En estática , el problema de apilamiento de bloques (a veces conocido como La torre inclinada de Lire ( Johnson 1955 ), también el problema de apilamiento de libros , o una serie de otros términos similares) es un acertijo relacionado con el apilamiento de bloques en el borde de un mesa.
Declaración
El problema del apilamiento de bloques es el siguiente acertijo:
Lugar bloques rectangulares rígidos idénticos en una pila estable sobre el borde de una mesa de tal manera que se maximice el voladizo.
Paterson y col. (2007) proporcionan una larga lista de referencias sobre este problema que se remontan a textos de mecánica de mediados del siglo XIX.
Variantes
Ancho único
El problema de un solo ancho implica tener solo un bloque en un nivel dado. En el caso ideal de bloques perfectamente rectangulares, la solución al problema de ancho simple es que el voladizo máximo está dado porveces el ancho de un bloque. Esta suma es la mitad de la suma parcial correspondiente de la serie armónica . Debido a que la serie armónica diverge, el voladizo máximo tiende al infinito como aumenta, lo que significa que es posible lograr cualquier voladizo arbitrariamente grande, con bloques suficientes.
norte | Voladizo máximo | |||
---|---|---|---|---|
expresado como una fracción | decimal | tamano relativo | ||
1 | 1 | / 2 | 0,5 | |
2 | 3 | / 4 | 0,75 | |
3 | 11 | / 12 | ~ 0,91667 | |
4 | 25 | / 24 | ~ 1.04167 | |
5 | 137 | / 120 | ~ 1,14167 | |
6 | 49 | / 40 | 1.225 | |
7 | 363 | / 280 | ~ 1.29643 | |
8 | 761 | / 560 | ~ 1.35893 | |
9 | 7 129 | / 5 040 | ~ 1.41448 | |
10 | 7 381 | / 5 040 | ~ 1.46448 |
norte | Voladizo máximo | |||
---|---|---|---|---|
expresado como una fracción | decimal | tamano relativo | ||
11 | 83 711 | / 55 440 | ~ 1,50994 | |
12 | 86 021 | / 55 440 | ~ 1,55161 | |
13 | 1 145 993 | / 720 720 | ~ 1.59007 | |
14 | 1 171 733 | / 720 720 | ~ 1.62578 | |
15 | 1 195 757 | / 720 720 | ~ 1.65911 | |
dieciséis | 2 436 559 | / 1 441440 | ~ 1.69036 | |
17 | 42 142 223 | / 24 504 480 | ~ 1.71978 | |
18 | 14 274 301 | / 8 168 160 | ~ 1.74755 | |
19 | 275 295 799 | / 155 195 040 | ~ 1.77387 | |
20 | 55 835 135 | / 31 039 008 | ~ 1.79887 |
norte | Voladizo máximo | |||
---|---|---|---|---|
expresado como una fracción | decimal | tamano relativo | ||
21 | 18 858 053 | / 10 346 336 | ~ 1.82268 | |
22 | 19093 197 | / 10 346 336 | ~ 1.84541 | |
23 | 444 316 699 | / 237965728 | ~ 1.86715 | |
24 | 1 347 822 955 | / 713 897 184 | ~ 1.88798 | |
25 | 34 052 522 467 | / 17 847 429600 | ~ 1.90798 | |
26 | 34 395 742 267 | / 17 847 429600 | ~ 1.92721 | |
27 | 312 536 252003 | / 160 626 866 400 | ~ 1.94573 | |
28 | 315 404588 903 | / 160 626 866 400 | ~ 1.96359 | |
29 | 9 227046 511 387 | / 4658179125600 | ~ 1.98083 | |
30 | 9 304 682830147 | / 4658179125600 | ~ 1.99749 |
El número de bloques necesarios para alcanzar al menos las longitudes de bloque más allá del borde de la tabla son 4, 31, 227, 1674, 12367, 91380, ... (secuencia A014537 en el OEIS ). [1]
Multi-ancho
Las pilas de varios anchos que utilizan contrapeso pueden producir voladizos más grandes que una pila de un solo ancho. Incluso para tres bloques, apilar dos bloques contrapesados encima de otro bloque puede dar un voladizo de 1, mientras que el voladizo en el caso ideal simple es como máximo 11/12. Como Paterson et al. (2007) mostraron, asintóticamente, que el voladizo máximo que se puede lograr con pilas de varios anchos es proporcional a la raíz cúbica del número de bloques, en contraste con el caso de un solo ancho en el que el voladizo es proporcional al logaritmo del número de bloques.
Robustez
Hall (2005) analiza este problema, muestra que es resistente a no idealizaciones como esquinas redondeadas de bloques y precisión finita en la colocación de bloques, e introduce varias variantes que incluyen fuerzas de fricción distintas de cero entre bloques adyacentes.
Referencias
- Hall, JF (2005). "Diversión apilando bloques". Revista estadounidense de física . 73 (12): 1107-1116. Código bibliográfico : 2005AmJPh..73.1107H . doi : 10.1119 / 1.2074007 ..
- Johnson, Paul B. (abril de 1955). "Torre inclinada de Lire". Revista estadounidense de física . 23 (4): 240. Bibcode : 1955AmJPh..23..240J . doi : 10.1119 / 1.1933957 .
- Paterson, Mike ; Peres, Yuval ; Thorup, Mikkel ; Winkler, Peter ; Zwick, Uri (2007). "Voladizo máximo". arXiv : 0707.0093 [ matemáticas.HO ].
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Problema de apilamiento de libros" . MathWorld .
- "Construyendo un Puente Infinito" . Serie PBS Infinite . 2017-05-04 . Consultado el 3 de septiembre de 2018 .