Fibra de Hopf

Haz de fibras de la 3-esfera sobre la 2-esfera, con 1-esferas como fibras

La fibración de Hopf se puede visualizar usando una proyección estereográfica de S ³ a R ³ y luego comprimiendo R ³ en una bola. Esta imagen muestra puntos en S ² y sus fibras correspondientes con el mismo color.

Los llaveros enlazados por pares imitan parte de la fibración Hopf.

En el campo matemático de la topología diferencial , la fibración de Hopf (también conocida como el haz de Hopf o mapa de Hopf ) describe una esfera tridimensional (una hiperesfera en un espacio de cuatro dimensiones ) en términos de círculos y una esfera ordinaria . Descubierto por Heinz Hopf en 1931, es un ejemplo temprano influyente de un haz de fibras . Técnicamente, Hopf encontró una función continua de muchos a uno (o "mapa") de la esfera 3 a la esfera 2, de modo que cada punto distinto de laLa esfera 2 se mapea a partir de un gran círculo distinto de la esfera 3 ( Hopf 1931 ). ^[1] Por lo tanto, la esfera 3 está compuesta de fibras, donde cada fibra es un círculo, uno para cada punto de la esfera 2 .

Esta estructura de haz de fibras se denota

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\ p\,}}S^{2},}$

lo que significa que el espacio de la fibra S ¹ (un círculo) está incrustado en el espacio total S ³ (la esfera 3 ), yp  :  S ³ → S ² (mapa de Hopf) proyecta S ³ sobre el espacio base S ² (el ordinario 2 esferas). La fibración Hopf, como cualquier haz de fibras, tiene la importante propiedad de que es localmente un espacio de producto . Sin embargo, no es un haz de fibras trivial , es decir, S ³ no es globalmenteun producto de S ² y S ¹ aunque localmente es indistinguible de él.

Esto tiene muchas implicaciones: por ejemplo, la existencia de este paquete muestra que los grupos de esferas de homotopía superior no son triviales en general. También proporciona un ejemplo básico de un haz principal , identificando la fibra con el grupo circular .

La proyección estereográfica de la fibración de Hopf induce una estructura notable en R ³ , en la que todo el espacio tridimensional, excepto el eje z, está lleno de toros anidados hechos de círculos de Villarceau enlazados . Aquí, cada fibra se proyecta a un círculo en el espacio (uno de los cuales es una línea, considerada como un "círculo a través del infinito"). Cada toro es la proyección estereográfica de la imagen inversa de un círculo de latitud de la 2 -esfera. (Topológicamente, un toro es el producto de dos círculos.) Estos toros se ilustran en las imágenes de la derecha. Cuando R ³se comprime hasta el límite de una bola, se pierde parte de la estructura geométrica aunque se conserva la estructura topológica (ver Topología y geometría ). Los bucles son homeomorfos a los círculos, aunque no son círculos geométricos .

Existen numerosas generalizaciones de la fibración de Hopf. La esfera unitaria en el espacio de coordenadas complejo C ^{n +1} fibras naturalmente sobre el espacio proyectivo complejo CP ⁿ con círculos como fibras, y también hay versiones reales , cuaterniónicas , ^[2] y octoniónicas de estas fibraciones. En particular, la fibración de Hopf pertenece a una familia de cuatro haces de fibras en los que el espacio total, el espacio de la base y el espacio de las fibras son todos esferas:

${\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\to S^{1},}$

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\to S^{2},}$

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4},}$

${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\to S^{8}.}$

Según el teorema de Adams, tales fibraciones solo pueden ocurrir en estas dimensiones.

La fibración de Hopf es importante en la teoría de twistor .

Definición y construcción

Para cualquier número natural n , un n esfera -dimensional, o n-esfera , se puede definir como el conjunto de puntos en un -dimensional espacio que son una distancia fija de un centro de punto . Para la concreción, el punto central puede tomarse como el origen , y la distancia de los puntos en la esfera desde este origen se puede suponer que es una unidad de longitud. Con esta convención, el n -sphere, , se compone de los puntos en con x ₁ ²  +  x ₂ ²  + ⋯ +  x _{n + 1} ²${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ = 1. Por ejemplo, la esfera 3 consta de los puntos ( x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ ,  x ₄ ) en R ⁴ con x ₁ ²  +  x ₂ ²  +  x ₃ ²  +  x ₄ ²  = 1.

