Explotando
En matemáticas , estallar o estallar es un tipo de transformación geométrica que reemplaza un subespacio de un espacio dado con todas las direcciones apuntando fuera de ese subespacio. Por ejemplo, la explosión de un punto en un plano reemplaza el punto con el espacio tangente proyectado en ese punto. La metáfora es la de hacer zoom en una fotografía para agrandar parte de la imagen, en lugar de referirse a una explosión .
Las explosiones son la transformación más fundamental en la geometría biracional , porque cada morfismo biracional entre variedades proyectivas es una explosión. El teorema de factorización débil dice que cada mapa biracional puede factorizarse como una composición de ampliaciones particularmente simples. El grupo de Cremona , el grupo de automorfismos biracionales del avión, se genera por explosiones.
Además de su importancia para describir las transformaciones biracionales, las ampliaciones también son una forma importante de construir nuevos espacios. Por ejemplo, la mayoría de los procedimientos para la resolución de singularidades proceden haciendo explotar singularidades hasta que se vuelven suaves. Una consecuencia de esto es que las ampliaciones se pueden utilizar para resolver las singularidades de los mapas biracionales.
Clásicamente, las ampliaciones se definieron de forma extrínseca, definiendo primero la ampliación en espacios como el espacio proyectivo utilizando una construcción explícita en coordenadas y luego definiendo las ampliaciones en otros espacios en términos de una incrustación. Esto se refleja en parte de la terminología, como el término clásico transformación monoidal . La geometría algebraica contemporánea trata la explosión como una operación intrínseca en una variedad algebraica. Desde esta perspectiva, una explosión es la forma universal (en el sentido de la teoría de categorías ) de convertir una subvariedad en un divisor de Cartier .
Una explosión también se puede llamar transformación monoidal , transformación cuadrática local , dilatación , proceso σ o mapa de Hopf .
El caso más simple de una explosión es la explosión de un punto en un avión. La mayoría de las características generales de la explosión se pueden ver en este ejemplo.
