En la geometría algebraica , el problema de resolución de singularidades pregunta si cada variedad algebraica V tiene una resolución, una variedad no singular W con una adecuada birracional mapa W → V . Para las variedades sobre campos de característica 0 esto se demostró en Hironaka (1964) , mientras que para las variedades sobre campos de característica p es un problema abierto en dimensiones de al menos 4. [1]
Definiciones
Originalmente, el problema de la resolución de singularidades era encontrar un modelo no singular para el campo de función de una variedad X , es decir, una variedad completa no singular X ′ con el mismo campo de función. En la práctica, es más conveniente para pedir una condición diferente de la siguiente manera: una variedad X tiene una resolución de singularidades si podemos encontrar una variedad no singular X ' y un adecuado mapa de birracional X' a X . La condición de que el mapa adecuado es que se necesita para excluir soluciones triviales, como la toma X ' para ser la subvariedad de puntos no singulares de X .
De manera más general, a menudo es útil resolver las singularidades de una variedad X incrustadas en una variedad W más grande . Supongamos que tenemos una inclusión cerrada de X en una variedad W regular . Una fuerte desingularización de X viene dada por un morfismo biracional adecuado de una variedad regular W ′ a W sujeto a algunas de las siguientes condiciones (la elección exacta de las condiciones depende del autor):
- La transformada estricta X ′ de X es regular y transversal al locus excepcional del morfismo de resolución (por lo que en particular resuelve las singularidades de X ).
- El mapa de la estricta transformada de X a X es un isomorfismo lejos de los puntos singulares de X .
- W ′ se construye haciendo explotar repetidamente subvariedades cerradas regulares de W o subvariedades más fuertemente regulares de X , transversales al locus excepcional de las ampliaciones anteriores.
- La construcción de W ′ es funcional para morfismos suaves de W e incrustaciones de W en una variedad más grande. (No se puede hacer funcional para todos los morfismos (no necesariamente suaves) de ninguna manera razonable).
- El morfismo de X ' a X no depende de la incorporación de X en W . O en general, la secuencia de explosiones es funcional con respecto a los morfismos suaves .
Hironaka demostró que hay una fuerte desingularización que satisface las tres primeras condiciones anteriores siempre que X se define sobre un campo de característica 0, y varios autores mejoraron su construcción (ver más abajo) para que satisfaga todas las condiciones anteriores.
Resolución de singularidades de curvas
Cada curva algebraica tiene un modelo proyectivo no singular único, lo que significa que todos los métodos de resolución son esencialmente los mismos porque todos construyen este modelo. En dimensiones superiores, esto ya no es cierto: las variedades pueden tener muchos modelos proyectivos no singulares diferentes.
Kollár (2007) enumera alrededor de 20 formas de probar la resolución de singularidades de curvas.
Método de Newton
La resolución de singularidades de curvas fue probada esencialmente por Newton ( 1676 ), quien demostró la existencia de series de Puiseux para una curva de la que se sigue fácilmente la resolución.
El método de Riemann
Riemann construyó una superficie lisa de Riemann a partir del campo de función de una curva algebraica compleja, que da una resolución de sus singularidades. Esto se puede hacer en campos más generales utilizando el conjunto de anillos de valoración discretos del campo como sustituto de la superficie de Riemann.
El método de Albanese
El método de Albanese consiste en tomar una curva que se extiende por un espacio proyectivo de dimensión suficientemente grande (más del doble del grado de la curva) y proyectar repetidamente hacia abajo desde puntos singulares hacia espacios proyectivos de menor dimensión. Este método se extiende a variedades de dimensiones superiores y muestra que cualquier variedad n- dimensional tiene un modelo proyectivo con singularidades de multiplicidad como máximo n ! Para una curva, n = 1 , por lo que no hay puntos singulares.
Normalización
Muhly y Zariski (1939) dieron un método de un paso para resolver singularidades de una curva tomando la normalización de la curva. La normalización elimina todas las singularidades en la codimensión 1, por lo que funciona para curvas pero no en dimensiones superiores.
Anillos de valoración
Otro método de un solo paso para resolver las singularidades de una curva es tomar un espacio de anillos de valoración del campo funcional de la curva. Este espacio se puede convertir en una curva proyectiva no singular biracional a la curva original.
Explotando
Explotar repetidamente los puntos singulares de una curva eventualmente resolverá las singularidades. La tarea principal de este método es encontrar una manera de medir la complejidad de una singularidad y demostrar que la explosión mejora esta medida. Hay muchas maneras de hacer esto. Por ejemplo, se puede utilizar el género aritmético de la curva.