La fibración de Hopf p : S ³ → S ² de la esfera 3 sobre la esfera 2 se puede definir de varias formas.

Construcción directa

Identifique R ⁴ con C ² y R ³ con C × R (donde C denota los números complejos ) escribiendo:

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\leftrightarrow (z_{0},z_{1})=(x_{1}+ix_{2},x_{3}+ix_{4})}$

y

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\leftrightarrow (z,x)=(x_{1}+ix_{2},x_{3})}$.

Por tanto, S ³ se identifica con el subconjunto de todos ( z ₀ , z ₁ ) en C ² tal que | z ₀ | ² + | z ₁ | ²  = 1 , y S ² se identifica con el subconjunto de todos ( z , x ) en C × R tal que | z | ²  +  x ² = 1. (Aquí, para un número complejo z  = x  + i y , | z | ²  = z  z ^∗  = x ²  +  y ² , donde la estrella denota el conjugado complejo .) Entonces la fibración de Hopf p se define por

${\displaystyle p(z_{0},z_{1})=(2z_{0}z_{1}^{\ast },\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}).}$

El primer componente es un número complejo, mientras que el segundo componente es real. Cualquier punto de la 3 -esfera debe tener la propiedad de que | z ₀ | ²  + | z ₁ | ²  = 1 . Si es así, entonces p ( z ₀ , z ₁ ) se encuentra en la unidad 2 -esfera en C × R , como se puede demostrar al elevar al cuadrado las componentes compleja y real de p

${\displaystyle 2z_{0}z_{1}^{\ast }\cdot 2z_{0}^{\ast }z_{1}+\left(\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=4\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{0}\right|^{4}-2\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{4}=\left(\left|z_{0}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=1}$

Además, si dos puntos en el mapa de 3 esferas al mismo punto en la esfera 2, es decir, si p ( z ₀ , z ₁ ) = p ( w ₀ , w ₁ ) , entonces ( w ₀ , w ₁ ) debe ser igual a ( λ  z ₀ , λ  z ₁ ) para algún número complejo λ con | λ | ²  = 1 . Lo contrario también es cierto; dos puntos cualesquiera en el 3-esfera que difiere por un mapa de factor complejo común λ al mismo punto en la 2 -esfera. Estas conclusiones siguen, porque el factor complejo λ cancela con su conjugado complejo λ ^∗ en ambas partes de p : en el componente complejo 2 z ₀ z ₁ ^∗ y en el componente real | z ₀ | ²  - | z ₁ | ² .

Dado que el conjunto de números complejos λ con | λ | ²  = 1 forman el círculo unitario en el plano complejo, se deduce que para cada punto m en S ² , la imagen inversa p ⁻¹ ( m ) es un círculo, es decir, p ⁻¹ m  ≅  S ¹ . Así, la 3 -esfera se realiza como una unión disjunta de estas fibras circulares.

Una parametrización directa de la 3 -esfera empleando el mapa de Hopf es la siguiente. ^[3]

${\displaystyle z_{0}=e^{i\,{\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}}\sin \eta }$

${\displaystyle z_{1}=e^{i\,{\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}}\cos \eta .}$

o en Euclidean R ⁴

${\displaystyle x_{1}=\cos \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta }$

${\displaystyle x_{2}=\sin \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta }$

${\displaystyle x_{3}=\cos \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta }$

${\displaystyle x_{4}=\sin \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta }$

Donde η corre sobre el rango 0 a π / 2 , ξ ₁ corre sobre el rango 0 y 2 π y ξ ₂ pueden tomar cualquier valor entre 0 y 4 π . Cada valor de η , excepto 0 y π / 2 que especifican círculos, especifica un toro plano separado en la esfera 3 y un viaje de ida y vuelta ( 0 a 4 π ) de ξ ₁ o ξ ₂ hace que haga un círculo completo de ambas extremidades del toro.

