En matemáticas y teoría de grupos , un sistema de bloques para la acción de un grupo G en un conjunto X es una partición de X que es G -invariante . En términos de la relación de equivalencia asociada en X , G -invariancia significa que
para todo g ∈ G y todo x , y ∈ X . La acción de G sobre X induce una acción natural de G sobre cualquier sistema de bloques para X.
El conjunto de órbitas del G -set X es un ejemplo de un sistema de bloques. La relación de equivalencia correspondiente es la equivalencia G -invariante más pequeña en X tal que la acción inducida en el sistema de bloques es trivial.
La partición en conjuntos únicos es un sistema de bloques y si X no está vacío, entonces la partición en un conjunto X también es un sistema de bloques (si X es un conjunto único, entonces estas dos particiones son idénticas). Se dice que un G - set X transitivo (y por lo tanto no vacío) es primitivo si no tiene otros sistemas de bloques. Para un G - set X no vacío , el requisito de transitividad de la definición anterior solo es necesario en el caso de que | X |= 2 y la acción del grupo es trivial.
Cada elemento de algún sistema de bloques se llama bloque . Un bloque se puede caracterizar como un subconjunto no vacío B de X tal que para todo g ∈ G , ya sea
Prueba: Suponga que B es un bloque, y para algún g ∈ G es gB ∩ B ≠ ∅. Entonces para algún x ∈ B es gx ~ x . Sea y ∈ B , entonces x ~ y y de la G -invariancia se sigue que gx ~ gy . Así y ~ gy y por tanto gB ⊆ B . La condición gx ~ x también implica x~ g − 1 x , y por el mismo método se sigue que g − 1 B ⊆ B , y por lo tanto B ⊆ gB . En la otra dirección, si el conjunto B satisface la condición dada, entonces el sistema { gB | g ∈ G } junto con el complemento de la unión de estos conjuntos es un sistema de bloques que contiene a B .