El teorema de Bohr-Van Leeuwen establece que cuando la mecánica estadística y la mecánica clásica se aplican de manera consistente, el promedio térmico de la magnetización es siempre cero. [1] Esto hace que el magnetismo en sólidos sea únicamente un efecto mecánico cuántico y significa que la física clásica no puede explicar el paramagnetismo , el diamagnetismo y el ferromagnetismo . La incapacidad de la física clásica para explicar la triboelectricidad también se deriva del teorema de Bohr-Van Leeuwen. [2]
Historia
Lo que hoy se conoce como el teorema de Bohr-Van Leeuwen fue descubierto por Niels Bohr en 1911 en su tesis doctoral [3] y luego fue redescubierto por Hendrika Johanna van Leeuwen en su tesis doctoral en 1919. [4] En 1932, Van Vleck formalizó y amplió el teorema inicial de Bohr en un libro que escribió sobre susceptibilidades eléctricas y magnéticas. [5]
La importancia de este descubrimiento es que la física clásica no permite cosas como paramagnetismo , diamagnetismo y ferromagnetismo y, por lo tanto , se necesita la física cuántica para explicar los eventos magnéticos. [6] Este resultado, "quizás la publicación más deflacionaria de todos los tiempos", [7] puede haber contribuido al desarrollo de Bohr de una teoría casi clásica del átomo de hidrógeno en 1913.
Prueba
Una prueba intuitiva
El teorema de Bohr-Van Leeuwen se aplica a un sistema aislado que no puede rotar. Si se permite que el sistema aislado gire en respuesta a un campo magnético aplicado externamente, este teorema no se aplica. [8] Si, además, solo hay un estado de equilibrio térmico en una temperatura y un campo dados, y el sistema tiene tiempo para volver al equilibrio después de aplicar un campo, entonces no habrá magnetización.
Las estadísticas de Maxwell-Boltzmann predicen que la probabilidad de que el sistema esté en un estado de movimiento dado es proporcional a, dónde es la energía del sistema, es la constante de Boltzmann , yes la temperatura absoluta . Esta energía es igual a la energía cinética. para una partícula con masa y velocidad y la energía potencial . [8]
El campo magnético no contribuye a la energía potencial. La fuerza de Lorentz sobre una partícula con carga y velocidad es
dónde es el campo eléctrico yes la densidad de flujo magnético . La tasa de trabajo realizado es y no depende de . Por tanto, la energía no depende del campo magnético, por lo que la distribución de los movimientos no depende del campo magnético. [8]
En campo cero, no habrá movimiento neto de partículas cargadas porque el sistema no puede rotar. Por tanto, habrá un momento magnético medio de cero. Dado que la distribución de los movimientos no depende del campo magnético, el momento en equilibrio térmico permanece cero en cualquier campo magnético. [8]
Una prueba más formal
Para reducir la complejidad de la prueba, un sistema con se utilizarán electrones.
Esto es apropiado, ya que la mayor parte del magnetismo en un sólido es transportado por electrones, y la prueba se generaliza fácilmente a más de un tipo de partícula cargada.
Cada electrón tiene carga negativa y misa .
Si su posición es y la velocidad es , produce una corriente y un momento magnético [6]
La ecuación anterior muestra que el momento magnético es una función lineal de las coordenadas de velocidad, por lo que el momento magnético total en una dirección dada debe ser una función lineal de la forma
donde el punto representa una derivada del tiempo y son coeficientes vectoriales que dependen de las coordenadas de posición . [6]
Las estadísticas de Maxwell-Boltzmann dan la probabilidad de que la n-ésima partícula tenga impulso. y coordinar como
dónde es el hamiltoniano , la energía total del sistema. [6]
El promedio térmico de cualquier función. de estas coordenadas generalizadas es entonces
En presencia de un campo magnético,
dónde es el potencial del vector magnético yes el potencial escalar eléctrico . Para cada partícula, los componentes del impulso y posicion están relacionados por las ecuaciones de la mecánica hamiltoniana :
Por lo tanto,
entonces el momento es una función lineal de los momentos . [6]
El momento promediado térmicamente,
es la suma de términos proporcionales a integrales de la forma
dónde representa una de las coordenadas de momento.
El integrando es una función impar de , por lo que desaparece.
Por lo tanto, . [6]
Aplicaciones
El teorema de Bohr-Van Leeuwen es útil en varias aplicaciones, incluida la física del plasma : "Todas estas referencias basan su discusión del teorema de Bohr-Van Leeuwen en el modelo físico de Niels Bohr, en el que se necesitan paredes perfectamente reflectantes para proporcionar las corrientes que cancelan la red. contribución del interior de un elemento de plasma, y dan como resultado un diamagnetismo neto cero para el elemento de plasma ". [9]
El diamagnetismo de naturaleza puramente clásica ocurre en los plasmas, pero es una consecuencia del desequilibrio térmico, como un gradiente en la densidad del plasma. La electromecánica y la ingeniería eléctrica también ven un beneficio práctico del teorema de Bohr-Van Leeuwen.
Ver también
- Lista de artículos sobre plasma (física)
Referencias
- ↑ John Hasbrouck van Vleck estableció el teorema de Bohr-Van Leeuwen como "A cualquier temperatura finita, y en todos los campos magnéticos o eléctricos aplicados finitos, la magnetización neta de una colección de electrones en equilibrio térmico desaparece de manera idéntica". (Van Vleck, 1932)
- ^ Alicki, Robert; Jenkins, Alejandro (30 de octubre de 2020). "Teoría cuántica de la triboelectricidad" . Cartas de revisión física . 125 (18): 186101. arXiv : 1904.11997 . doi : 10.1103 / PhysRevLett.125.186101 . ISSN 0031-9007 . S2CID 139102854 .
- ^ Bohr, Niehls (1972) [publicado originalmente como "Studier over Metallernes Elektrontheori", Københavns Universitet (1911)]. "La disertación del doctor (texto y traducción)". En Rosenfeld, L .; Nielsen, J. Rud (eds.). Primeras obras (1905-1911) . Obras completas de Niels Bohr. 1 . Elsevier . págs. 163, 165–393. doi : 10.1016 / S1876-0503 (08) 70015-X . ISBN 978-0-7204-1801-9.
- ^ Van Leeuwen, Hendrika Johanna (1921). "Problèmes de la théorie électronique du magnétisme" . Journal de Physique et le Radium . 2 (12): 361–377. doi : 10.1051 / jphysrad: 01921002012036100 .
- ^ Van Vleck, JH (1932). La teoría de las susceptibilidades eléctricas y magnéticas . Prensa de Clarendon . ISBN 0-19-851243-0.
- ^ a b c d e f Aharoni, Amikam (1996). Introducción a la teoría del ferromagnetismo . Prensa de Clarendon . págs. 6–7 . ISBN 0-19-851791-2.
- ^ Van Vleck, JH (1992). "Mecánica cuántica: la clave para comprender el magnetismo (conferencia Nobel, 8 de diciembre de 1977)". En Lundqvist, Stig (ed.). Conferencias Nobel de Física 1971-1980 . World Scientific . ISBN 981-02-0726-3.
- ^ a b c d Feynman, Richard P .; Leighton, Robert B .; Sands, Matthew (2006). Las Conferencias Feynman de Física . 2 . pag. 34-8. ISBN 978-0465024940.
- ^ Roth, Reece (1967). "Estabilidad del plasma y el teorema de Bohr-Van Leeuwen" (PDF) . NASA . Consultado el 27 de octubre de 2008 .
enlaces externos
- Principios del siglo XX: la relatividad y la mecánica cuántica traen comprensión por fin