Bondi k -calculus es un método de enseñanza de la relatividad especial popularizado por el profesor Sir Hermann Bondi , que se ha utilizado en clases de física de nivel universitario (por ejemplo, en la Universidad de Oxford [1] ) y en algunos libros de texto de relatividad. [2] [3]
La utilidad del cálculo k es su simplicidad. Muchas introducciones a la relatividad comienzan con el concepto de velocidad y una derivación de la transformación de Lorentz . Otros conceptos como la dilatación del tiempo , la contracción de la longitud , la relatividad de la simultaneidad , la resolución de la paradoja de los gemelos y el efecto Doppler relativista se derivan de la transformación de Lorentz, todos ellos como funciones de la velocidad.
Bondi, en su libro Relativity and Common Sense , [4] publicado por primera vez en 1964 y basado en artículos publicados en The Illustrated London News en 1962, invierte el orden de presentación. Comienza con lo que él llama "una razón fundamental" denotada por la letra(que resulta ser el factor Doppler radial). [5] A partir de esto, explica la paradoja de los gemelos y la relatividad de la simultaneidad, la dilatación del tiempo y la contracción de la longitud, todo en términos de. No es hasta más adelante en la exposición que proporciona un vínculo entre la velocidad y la relación fundamental. La transformación de Lorentz aparece hacia el final del libro.
Historia
El método de cálculo k había sido utilizado previamente por EA Milne en 1935. [6] Milne usó la letrapara denotar un factor Doppler constante, pero también se considera un caso más general que involucra movimiento no inercial (y por lo tanto un factor Doppler variable). Bondi usó la carta en vez de y simplificado la presentación (para constantes solamente), e introdujo el nombre " k -calculus". [7]
De Bondi k -factor
Considere dos observadores inerciales, Alice y Bob, que se alejan directamente el uno del otro a una velocidad relativa constante. Alice envía un destello de luz azul hacia Bob una vez cadasegundos, medidos por su propio reloj. Debido a que Alice y Bob están separados por una distancia, hay un retraso entre que Alice envía un destello y Bob recibe un destello. Además, la distancia de separación aumenta constantemente a un ritmo constante, por lo que el retraso sigue aumentando. Esto significa que el intervalo de tiempo entre que Bob recibe los destellos, medido por su reloj, es mayor que segundos, decir segundos para una constante . (Si Alice y Bob, en cambio, se estuvieran moviendo directamente el uno hacia el otro, se aplicaría un argumento similar, pero en ese caso.) [8]
Bondi describe como "una razón fundamental", [9] y otros autores desde entonces lo han llamado "el factor k de Bondi " o "el factor k de Bondi". [10]
Los destellos de Alice se transmiten a una frecuencia de Hz, por su reloj, y recibido por Bob a una frecuencia de Hz, por su reloj. Esto implica un factor Doppler de. Entonces, el factor k de Bondi es otro nombre para el factor Doppler (cuando la fuente Alice y el observador Bob se están alejando o acercándose el uno al otro). [5]
Si Alice y Bob intercambiaran roles, y Bob enviara destellos de luz a Alice, el Principio de Relatividad (el primer postulado de Einstein) implica que el factor k de Bob a Alice tendría el mismo valor que el factor k de Alice a Bob, como todos los observadores inerciales son equivalentes. Entonces, el factor k depende solo de la velocidad relativa entre los observadores y nada más. [8]
El factor k recíproco
Considere, ahora, un tercer observador inercial, Dave, que está a una distancia fija de Alice, y tal que Bob se encuentra en la línea recta entre Alice y Dave. Como Alice y Dave descansan mutuamente, la demora de Alice a Dave es constante. Esto significa que Dave recibe los destellos azules de Alice a una velocidad de una vez cadasegundos, según su reloj, al mismo ritmo que Alice los envía. En otras palabras, el factor k de Alice a Dave es igual a uno. [11]
Ahora suponga que cada vez que Bob recibe un destello azul de Alice, inmediatamente envía su propio destello rojo hacia Dave, una vez cada segundos (según el reloj de Bob). El segundo postulado de Einstein, que la velocidad de la luz es independiente del movimiento de su fuente, implica que el destello azul de Alice y el destello rojo de Bob viajan a la misma velocidad, sin adelantarse al otro y, por lo tanto, llegan a Dave al mismo tiempo. Así que Dave recibe un destello rojo de Bob cada segundos, por el reloj de Dave, que fueron enviados por Bob cada segundos por el reloj de Bob. Esto implica que el factor k de Bob a Dave es. [8]
Esto establece que el factor k para los observadores que se alejan directamente (desplazamiento hacia el rojo) es el recíproco del factor k para los observadores que se mueven directamente entre sí a la misma velocidad (desplazamiento hacia el azul).
