En física, la paradoja de los gemelos es un experimento mental en relatividad especial que involucra a gemelos idénticos, uno de los cuales hace un viaje al espacio en un cohete de alta velocidad y regresa a casa para descubrir que el gemelo que permaneció en la Tierra ha envejecido más. Este resultado parece desconcertante porque cada gemelo ve al otro gemelo como en movimiento, y así, como consecuencia de una aplicación incorrecta [1] [2] e ingenua [3] [4] de la dilatación del tiempo y el principio de relatividad, cada uno debería, paradójicamente, encontrar que el otro ha envejecido menos. Sin embargo, este escenario puede resolverse dentro del marco estándar de la relatividad especial: la trayectoria del gemelo viajero involucra dos marcos inerciales diferentes , uno para el viaje de ida y otro para el viaje de regreso. [5] Otra forma de verlo es al darse cuenta de que el gemelo que viaja está experimentando una aceleración , lo que lo convierte en un observador no inercial. En ambas visiones no hay simetría entre las trayectorias espaciotemporales de los gemelos. Por tanto, la paradoja de los gemelos no es una paradoja en el sentido de una contradicción lógica.
Comenzando con Paul Langevin en 1911, ha habido varias explicaciones de esta paradoja. Estas explicaciones "se pueden agrupar en aquellas que se centran en el efecto de diferentes estándares de simultaneidad en diferentes marcos, y aquellas que designan la aceleración [experimentada por el gemelo que viaja] como la razón principal". [6] Max von Laue argumentó en 1913 que dado que el gemelo viajero debe estar en dos marcos inerciales separados, uno al salir y otro al regresar, este cambio de marco es la razón de la diferencia de envejecimiento. [7] Las explicaciones de Albert Einstein y Max Born invocan la dilatación del tiempo gravitacional para explicar el envejecimiento como un efecto directo de la aceleración. [8] Sin embargo, se ha demostrado que ni la relatividad general, [9] [10] [11] [12] [13] ni siquiera la aceleración son necesarios para explicar el efecto, ya que el efecto todavía se aplica a un observador teórico que Puede invertir la dirección del movimiento al instante, manteniendo una velocidad constante durante las dos fases del viaje. Tal observador puede ser considerado como un par de observadores, uno viajando lejos del punto de partida y otro viajando hacia él, pasando uno junto al otro donde estaría el punto de cambio. En este momento, la lectura del reloj del primer observador se transfiere al segundo, manteniendo ambos la velocidad constante, sumando ambos tiempos de viaje al final de su recorrido. [14]
Historia
En su famoso artículo sobre la relatividad especial de 1905, Albert Einstein dedujo que cuando dos relojes se juntaban y sincronizaban, y luego uno era alejado y traído de regreso, el reloj que había experimentado el viaje se encontraría retrasado respecto al reloj que se había quedado quieto. [A 1] Einstein consideró que esto era una consecuencia natural de la relatividad especial, no una paradoja como algunos sugirieron, y en 1911, reformuló y elaboró este resultado de la siguiente manera (con los comentarios del físico Robert Resnick siguiendo los de Einstein): [A 2] [15]
Si colocáramos un organismo vivo en una caja ... se podría arreglar que el organismo, después de cualquier vuelo largo arbitrario, pudiera ser devuelto a su lugar original en una condición apenas alterada, mientras que los organismos correspondientes que habían permanecido en sus posiciones originales ya lo habían hecho. desde hace mucho tiempo dado paso a las nuevas generaciones. Para el organismo en movimiento, el largo tiempo del viaje fue un mero instante, siempre que el movimiento tuviera lugar aproximadamente a la velocidad de la luz. Si el organismo estacionario es un hombre y el que viaja es su gemelo, entonces el viajero regresa a casa y encuentra a su hermano gemelo mucho mayor que él. La paradoja se centra en el argumento de que, en relatividad, cualquiera de los gemelos podría considerar al otro como el viajero, en cuyo caso cada uno debería encontrar al otro más joven, una contradicción lógica. Esta afirmación asume que las situaciones de los gemelos son simétricas e intercambiables, una suposición que no es correcta. Además, los experimentos accesibles se han realizado y respaldan la predicción de Einstein.