Un mapeo de la parametrización anterior a la esfera 2 es el siguiente, con puntos en los círculos parametrizados por ξ ₂ .

${\displaystyle z=\cos(2\eta )}$

${\displaystyle x=\sin(2\eta )\cos \xi _{1}}$

${\displaystyle y=\sin(2\eta )\sin \xi _{1}}$

Interpretación geométrica utilizando la compleja línea proyectiva

Se puede obtener una interpretación geométrica de la fibración utilizando la línea proyectiva compleja , CP ¹ , que se define como el conjunto de todos los subespacios unidimensionales complejos de C ² . De manera equivalente, CP ¹ es el cociente de C ² \ {0} por la relación de equivalencia que identifica ( z ₀ , z ₁ ) con ( λ  z ₀ , λ  z ₁ ) para cualquier número complejo distinto de cero λ. En cualquier línea compleja en C ² hay un círculo de norma unitaria, por lo que la restricción del mapa del cociente a los puntos de la norma unitaria es una fibración de S ³ sobre CP ¹ .

CP ¹ es difeomórfico a una 2 -esfera: de hecho se puede identificar con la esfera de Riemann C _∞ = C ∪ {∞ }, que es la compactación de un punto de C (obtenida agregando un punto en el infinito ). La fórmula dada para p arriba define un difeomorfismo explícito entre la línea proyectiva compleja y laesferaordinaria de 2 en elespacio de 3 dimensiones. Alternativamente, el punto ( z ₀ , z ₁ ) se puede asignar a la relación z ₁ /z ₀ en la esfera de Riemann C _∞ .

Estructura del haz de fibras

La fibración de Hopf define un haz de fibras , con proyección de haz p . Esto significa que tiene una "estructura de producto local", en el sentido de que cada punto de la esfera 2 tiene alguna vecindad U cuya imagen inversa en la esfera 3 puede identificarse con el producto de U y un círculo: p ⁻¹ ( U ) ≅  U × S ¹ . Se dice que tal fibración es localmente trivial .

Para la fibración de Hopf, basta con quitar un solo punto m de S ² y el círculo correspondiente p ⁻¹ ( m ) de S ³ ; por tanto, se puede tomar U = S ² \ { m } , y cualquier punto en S ² tiene una vecindad de esta forma.

Interpretación geométrica mediante rotaciones

Otra interpretación geométrica de la fibración Hopf se puede obtener teniendo en cuenta las rotaciones de la 2 -sphere en ordinaria 3 espacio -dimensional. El grupo de rotación SO (3) tiene una doble cobertura , el grupo de espín Spin (3) , difeomórfico a la 3 -esfera. El grupo de espín actúa transitivamente sobre S ² mediante rotaciones. El estabilizador de un punto es isomorfo al grupo circular . Se deduce fácilmente que la 3 -esfera es un paquete circular principal sobre la 2-esfera, y esta es la fibración de Hopf.

Para hacer esto más explícito, hay dos enfoques: el grupo Spin (3) puede identificarse con el grupo Sp (1) de cuaterniones unitarios , o con el grupo unitario especial SU (2) .

En el primer enfoque, un vector ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) en R ⁴ se interpreta como un cuaternión q ∈ H escribiendo

${\displaystyle q=x_{1}+\mathbf {i} x_{2}+\mathbf {j} x_{3}+\mathbf {k} x_{4}.\,\!}$

La 3 -esfera se identifica luego con los versores , los cuaterniones de la norma unitaria, aquellos q ∈ H para los cuales | q | ² = 1 , donde | q | ² = qq ^∗ , que es igual ax ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² + x ₄ ² para q como arriba.