La paradoja de los gemelos
Considere, ahora, una cuarta observadora inercial, Carol, que viaja de Dave a Alice exactamente a la misma velocidad que Bob viaja de Alice a Dave. El viaje de Carol está cronometrado de tal manera que deja a Dave exactamente al mismo tiempo que llega Bob. Denote los tiempos registrados por los relojes de Alice, Bob y Carol por.
Cuando Bob pasa a Alice, ambos sincronizan sus relojes para . Cuando Carol pasa a Bob, sincroniza su reloj con el de Bob,. Finalmente, cuando Carol pasa a Alice, comparan sus relojes entre sí. En la física newtoniana, la expectativa sería que, en la comparación final, el reloj de Alice y Carol estaría de acuerdo,. A continuación se mostrará que en relatividad esto no es cierto. Esta es una versión de la conocida " paradoja de los gemelos " en la que los gemelos idénticos se separan y se reúnen, solo para descubrir que uno es ahora mayor que el otro.
Si Alice envía un destello de luz a la vez hacia Bob, entonces, según la definición del factor k , Bob lo recibirá en el momento. El flash está cronometrado para que llegue a Bob justo en el momento en que Bob conoce a Carol, por lo que Carol sincroniza su reloj para leer.
Además, cuando Bob y Carol se encuentran, ambos envían simultáneamente flashes a Alice, que son recibidos simultáneamente por Alice. Considerando, primero, el flash de Bob, enviado en el momento, debe ser recibido por Alice en el momento , utilizando el hecho de que el factor k de Alice a Bob es el mismo que el factor k de Bob a Alice.
Como el viaje de ida de Bob tuvo una duración de , según su reloj, se sigue por simetría que el viaje de regreso de Carol en la misma distancia a la misma velocidad también debe tener una duración de , por su reloj, por lo que cuando Carol conoce a Alice, el reloj de Carol dice . El factor k para este tramo del viaje debe ser el recíproco (como se discutió anteriormente), entonces, considerando el destello de Carol hacia Alice, un intervalo de transmisión de corresponde a un intervalo de recepción de . Esto significa que la última hora en el reloj de Alice, cuando Carol y Alice se encuentran, es. Esto es más grande que la hora del reloj de Carol desde
previsto y . [12]
Medidas de radar y velocidad
En la metodología del cálculo k , las distancias se miden utilizando un radar . Un observador envía un pulso de radar hacia un objetivo y recibe un eco de él. El pulso del radar (que viaja a, la velocidad de la luz) recorre una distancia total, ida y vuelta, que es el doble de la distancia al objetivo, y lleva tiempo , dónde y son tiempos registrados por el reloj del observador en la transmisión y recepción del pulso del radar. Esto implica que la distancia al objetivo es [13]
Además, dado que la velocidad de la luz es la misma en ambas direcciones, el momento en el que el pulso del radar llega al objetivo debe ser, según el observador, a medio camino entre los tiempos de transmisión y recepción, es decir [13]
En el caso particular donde el observador de radar es Alice y el objetivo es Bob (momentáneamente co-ubicado con Dave) como se describió anteriormente, por k -calculus tenemos, y entonces
Como Alice y Bob compartieron , la velocidad de Bob relativa a Alice viene dada por [14] [15]
Esta ecuación expresa la velocidad en función del factor k de Bondi . Se puede resolver para dar como una función de : [14] [16]
Composición de velocidad
Considere tres observadores inerciales Alice, Bob y Ed, dispuestos en ese orden y moviéndose a diferentes velocidades a lo largo de la misma línea recta. En esta sección, la notaciónse usará para denotar el factor k de Alice a Bob (y de manera similar entre otros pares de observadores).