El método de Noether
El método de Noether toma una curva plana y aplica repetidamente transformaciones cuadráticas (determinadas por un punto singular y dos puntos en posición general). Finalmente, esto produce una curva plana cuyas únicas singularidades son puntos múltiples ordinarios (todas las rectas tangentes tienen multiplicidad 1).
El método de Bertini
El método de Bertini es similar al método de Noether. Comienza con una curva plana y aplica repetidamente transformaciones biracionales al plano para mejorar la curva. Las transformaciones biracionales son más complicadas que las transformaciones cuadráticas utilizadas en el método de Noether, pero producen el mejor resultado de que las únicas singularidades son puntos dobles ordinarios.
Resolución de singularidades de superficies
Las superficies tienen muchos modelos proyectivos no singulares diferentes (a diferencia del caso de las curvas donde el modelo proyectivo no singular es único). Sin embargo, una superficie todavía tiene una resolución mínima única, que todas las demás tienen en cuenta (todas las demás son resoluciones de la misma). En dimensiones superiores no es necesario que exista una resolución mínima.
Hubo varios intentos de probar la resolución de superficies sobre los números complejos por Del Pezzo (1892) , Levi (1899) , Severi (1914) , Chisini (1921) y Albanese (1924) , pero Zariski (1935 , capítulo I sección 6) señala que ninguno de estos primeros intentos está completo, y todos son vagos (o incluso erróneos) en algún punto crítico del argumento. Walker (1935) dio la primera demostración rigurosa , y Zariski (1939) dio una demostración algebraica para todos los campos de la característica 0 . Abhyankar (1956) dio una prueba para superficies de característica distinta de cero. Lipman (1978) también ha demostrado la resolución de singularidades para todos los esquemas bidimensionales excelentes (incluidas todas las superficies aritméticas ) .
El método de Zariski
El método de Zariski de resolución de singularidades para superficies es alternar repetidamente la normalización de la superficie (que mata las singularidades de la codimensión 1) con puntos de explosión (lo que mejora las singularidades de la codimensión 2, pero puede introducir nuevas singularidades de la codimensión 1). Aunque esto resolverá las singularidades de las superficies por sí mismo, Zariski usó un método más indirecto: primero demostró un teorema de uniformización local que muestra que cada valoración de una superficie podría resolverse, luego usó la compacidad de la superficie de Zariski-Riemann para demostrar que Es posible encontrar un conjunto finito de superficies tal que el centro de cada valoración sea simple en al menos una de estas superficies, y finalmente al estudiar mapas biracionales entre superficies se demostró que este conjunto finito de superficies podría ser reemplazado por un único no singular. superficie.
El método de Jung
Al aplicar una resolución incrustada fuerte para las curvas, Jung (1908) reduce a una superficie con solo singularidades bastante especiales (singularidades de cociente abeliano) que luego se tratan explícitamente. La versión de dimensiones superiores de este método es el método de De Jong.
Método albanés
En general, el análogo del método de Albanese para las curvas muestra que para cualquier variedad se puede reducir a singularidades de orden como máximo n !, Donde n es la dimensión. Para las superficies, esto se reduce al caso de las singularidades de orden 2, que son bastante fáciles de hacer explícitamente.
El método de Abhyankar
Abhyankar (1956) demostró la resolución de singularidades para superficies sobre un campo de cualquier característica al demostrar un teorema de uniformización local para anillos de valoración. El caso más difícil son los anillos de valoración de rango 1 cuyo grupo de valoración es un subgrupo no discreto de los números racionales. El resto de la demostración sigue el método de Zariski.
El método de Hironaka
El método de Hironaka para variedades de características arbitrarias proporciona un método de resolución para superficies, que implica hacer explotar repetidamente puntos o curvas suaves en el conjunto singular.
El método de Lipman
Lipman (1978) demostró que una superficie Y (un esquema noetheriano reducido bidimensional) tiene una desingularización si y solo si su normalización es finita sobre Y y analíticamente normal (las terminaciones de sus puntos singulares son normales) y sólo tiene un número finito de singulares. puntos. En particular, si Y es excelente, entonces tiene una desingularización.