Por otro lado, un vector ( y ₁ , y ₂ , y ₃ ) en R ³ puede interpretarse como un cuaternión imaginario

${\displaystyle p=\mathbf {i} y_{1}+\mathbf {j} y_{2}+\mathbf {k} y_{3}.\,\!}$

Entonces, como es bien sabido desde Cayley (1845) , el mapeo

${\displaystyle p\mapsto qpq^{*}\,\!}$

es una rotación en R ³ : de hecho, es claramente una isometría , ya que | qpq ^∗ | ² = qpq ^∗ qp ^∗ q ^∗ = qpp ^∗ q ^∗ = | p | ² , y no es difícil comprobar que conserva la orientación.

De hecho, esto identifica al grupo de versores con el grupo de rotaciones de R ³ , módulo el hecho de que los versores q y - q determinan la misma rotación. Como se señaló anteriormente, las rotaciones actúan de manera transitiva en S ² , y el conjunto de versores q que fijan un versor derecho dado o p tienen la forma q = u + v p , donde u y v son números reales con u ² + v ² = 1. Este es un subgrupo circular. Para concreción, se puede tomar p = k , y luego la fibración de Hopf se puede definir como el mapa que envía un versor ω a ω k ω ^∗ . Todos los cuaterniones ωq , donde q es uno de los círculos de versores que fijan k , se asignan a la misma cosa (que resulta ser una de las dos rotaciones de 180 ° que rotan k al mismo lugar que ω ).

Otra forma de ver esta fibración es que cada versor ω mueve el plano abarcado por {1, k } a un nuevo plano abarcado por { ω , ωk } . Cualquier cuaternión ωq , donde q es uno de los círculos de versores que fijan k , tendrá el mismo efecto. Ponemos todos estos en una fibra, y las fibras se pueden mapear uno a uno a la 2 -esfera de rotaciones de 180 °, que es el rango de ωkω ^* .

Este enfoque está relacionado con la construcción directa identificando un cuaternión q = x ₁ + i x ₂ + j x ₃ + k x ₄ con la matriz 2 × 2 :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}+\mathbf {i} x_{2}&x_{3}+\mathbf {i} x_{4}\\-x_{3}+\mathbf {i} x_{4}&x_{1}-\mathbf {i} x_{2}\end{bmatrix}}.\,\!}$

Esto identifica el grupo de versores con SU (2) , y los cuaterniones imaginarios con las matrices 2 × 2 sesgadas-hermitianas (isomorfas a C × R ).

Fórmulas explícitas

La rotación inducida por un cuaternión unitario q = w + i x + j y + k z viene dada explícitamente por la matriz ortogonal

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-2(y^{2}+z^{2})&2(xy-wz)&2(xz+wy)\\2(xy+wz)&1-2(x^{2}+z^{2})&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(yz+wx)&1-2(x^{2}+y^{2})\end{bmatrix}}.}$

Aquí encontramos una fórmula real explícita para la proyección del paquete al observar que el vector unitario fijo a lo largo del eje z , (0,0,1) , gira a otro vector unitario,

${\displaystyle {\Big (}2(xz+wy),2(yz-wx),1-2(x^{2}+y^{2}){\Big )},\,\!}$

que es una función continua de ( w , x , y , z ) . Es decir, la imagen de q es el punto en la esfera 2 donde envía el vector unitario a lo largo del eje z . La fibra para un punto dado en S ² consta de todos esos cuaterniones unitarios que envían el vector unitario allí.

También podemos escribir una fórmula explícita para la fibra sobre un punto ( a , b , c ) en S ² . La multiplicación de cuaterniones unitarios produce una composición de rotaciones, y

${\displaystyle q_{\theta }=\cos \theta +\mathbf {k} \sin \theta }$

es una rotación de 2 θ alrededor del eje z . A medida que θ varía, esto barre un gran círculo de S ³ , nuestra fibra prototípica. Siempre que el punto base, ( a , b , c ) , no sea la antípoda, (0, 0, −1) , el cuaternión

${\displaystyle q_{(a,b,c)}={\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}(1+c-\mathbf {i} b+\mathbf {j} a)}$

enviará (0, 0, 1) a ( a , b , c ) . Así, la fibra de ( a , b , c ) viene dada por cuaterniones de la forma q _{( a , b , c )} q _θ , que son los puntos S ³

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}{\Big (}(1+c)\cos(\theta ),a\sin(\theta )-b\cos(\theta ),a\cos(\theta )+b\sin(\theta ),(1+c)\sin(\theta ){\Big )}.\,\!}$

Dado que la multiplicación por q _{( a , b , c )} actúa como una rotación del espacio del cuaternión, la fibra no es simplemente un círculo topológico, es un círculo geométrico.

