Ecuación de Boltzmann
La ecuación de Boltzmann o ecuación de transporte de Boltzmann ( BTE ) describe el comportamiento estadístico de un sistema termodinámico que no se encuentra en un estado de equilibrio , ideada por Ludwig Boltzmann en 1872. [2] El ejemplo clásico de tal sistema es un fluido con gradientes de temperatura en el espacio haciendo que el calor fluya de las regiones más calientes a las más frías, por el transporte aleatorio pero sesgado de las partículasformar ese fluido. En la literatura moderna, el término ecuación de Boltzmann se usa a menudo en un sentido más general, refiriéndose a cualquier ecuación cinética que describa el cambio de una cantidad macroscópica en un sistema termodinámico, como la energía, la carga o el número de partículas.
La ecuación surge no al analizar las posiciones individuales y los momentos de cada partícula en el fluido, sino al considerar una distribución de probabilidad para la posición y el momento de una partícula típica, es decir, la probabilidad de que la partícula ocupe una región muy pequeña dada del espacio . (matemáticamente el elemento de volumen ) centrado en la posición y tiene un impulso casi igual a un vector de impulso dado (ocupando así una región muy pequeña del espacio de impulso ), en un instante de tiempo.
La ecuación de Boltzmann se puede utilizar para determinar cómo cambian las cantidades físicas, como la energía térmica y el momento , cuando se transporta un fluido. También se pueden derivar otras propiedades características de los fluidos, como la viscosidad , la conductividad térmica y la conductividad eléctrica (al tratar los portadores de carga en un material como un gas). [2] Véase también la ecuación de convección-difusión .
La ecuación es una ecuación integro-diferencial no lineal , y la función desconocida en la ecuación es una función de densidad de probabilidad en el espacio de seis dimensiones de la posición y el momento de una partícula. El problema de la existencia y unicidad de las soluciones aún no está completamente resuelto, pero algunos resultados recientes son bastante prometedores. [3] [4]
El conjunto de todas las posiciones r y momentos p posibles se denomina espacio de fases del sistema; en otras palabras, un conjunto de tres coordenadas para cada coordenada de posición x, y, z , y tres más para cada componente de momento p x , p y , p z . Todo el espacio es de 6 dimensiones : un punto en este espacio es ( r , p ) = ( x, y, z, p x , p y , p z ), y cada coordenada está parametrizada por el tiempo t . El pequeño volumen ("diferencialelemento de volumen ") se escribe
Dado que se cuestiona la probabilidad de N moléculas, todas las cuales tienen r y p dentro de , en el corazón de la ecuación hay una cantidad f que da esta probabilidad por unidad de volumen del espacio de fase, o probabilidad por unidad de longitud al cubo por unidad de impulso al cubo , en un instante de tiempo t . Esta es una función de densidad de probabilidad : f ( r , p , t ), definida de modo que,
