratorio. Si la frecuencia angular del campo magnético giratorio se elige de manera que, en el marco giratorio, el vector de estado precesará alrededor con frecuencia , y así cambiará de abajo hacia arriba liberando energía en forma de fotones detectables [ cita requerida ] . Esta es la base fundamental de la RMN y, en la práctica, se logra escaneandohasta que se encuentre la frecuencia de resonancia en cuyo punto la muestra emitirá luz. Se realizan cálculos similares en física atómica, y en el caso de que el campo no esté rotando, sino que oscile con una amplitud compleja, se hace uso de la aproximación de onda rotatoria para derivar tales resultados.
Derivación de la expresión anterior para la ecuación de Schrödinger de RMN |
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Aquí la ecuación de Schrödinger dice Expandiendo el producto escalar y dividiendo por rendimientos Para eliminar la dependencia del tiempo del problema, la función de onda se transforma de acuerdo con . La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se vuelve que después de algún reordenamiento produce Evaluar cada término en el lado derecho de la ecuación La ecuación ahora dice que por la identidad de Euler se convierte en |
Relación con las ecuaciones de Bloch
Las ecuaciones ópticas de Bloch para una colección de partículas de espín-1/2 se pueden derivar de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo para un sistema de dos niveles. Comenzando con el hamiltoniano mencionado anteriormente, se puede escribir en notación de suma después de alguna reordenación como
Multiplicar por una matriz de Pauli y la transposición conjugada de la función de onda, y posteriormente expandiendo el producto de dos matrices de Pauli se obtiene
Al agregar esta ecuación a su propia transposición conjugada se obtiene un lado izquierdo de la forma
Y un lado derecho del formulario
Como se mencionó anteriormente, el valor esperado de cada matriz de Pauli es un componente del vector de Bloch ,. Igualando los lados izquierdo y derecho, y observando quees la relación giromagnética , da otra forma para las ecuaciones de movimiento del vector de Bloch
donde el hecho de que ha sido usado. En forma vectorial, estas tres ecuaciones se pueden expresar en términos de un producto cruzado
Clásicamente, esta ecuación describe la dinámica de un espín en un campo magnético. Un imán ideal consiste en una colección de giros idénticos que se comportan de forma independiente y, por lo tanto, la magnetización total es proporcional al vector de Bloch . Todo lo que queda para obtener la forma final de las ecuaciones ópticas de Bloch es la inclusión de los términos de relajación fenomenológica .
Como comentario final, la ecuación anterior se puede derivar considerando la evolución en el tiempo del operador de momento angular en la imagen de Heisenberg .
Cuando se combina con el hecho de que , esta ecuación es la misma ecuación que antes.
Validez
Los sistemas de dos estados son los sistemas cuánticos no triviales más simples que ocurren en la naturaleza, pero los métodos de análisis antes mencionados no son solo válidos para sistemas simples de dos estados. Cualquier sistema cuántico general multiestado puede tratarse como un sistema de dos estados siempre que el observable en el que esté interesado tenga dos valores propios. Por ejemplo, una partícula de espín-1/2 puede en realidad tener grados de libertad de traslación o incluso de rotación adicionales, pero esos grados de libertad son irrelevantes para el análisis anterior. Matemáticamente, los grados de libertad desatendidos corresponden a la degeneración de los valores propios de espín.
Otro caso en el que el formalismo efectivo de dos estados es válido es cuando el sistema en consideración tiene dos niveles que están efectivamente desacoplados del sistema. Este es el caso del análisis de la emisión de luz espontánea o estimulada por átomos y de los qubits de carga . En este caso hay que tener en cuenta que las perturbaciones (interacciones con un campo externo) están en el rango correcto y no provocan transiciones a estados distintos a los de interés.
Importancia y otros ejemplos
Pedagógicamente, el formalismo de dos estados se encuentra entre las técnicas matemáticas más simples utilizadas para el análisis de sistemas cuánticos. Se puede utilizar para ilustrar los fenómenos de mecánica cuántica fundamental tales como la interferencia exhibida por partículas de los estados de polarización de fotón, [4] , sino también fenómenos más complejos tales como oscilación de neutrinos o el neutro K-meson oscilación.
El formalismo de dos estados se puede utilizar para describir una mezcla simple de estados, lo que conduce a fenómenos como la estabilización de resonancia y otras simetrías relacionadas con los pasos a nivel . Tales fenómenos tienen una amplia variedad de aplicaciones en química. Los fenómenos con tremendas aplicaciones industriales, como el máser y el láser, pueden explicarse utilizando el formalismo de dos estados.
El formalismo de dos estados también forma la base de la computación cuántica . Los qub , que son los componentes básicos de una computadora cuántica, no son más que sistemas de dos estados. Cualquier operación de cálculo cuántico es una operación unitaria que rota el vector de estado en la esfera de Bloch.
Otras lecturas
- Un excelente tratamiento del formalismo de dos estados y su aplicación a casi todas las aplicaciones mencionadas en este artículo se presenta en el tercer volumen de The Feynman Lectures on Physics .
- El siguiente conjunto de notas de clase cubre las matemáticas necesarias y también trata algunos ejemplos con cierto detalle:
- del curso de mecánica cuántica II ofrecido en el MIT , http://web.mit.edu/8.05/handouts/Twostates_03.pdf
- del mismo curso que trata sobre la oscilación de partículas neutras, http://web.mit.edu/8.05/handouts/nukaon_07.pdf
- del curso Mecánica cuántica I ofrecido en TIFR , http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand4.pdf cubre las matemáticas esenciales
- http://theory.tifr.res.in/~sgupta/courses/qm2013/hand5.pdf ; del mismo curso trata sobre algunos sistemas físicos de dos estados y otros aspectos importantes del formalismo
- la matemática en la sección inicial se realiza de una manera similar a estas notas http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qubit.pdf , que son del curso de Mecánica Cuántica para Matemáticos que se ofrece en la Universidad de Columbia .
- una versión en libro del mismo; http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qmbook.pdf
- Sistemas de dos estados y dos esferas, RJ Plymen, Il Nuovo Cimento B 13 (1973) 55-58
Ver también
- Ciclo de rabi
- Doblete
- Resonancia magnética nuclear
- Óptica cuántica
Referencias
- ^ Griffiths, David (2005). Introducción a la Mecánica Cuántica (2ª ed.). pag. 353.
- ^ Feynman, RP (1965). "7-5 y 10-7". Las Conferencias Feynman sobre Física: Volumen 3 . Addison Wesley.
- ^ Griffiths, pág. 377.
- ^ Feynman, RP (1965). "11-4". Las Conferencias Feynman sobre Física: Volumen 3 . Addison Wesley.