La fibra final, para (0, 0, −1) , se puede dar definiendo q _{(0,0, −1)} para que sea igual a i , produciendo

${\displaystyle {\Big (}0,\cos(\theta ),-\sin(\theta ),0{\Big )},}$

que completa el paquete. Pero tenga en cuenta que este mapeo uno a uno entre S ³ y S ² × S ¹ no es continuo en este círculo, lo que refleja el hecho de que S ³ no es topológicamente equivalente a S ² × S ¹ .

Por tanto, una forma sencilla de visualizar la fibración de Hopf es la siguiente. Cualquier punto en la 3 -esfera es equivalente a un cuaternión , que a su vez es equivalente a una rotación particular de un marco de coordenadas cartesianas en tres dimensiones. El conjunto de todos los cuaterniones posibles produce el conjunto de todas las rotaciones posibles, que mueve la punta de un vector unitario de dicho marco de coordenadas (digamos, el vector z ) a todos los puntos posibles en una esfera unitaria 2 . Sin embargo, fijar la punta del vector z no especifica la rotación por completo; una rotación adicional es posible sobre el z - eje. Por lo tanto, la 3 -esfera se asigna a la 2-esfera, más una sola rotación.

La rotación se puede representar mediante los ángulos de Euler θ, φ y ψ. El mapeo de Hopf mapea la rotación al punto en la 2-esfera dada por θ y φ, y el círculo asociado está parametrizado por ψ. Tenga en cuenta que cuando θ = π los ángulos de Euler φ y ψ no están bien definidos individualmente, por lo que no tenemos un mapeo uno a uno (o un mapeo uno a dos) entre los 3-toros de (θ, φ , ψ) y S ³ .

Mecánica de fluidos

Si la fibración de Hopf se trata como un campo vectorial en un espacio tridimensional, entonces existe una solución para las ecuaciones de dinámica de fluidos de Navier-Stokes (compresibles, no viscosas) en las que el fluido fluye a lo largo de los círculos de la proyección de la fibración de Hopf. en un espacio tridimensional. El tamaño de las velocidades, la densidad y la presión se pueden elegir en cada punto para satisfacer las ecuaciones. Todas estas cantidades caen a cero alejándose del centro. Si a es la distancia al anillo interior, los campos de velocidades, presión y densidad vienen dados por:

${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=A\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-2}\left(2(-ay+xz),2(ax+yz),a^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\right)}$

${\displaystyle p(x,y,z)=-A^{2}B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3},}$

${\displaystyle \rho (x,y,z)=3B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1}}$

para las constantes arbitrarias A y B . Se encuentran patrones similares de campos como soluciones de solitones de magnetohidrodinámica : ^[4]

Generalizaciones

La construcción de Hopf, vista como un haz de fibras p : S ³ → CP ¹ , admite varias generalizaciones, que también se conocen a menudo como fibraciones de Hopf. Primero, se puede reemplazar la línea proyectiva por un espacio proyectivo n- dimensional . En segundo lugar, se pueden reemplazar los números complejos por cualquier álgebra de división (real) , incluidos (para n = 1) los octoniones .

Fibraciones reales de Hopf

Se obtiene una versión real de la fibración de Hopf considerando el círculo S ¹ como un subconjunto de R ² de la forma habitual e identificando puntos antípodas. Esto da un haz de fibras S ¹ → RP ¹ sobre la línea proyectiva real con fibra S ⁰ = {1, −1}. Así como CP ¹ es difeomórfico a una esfera, RP ¹ es difeomórfico a un círculo.