Su método consistía en considerar superficies normales Z con un mapa biracional propio de Y y mostrar que hay uno mínimo con un género aritmético mínimo posible. Luego muestra que todas las singularidades de este mínimo Z son pseudorracionales, y muestra que las singularidades pseudorracionales pueden resolverse haciendo explotar puntos repetidamente.
Resolución de singularidades en dimensiones superiores
El problema de la resolución de singularidades en dimensiones superiores es notorio por muchas pruebas incorrectas publicadas y anuncios de pruebas que nunca aparecieron.
El método de Zariski
Para 3 pliegues, la resolución de singularidades fue probada en la característica 0 por Zariski (1944) . Primero demostró un teorema sobre la uniformización local de los anillos de valoración, válido para variedades de cualquier dimensión sobre cualquier campo de característica 0. Luego demostró que el espacio de valoraciones de Zariski-Riemann es cuasi-compacto (para cualquier variedad de cualquier dimensión sobre cualquier campo ), lo que implica que existe una familia finita de modelos de cualquier variedad proyectiva, de modo que cualquier valoración tiene un centro uniforme sobre al menos uno de estos modelos. La parte final y más difícil de la demostración, que utiliza el hecho de que la variedad es de dimensión 3 pero que funciona para todas las características, es mostrar que dados 2 modelos se puede encontrar un tercero que resuelva las singularidades que tiene cada uno de los dos modelos dados. resolver.
El método de Abhyankar
Abhyankar (1966) probó la resolución de singularidades para 3 pliegues en característica mayor que 6. La restricción sobre la característica surge porque Abhyankar muestra que es posible resolver cualquier singularidad de un triple de multiplicidad menor que la característica, y luego usa ¡El método de Albanese para mostrar que las singularidades pueden reducirse a las de multiplicidad como máximo (dimensión)! = 3! = 6. Cutkosky (2009) dio una versión simplificada de la demostración de Abhyankar.
Cossart y Piltant ( 2008 , 2009 ) demostraron la resolución de singularidades de 3 pliegues en todas las características, demostrando uniformización local en dimensión como máximo 3, y luego comprobando que la prueba de Zariski de que esto implica resolución para 3 pliegues todavía funciona en la característica positiva caso.
El método de Hironaka
La resolución de singularidades en la característica 0 en todas las dimensiones fue probada por primera vez por Hironaka (1964) . Demostró que era posible resolver singularidades de variedades sobre campos de característica 0 explotando repetidamente subvariedades no singulares, utilizando un argumento muy complicado por inducción sobre la dimensión. Varias personas, entre ellas Bierstone, Milman y 1991-97, dieron versiones simplificadas de su formidable prueba.
, Villamayor (1992) , Encinas y Villamayor (1998) , Encinas y Hauser (2002) , Wlodarczyk (2005) , Kollár (2007) . Algunas de las pruebas recientes tienen aproximadamente una décima parte de la longitud de la prueba original de Hironaka y son bastante fáciles de impartir en un curso de postgrado introductorio. Para una explicación expositiva del teorema, ver ( Hauser 2003 ) y para una discusión histórica ver ( Hauser 2000 ).El método de De Jong
de Jong (1996) encontró un enfoque diferente para la resolución de singularidades, generalizando el método de Jung para superficies, que fue utilizado por Bogomolov y Pantev (1996) y por Abramovich y de Jong (1997) para probar la resolución de singularidades en la característica 0. De Jong's El método dio un resultado más débil para las variedades de todas las dimensiones en la característica p , que era lo suficientemente fuerte como para actuar como sustituto de la resolución para muchos propósitos. De Jong demostró que para cualquier variedad X sobre un campo hay un morfismo adecuada dominante que conserva la dimensión de una variedad ordinario en X . Esto no es necesariamente un mapa birracional, por lo que no es una resolución de singularidades, ya que puede ser genéricamente finita a uno y así implica una extensión finita del campo en función de X . La idea de De Jong era tratar de representar X como una fibración sobre un espacio más pequeño Y con fibras que son curvas (esto puede implicar modificar X ), luego eliminar las singularidades de Y por inducción en la dimensión, luego eliminar las singularidades en las fibras.