Como antes, Alice envía un destello azul hacia Bob y Ed cada segundos, por su reloj, que Bob recibe cada segundos, por el reloj de Bob, y Ed recibe cada segundos, según el reloj de Ed.
Ahora suponga que cada vez que Bob recibe un destello azul de Alice, inmediatamente envía su propio destello rojo hacia Ed, una vez cada segundos por el reloj de Bob, por lo que Ed recibe un destello rojo de Bob cada segundos, según el reloj de Ed. El segundo postulado de Einstein, que la velocidad de la luz es independiente del movimiento de su fuente, implica que el destello azul de Alice y el destello rojo de Bob viajan a la misma velocidad, sin adelantarse al otro y, por lo tanto, llegan a Ed al mismo tiempo. Por lo tanto, según lo medido por Ed, el intervalo de destellos rojos y el intervalo de destellos azules debe ser lo mismo. Entonces, la regla para combinar k -factores es simplemente la multiplicación: [17]
Finalmente, sustituyendo
da la fórmula de composición de velocidad [17]
El intervalo invariante
Usando el método de radar descrito anteriormente, el observador inercial Alice asigna coordenadas a un evento transmitiendo un pulso de radar en el momento y recibiendo su eco en el momento , medido por su reloj.
De manera similar, el observador inercial Bob puede asignar coordenadas al mismo evento transmitiendo un pulso de radar en el momento y recibiendo su eco en el momento , medido por su reloj. Sin embargo, como muestra el diagrama, no es necesario que Bob genere su propia señal de radar, ya que simplemente puede tomar los tiempos de la señal de Alice.
Ahora, aplicando el método k -calculus a la señal que viaja de Alice a Bob
De manera similar, aplicar el método k -calculus a la señal que viaja de Bob a Alice
Igualando las dos expresiones para y reorganización, [18]
Esto establece que la cantidad es invariante: toma el mismo valor en cualquier sistema de coordenadas inerciales y se conoce como intervalo invariante .
La transformación de Lorentz
Las dos ecuaciones para en el apartado anterior se pueden resolver como ecuaciones simultáneas para obtener: [18] [19]
Estas ecuaciones son la transformación de Lorentz expresada en términos del factor k de Bondi en lugar de en términos de velocidad. Sustituyendo
la forma más tradicional
Rapidez
Rapidez se puede definir a partir del factor k mediante [20]
y entonces
La versión de factor k de la transformada de Lorentz se convierte en
Se sigue de la regla de composición para , , que la regla de composición para rapidez es la adición: [20]
Referencias
- ^ Mason y Woodhouse. "Relatividad y electromagnetismo" (PDF) . Consultado el 20 de febrero de 2021 .
- ^ Por ejemplo, Woodhouse, NMJ (2003), Relatividad especial , Springer, ISBN 1-85233-426-6 , págs. 58–65
- ^ Por ejemplo, Ray d'Inverno (1992). "Capítulo 2: El k- cálculo". Presentación de la relatividad de Einstein . Prensa de Clarendon. ISBN 0-19-859686-3.
- ^ Bondi, Hermann (1964). Relatividad y sentido común . Nueva York: Doubleday & Company. (También publicado en 1965 en Gran Bretaña por Heinemann y reimpreso en 1980 por Dover).
- ↑ a b d'Inverno (1992), p.40
- ^ Milne, EA (1935), Relatividad Gravitación y estructura mundial , Oxford University Press, págs. 36-38
- ↑ Bondi (1964), p. 109
- ↑ a b c Bondi (1964) p.80
- ↑ Bondi (1964) p.88
- ^ Woodhouse (2003), p.63
- ↑ Bondi (1964) p.77
- ↑ Bondi (1964), págs. 80–90
- ↑ a b Woodhouse (2003) p.60
- ↑ a b Bondi (1964), p.103
- ^ Woodhouse (2003), p.64
- ^ Woodhouse (2003), p.65
- ↑ a b Bondi (1964) p.105
- ↑ a b c Bondi (1964), p.118
- ↑ a b Woodhouse (2003), p.67
- ↑ a b Woodhouse (2003), p.71
enlaces externos
- Revisión de Bondi k-Calculus