De manera más general, las n -esferas S ⁿ fibras sobre el espacio proyectivo real RP ⁿ con fibra S ⁰ .

Fibraciones complejas de Hopf

La construcción de Hopf da haces circulares p  : S ^{2 n +1} → CP ⁿ sobre un espacio proyectivo complejo . Esta es en realidad la restricción del paquete de líneas tautológicas sobre CP ⁿ a la esfera unitaria en C ^{n +1} .

Fibraciones de Hopf cuaterniónicas

De manera similar, se puede considerar que S ^{4 n + 3 se} encuentra en H ^{n + 1} ( espacio n cuaterniónico ) y se puede factorizar por multiplicación de cuaterniones unitarios (= S ³ ) para obtener el espacio proyectivo cuaterniónico HP ⁿ . En particular, dado que S ⁴ = HP ¹ , hay un paquete S ⁷ → S ⁴ con fibra S ³ .

Fibraciones octoniónicas de Hopf

Una construcción similar con los octoniones produce un haz S ¹⁵ → S ⁸ con fibra S ⁷ . Pero la esfera S ³¹ no fibra sobre S ¹⁶ con fibra S ¹⁵ . Se puede considerar a S ⁸ como la línea proyectiva octoniónica OP ¹ . Aunque también se puede definir un plano proyectivo octoniónico OP ² , la esfera S ²³ no fibra sobre OP ² con fibra S ⁷ .^{[5] [6]}

Fibraciones entre esferas

A veces, el término "fibración de Hopf" se restringe a las fibraciones entre esferas obtenidas anteriormente, que son

• S ¹ → S ¹ con fibra S ⁰
• S ³ → S ² con fibra S ¹
• S ⁷ → S ⁴ con fibra S ³
• S ¹⁵ → S ⁸ con fibra S ⁷

Como consecuencia del teorema de Adams , los haces de fibras con esferas como espacio total, espacio base y fibra solo pueden ocurrir en estas dimensiones. John Milnor utilizó haces de fibras con propiedades similares, pero diferentes de las fibraciones de Hopf, para construir esferas exóticas .

Geometría y aplicaciones

Las fibras de la fibración de Hopf se proyectan estereográficamente a una familia de círculos de Villarceau en R ³ .

La fibración de Hopf tiene muchas implicaciones, algunas puramente atractivas, otras más profundas. Por ejemplo, la proyección estereográfica S ³ → R ³ induce una estructura notable en R ³ , que a su vez ilumina la topología del haz ( Lyons 2003 ). La proyección estereográfica conserva los círculos y asigna las fibras de Hopf a círculos geométricamente perfectos en R ³ que llenan el espacio. Aquí hay una excepción: el círculo de Hopf que contiene el punto de proyección se asigna a una línea recta en R ³ , un "círculo hasta el infinito".

Las fibras sobre un círculo de latitud en S ² forman un toro en S ³ (topológicamente, un toro es el producto de dos círculos) y estos se proyectan a toros anidados en R ³ que también llenan el espacio. Las fibras individuales se mapean para vincular los círculos de Villarceau en estos toros, con la excepción del círculo a través del punto de proyección y el que pasa por su punto opuesto.: el primero se asigna a una línea recta, el segundo a un círculo unitario perpendicular y centrado en esta línea, que puede verse como un toro degenerado cuyo radio menor se ha reducido a cero. Cada otra imagen de fibra rodea la línea también, por lo que, por simetría, cada círculo está vinculado a través de cada círculo, tanto en R ³ como en S ³ . Dos de estos círculos de enlace forman un enlace Hopf en R ³

Hopf demostró que el mapa de Hopf tiene el invariante 1 de Hopf y, por lo tanto, no es homotópico nulo . De hecho genera el grupo de homotopía π ₃ ( S ² ) y tiene un orden infinito.

En mecánica cuántica , la esfera de Riemann se conoce como la esfera de Bloch , y la fibración de Hopf describe la estructura topológica de un sistema de dos niveles de mecánica cuántica o qubit . De manera similar, la topología de un par de sistemas entrelazados de dos niveles viene dada por la fibración de Hopf

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4}.}$

( Mosseri y Dandoloff 2001 ).