Resolución de esquemas y estado del problema
Es fácil extender la definición de resolución a todos los esquemas. No todos los esquemas tienen resoluciones de sus singularidades: Grothendieck (1965 , sección 7.9)
demostró que si un esquema localmente noetheriano X tiene la propiedad de que se pueden resolver las singularidades de cualquier esquema integral finito sobre X , entonces X debe ser cuasi-excelente . Grothendieck también sugirió que lo contrario podría ser válido: en otras palabras, si un esquema localmente noetheriano X es reducido y cuasi excelente, entonces es posible resolver sus singularidades. Cuando X se define sobre un campo de característica 0 y es noetheriano, esto se sigue del teorema de Hironaka, y cuando X tiene una dimensión como máximo 2, fue demostrado por Lipman.Hauser (2010) realizó una encuesta sobre el trabajo sobre el problema de resolución de la característica p no resuelta .
Método de prueba en característica cero
( Kollár 2007 , Conferencias sobre resolución de singularidades)
Hay muchas construcciones de fuerte desingularización, pero todas dan esencialmente el mismo resultado. En todos los casos el objeto global (la variedad a desingularizar) es reemplazado por datos locales (el haz ideal de la variedad y los de los divisores excepcionales y unos órdenes que representan cuánto debe resolverse el ideal en ese paso). Con estos datos locales se definen los centros de voladura. Los centros se definirán localmente y, por lo tanto, es un problema garantizar que se correspondan en un centro global. Esto se puede hacer definiendo qué explosiones se permiten para resolver cada ideal. Si se hace de forma adecuada, los centros coincidirán automáticamente. Otra forma es definir un invariante local en función de la variedad y la historia de la resolución (los centros locales anteriores) de modo que los centros consistan en el locus máximo del invariante. La definición de esto se hace de tal manera que hacer esta elección es significativa, dando centros suaves transversales a los divisores excepcionales.
En cualquier caso el problema se reduce a resolver las singularidades de la tupla formada por el haz ideal y los datos extra (los divisores excepcionales y el orden, d , al que debe ir la resolución para ese ideal). Esta tupla se denomina ideal marcado y el conjunto de puntos en los que el orden del ideal es mayor que d se denomina co-apoyo. La prueba de que hay una resolución para los ideales marcados se hace por inducción sobre la dimensión. La inducción se rompe en dos pasos:
- La desingularización funcional de ideales marcados de dimensión n - 1 implica la desingularización funcional de ideales marcados de orden máximo de dimensión n .
- La desingularización funcional de ideales marcados de orden máximo de dimensión n implica la desingularización funcional de un ideal marcado (general) de dimensión n .
Aquí decimos que un ideal marcado es de orden máximo si en algún punto de su co-soporte el orden del ideal es igual ad . Un ingrediente clave en la resolución fuerte es el uso de la función de Hilbert-Samuel de los anillos locales de los puntos en la variedad. Este es uno de los componentes del invariante de resolución.
Ejemplos de
La multiplicidad no necesita disminuir bajo la explosión
El invariante más obvio de una singularidad es su multiplicidad. Sin embargo, esto no tiene por qué disminuir con el aumento, por lo que es necesario utilizar invariantes más sutiles para medir la mejora.
Por ejemplo, la cúspide ramphoid y 2 = x 5 tiene una singularidad de orden 2 en el origen. Después de explotar en su punto singular, se convierte en la cúspide ordinaria y 2 = x 3 , que todavía tiene multiplicidad 2.
Es evidente que la singularidad ha mejorado, ya que ha disminuido el grado de definición del polinomio. Esto no sucede en general. Un ejemplo en el que no está dado por la singularidad aislada de x 2 + y 3 z + z 3 = 0 en el origen. Explotarlo da la singularidad x 2 + y 2 z + yz 3 = 0. No es inmediatamente obvio que esta nueva singularidad sea mejor, ya que ambas singularidades tienen multiplicidad 2 y están dadas por la suma de monomios de grados 2, 3, y 4.
Explotar los puntos más singulares no funciona
Una idea natural para mejorar las singularidades es hacer estallar el lugar de los "peores" puntos singulares. El paraguas Whitney x 2 = y 2 z tiene un conjunto singular del eje z , la mayoría de cuyos puntos son puntos dobles ordinarios, pero hay una singularidad de punto de pellizco más complicada en el origen, por lo que explotar los peores puntos singulares sugiere que uno debería comenzar explotando el origen. Sin embargo, la explosión del origen reproduce la misma singularidad en uno de los gráficos de coordenadas. Entonces, hacer explotar los (aparentemente) "peores" puntos singulares no mejora la singularidad. En cambio, la singularidad se puede resolver explotando a lo largo del eje z .
Hay algoritmos que funcionan explotando los "peores" puntos singulares en algún sentido, como ( Bierstone y Milman 1997 ), pero este ejemplo muestra que la definición de los "peores" puntos debe ser bastante sutil.
Para singularidades más complicadas, como x 2 = y m z n que es singular a lo largo de x = yz = 0, explotar la peor singularidad en el origen produce las singularidades x 2 = y m + n −2 z n y x 2 = y m z m + n -2 que son peores que la singularidad original si m y n son ambos al menos 3.
Después de la resolución, la transformada total (la unión de la transformada estricta y los divisores excepcionales) es una variedad con singularidades del tipo de cruces normales simples. Es natural plantearse la posibilidad de resolver singularidades sin resolver este tipo de singularidades, esto es encontrar una resolución que sea un isomorfismo sobre el conjunto de cruces normales lisos y simples. Cuando la transformada estricta es un divisor (es decir, se puede incrustar como una subvariedad de codimensión uno en una variedad suave) se sabe que existe una resolución fuerte que evita los puntos de cruce normales simples. El paraguas de Whitney muestra que no es posible resolver singularidades evitando hacer estallar las singularidades de los cruces normales.
Los procedimientos de resolución incremental necesitan memoria
Una forma natural de resolver singularidades es hacer estallar repetidamente alguna subvariedad suave elegida canónicamente. Esto se encuentra con el siguiente problema. El conjunto singular de x 2 = y 2 z 2 es el par de líneas dadas por los Y y Z ejes. Las únicas variedades razonables para explotar son el origen, uno de estos dos ejes, o todo el conjunto singular (ambos ejes). Sin embargo, no se puede usar el conjunto singular completo ya que no es uniforme, y elegir uno de los dos ejes rompe la simetría entre ellos, por lo que no es canónico. Esto significa que tenemos que empezar por hacer estallar el origen, pero esto reproduce la singularidad original, por lo que parece que estamos dando vueltas en círculos.
La solución a este problema es que si bien la explosión del origen no cambia el tipo de singularidad, sí da una sutil mejora: rompe la simetría entre los dos ejes singulares porque uno de ellos es un divisor excepcional para una explosión previa. por lo que ahora está permitido volar solo uno de estos. Sin embargo, para aprovechar esto, el procedimiento de resolución debe tratar estas 2 singularidades de manera diferente, aunque localmente sean iguales. Esto a veces se hace dándole algo de memoria al procedimiento de resolución, por lo que el centro de la explosión en cada paso depende no solo de la singularidad, sino de las explosiones previas utilizadas para producirla.
Las resoluciones no son funcionales
Algunos métodos de resolución (en la característica 0) son funcionales para todos los morfismos suaves. Sin embargo, no es posible encontrar un functorial de resolución fuerte para todos los morfismos (posiblemente no suaves). Un ejemplo lo da el mapa del plano afín A 2 a la singularidad cónica x 2 + y 2 = z 2 tomando ( X , Y ) a (2 XY , X 2 - Y 2 , X 2 + Y 2 ). El plano XY ya no es singular, por lo que no debe cambiarse por resolución, y cualquier resolución de la singularidad cónica se factoriza a través de la resolución mínima dada al hacer estallar el punto singular. Sin embargo, el mapa racional desde el plano XY hasta esta ampliación no se extiende a un mapa normal.
No es necesario que existan resoluciones mínimas
Las resoluciones mínimas (resoluciones tales que cada resolución se factoriza a través de ellas) existen en las dimensiones 1 y 2, pero no siempre en dimensiones superiores. El flop de Atiyah da un ejemplo en 3 dimensiones de una singularidad sin resolución mínima. Sea Y los ceros de xy = zw en A 4 , y sea V la explosión de Y en el origen. El lugar excepcional de esta explosión es isomórfico a P 1 × P 1 , y puede reducirse a P 1 de 2 formas diferentes, dando dos pequeñas resoluciones X 1 y X 2 de Y , ninguna de las cuales puede reducirse más.
Las resoluciones no deben conmutar con productos
Kollár (2007 , ejemplo 3.4.4, página 121) da el siguiente ejemplo que muestra que no se puede esperar un procedimiento de resolución suficientemente bueno para conmutar entre productos. Si f : A → B es el aumento del origen de un cono cuádrico B en el espacio tridimensional afín, entonces f × f : A × A → B × B no se puede producir mediante un procedimiento de resolución local étale, esencialmente porque el locus excepcional tiene 2 componentes que se cruzan.