La fibración de Hopf es equivalente a la estructura del haz de fibras del monopolo de Dirac . ^[7]

Notas

1. Esta partición de la 3 -esfera en grandes círculos disjuntos es posible porque, a diferencia de la 2 -esfera, no es necesario que los grandes círculos distintos de la 3 -esfera se crucen.
2. Fibra de Hopf cuaterniónica, ncatlab.org. https://ncatlab.org/nlab/show/quaternionic+Hopf+fibration
3. Smith, Benjamin. "Notas de fibración Hopf de Benjamin H. Smith" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 14 de septiembre de 2016.
4. Kamchatnov, AM (1982), Solitones topológicos en magnetohidrodinámica (PDF)
5. Besse, Arthur (1978). Colectores cuyas geodésicas están cerradas . Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-08158-6. (§0.26 en la página 6)
6. sci.math.research 1993 hilo "Esferas fibred por esferas"
7. Friedman, John L. (junio de 2015). "Nota histórica sobre haces de fibras" . Física hoy . 68 (6): 11. Bibcode : 2015PhT .... 68f..11F . doi : 10.1063 / PT.3.2799 .

Referencias

• Cayley, Arthur (1845), "Sobre ciertos resultados relacionados con los cuaterniones" , Philosophical Magazine , 26 (171): 141-145, doi : 10.1080 / 14786444508562684; reimpreso como artículo 20 en Cayley, Arthur (1889), Los artículos matemáticos recopilados de Arthur Cayley , I, (1841-1853), Cambridge University Press , págs. 123-126
• Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche" , Mathematische Annalen , Berlín: Springer , 104 (1): 637–665, doi : 10.1007 / BF01457962 , ISSN  0025-5831 , S2891CID  123533
• Hopf, Heinz (1935), "Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension", Fundamenta Mathematicae , Varsovia: Academia polaca. Sci., 25 : 427–440, doi : 10.4064 / fm-25-1-427-440 , ISSN  0016-2736
• Lyons, David W. (abril de 2003), "An Elementary Introduction to the Hopf Fibration" (PDF) , Mathematics Magazine , 76 (2): 87–98, doi : 10.2307 / 3219300 , ISSN  0025-570X , JSTOR  3219300
• Mosseri, R .; Dandoloff, R. (2001), "Geometría de estados entrelazados, esferas de Bloch y fibraciones de Hopf", Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical , 34 (47): 10243-10252, arXiv : quant-ph / 0108137 , Bibcode : 2001JPhA ... 3410243M , doi : 10.1088 / 0305-4470 / 34/47/324  , S2CID 119462869.
• Steenrod, Norman (1951), The Topology of Fiber Bundles , PMS 14, Princeton University Press (publicado en 1999), ISBN 978-0-691-00548-5
• Urbantke, HK (2003), "The Hopf fibration-seven times in physics", Journal of Geometry and Physics , 46 (2): 125-150, Bibcode : 2003JGP .... 46..125U , doi : 10.1016 / S0393 -0440 (02) 00121-3
• Zamboj, Michal (8 de enero de 2021). "Construcción sintética de la fibración de Hopf en el doble saliente ortogonal del 4-espacio". arXiv : 2003.09236v2 [ math.HO ].

Enlaces externos

• "Fibra de Hopf" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Dimensions Math Los capítulos 7 y 8 ilustran la fibración de Hopf con gráficos animados por computadora.
• Una introducción elemental a la fibra de Hopf por David W. Lyons ( PDF )
• Animación de YouTube que muestra el mapeo dinámico de puntos en la 2-esfera a círculos en la 3-esfera, por el profesor Niles Johnson.
• La animación de YouTube de la construcción de la celda de 120 por Gian Marco Todesco muestra la fibración de Hopf de la celda de 120.
• Video de un anillo de 30 celdas del 600 celdas de http://page.math.tu-berlin.de/~gunn/ .
• Visualización interactiva del mapeo de puntos en la 2-esfera a círculos en la 3-esfera