Singularidades de las variedades tóricas
Las singularidades de las variedades tóricas dan ejemplos de singularidades de alta dimensión que son fáciles de resolver explícitamente. Una variedad tórica se define por un abanico, una colección de conos en una celosía. Las singularidades se pueden resolver subdividiendo cada cono en una unión de conos, cada uno de los cuales es generado por una base para la celosía, y tomando la correspondiente variedad tórica.
Elegir centros que son subvariedades regulares de X
Construcción de un desingularization de una variedad X puede no producir centros de soplos hasta que son subvariedades lisas de X . Muchas construcciones de una desingularización de una variedad abstracta X proceden de incrustar localmente X en una variedad suave W , considerando su ideal en W y calculando una desingularización canónica de este ideal. La desingularización de ideales usa el orden del ideal como una medida de cuán singular es el ideal. La desingularización del ideal puede hacerse de tal manera que se pueda justificar que los centros locales se unan para dar centros globales. Este método conduce a una prueba que es relativamente más simple de presentar, en comparación con la prueba original de Hironaka, que usa la función de Hilbert-Samuel como la medida de cuán malas son las singularidades. Por ejemplo, las pruebas en Villamayor (1992)
, Encinas y Villamayor (1998) , Encinas y Hauser (2002) , y Kollár (2007) utilizan esta idea. Sin embargo, este método sólo asegura centros de soplos hasta que son regulares en W .El siguiente ejemplo ( Bierstone y Milman 2007 ) muestra que este método puede producir centros que tienen intersecciones no lisas con el (estricta transformada de) X . Por lo tanto, la desingularization resultante, cuando se está restringido a la variedad abstracto X , no se obtiene por la voladura de subvariedades regulares de X .
Sea X la subvariedad del plano afín de cuatro dimensiones, con coordenadas x, y, z, w , generado por y 2 - x 3 y x 4 + xz 2 - w 3 . La desingularización canónica del ideal con estos generadores haría estallar el centro C 0 dado por x = y = z = w = 0. La transformada del ideal en el gráfico x si se genera por x - y 2 y y 2 ( y 2 + z 2 - w 3 ). El siguiente centro de voladura de C 1 está dado por x = y = 0. Sin embargo, la transformada estricta de X es X 1 , que es generada por x - y 2 y y 2 + z 2 - w 3 . Esto significa que la intersección de C 1 y X 1 está dada por x = y = 0 y z 2 - w 3 = 0, que no es regular.
Producir centros de explosiones que sean subvariedades regulares de X pruebas más fuertes ( Bierstone, Milman y 1991-97
) Utilizar la función de Hilbert-Samuel de los anillos locales de X en lugar de la orden de su ideal en el incrustación local en W .Otras variantes de resoluciones de singularidades
Después de la resolución, la transformada total, la unión de la transformada estricta, X , y el divisor excepcional, es una variedad que se puede hacer, en el mejor de los casos, para tener singularidades cruzadas normales simples. Entonces es natural plantearse la posibilidad de resolver singularidades sin resolver este tipo de singularidades. El problema es encontrar una resolución que sea un isomorfismo sobre el conjunto de puntos de cruce normales suaves y simples. Cuando X es un divisor, es decir, puede integrarse como una subvariedad de codimensión uno en una variedad suave, se sabe que es cierta la existencia de una resolución fuerte que evita simples puntos de cruce normales. Aún no se conoce el caso general o generalizaciones para evitar diferentes tipos de singularidades. ( Bierstone y Milman 2012 ).
Evitar ciertas singularidades es imposible. Por ejemplo, no se pueden resolver singularidades evitando hacer estallar las singularidades de los cruces normales. De hecho, para resolver la singularidad del punto de pellizco, es necesario explotar todo el locus singular, incluidos los puntos donde están presentes las singularidades cruzadas normales.
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enlaces externos
- Resolución de singularidades I , video de una charla de Hironaka.
- Algunas imágenes de singularidades y sus resoluciones
- SINGULAR : un sistema informático de álgebra con paquetes para resolver singularidades.
- Notas y conferencias para la Semana de trabajo sobre resolución de singularidades Tirol 1997, 7 al 14 de septiembre de 1997, Obergurgl, Tirol, Austria
- Notas de la conferencia de la Escuela de verano sobre resolución de singularidades, junio de 2006, Trieste, Italia.
- desing - Un programa de computadora para la resolución de singularidades
- Página de inicio de Hauser con varios artículos expositivos sobre resolución de singularidades