En 1911, Paul Langevin dio un "ejemplo sorprendente" al describir la historia de un viajero que realiza un viaje con un factor de Lorentz de γ = 100 (99,995% de la velocidad de la luz). El viajero permanece en un proyectil durante un año de su tiempo y luego cambia de dirección. A su regreso, el viajero encontrará que ha envejecido dos años, mientras que han pasado 200 años en la Tierra. Durante el viaje, tanto el viajero como la Tierra siguen enviándose señales entre sí a un ritmo constante, lo que sitúa la historia de Langevin entre las versiones del cambio Doppler de la paradoja de los gemelos. Los efectos relativistas sobre las tasas de señal se utilizan para explicar las diferentes tasas de envejecimiento. La asimetría que ocurrió porque solo el viajero experimentó una aceleración se usa para explicar por qué hay alguna diferencia, porque "cualquier cambio de velocidad o cualquier aceleración tiene un significado absoluto". [A 3]
Max von Laue (1911, 1913) desarrolló la explicación de Langevin. El uso de Hermann Minkowski 's espacio-tiempo formalismo, Laue pasó a demostrar que las líneas del universo de los cuerpos que se mueven por inercia maximizar el tiempo apropiado transcurrido entre dos eventos. También escribió que el envejecimiento asimétrico se explica completamente por el hecho de que el gemelo astronauta viaja en dos cuadros separados, mientras que el gemelo de la Tierra permanece en un cuadro, y el tiempo de aceleración puede hacerse arbitrariamente pequeño en comparación con el tiempo del movimiento inercial. . [A 4] [A 5] [A 6] Finalmente, Lord Halsbury y otros eliminaron cualquier aceleración al introducir el enfoque de "tres hermanos". El gemelo viajero transfiere la lectura de su reloj a una tercera, viajando en la dirección opuesta. Otra forma de evitar los efectos de aceleración es el uso del efecto Doppler relativista (ver Cómo se ve: el desplazamiento Doppler relativista a continuación).
Ni Einstein ni Langevin consideraron que tales resultados fueran problemáticos: Einstein solo lo llamó "peculiar", mientras que Langevin lo presentó como una consecuencia de la aceleración absoluta. [A 7] Ambos hombres argumentaron que, a partir del diferencial de tiempo ilustrado por la historia de los gemelos, no se podía construir una auto-contradicción. En otras palabras, ni Einstein ni Langevin vieron la historia de los gemelos como un desafío a la autoconsistencia de la física relativista.
Ejemplo específico
Considere una nave espacial que viaja desde la Tierra al sistema estelar más cercano: una distancia d = 4 años luz de distancia, a una velocidad v = 0,8 c (es decir, 80% de la velocidad de la luz).
Para facilitar los números, se supone que el barco alcanza la máxima velocidad en un tiempo insignificante al zarpar (aunque en realidad tomaría alrededor de 9 meses acelerar a 1 g para alcanzar la velocidad). De manera similar, al final del viaje de ida, se supone que el cambio de dirección necesario para iniciar el viaje de regreso ocurre en un tiempo insignificante. Esto también se puede modelar asumiendo que el barco ya está en movimiento al comienzo del experimento y que el evento de retorno está modelado por una aceleración de la distribución delta de Dirac . [dieciséis]
Las partes observarán la situación de la siguiente manera: [17] [18]
Perspectiva de la tierra
El control de la misión basado en la Tierra razona sobre el viaje de esta manera: el viaje de ida y vuelta tomará t = 2 d / v = 10 años en el tiempo de la Tierra ( es decir, todos en la Tierra serán 10 años más viejos cuando la nave regrese). La cantidad de tiempo medida en los relojes del barco y el envejecimiento de los viajeros durante su viaje se reducirá por el factor, el recíproco del factor de Lorentz ( dilatación del tiempo ). En este caso ε = 0,6 y los viajeros habrán envejecido solo 0,6 × 10 = 6 años cuando regresen.
Perspectiva de los viajeros
Los miembros de la tripulación del barco también calculan los detalles de su viaje desde su perspectiva. Saben que el sistema estelar distante y la Tierra se mueven en relación con la nave a una velocidad v durante el viaje. En su marco de reposo, la distancia entre la Tierra y el sistema estelar es εd = 0,6 × 4 = 2,4 años luz ( contracción de la longitud ), tanto para los viajes de ida como de regreso. Cada mitad del viaje toma εd / v = 2.4 / 0.8 = 3 años , y el viaje de ida y vuelta toma el doble (6 años). Sus cálculos muestran que llegarán a casa habiendo cumplido 6 años. El cálculo final de los viajeros sobre su envejecimiento está completamente de acuerdo con los cálculos de los que están en la Tierra, aunque experimentan el viaje de manera bastante diferente a los que se quedan en casa.
Conclusión
Evento | Tierra (años) | Nave espacial (años) |
---|---|---|
Salida | 0 | 0 |
Fin del viaje saliente = Inicio del viaje entrante | 5 | 3 |
Llegada | 10 | 6 |
Independientemente del método que utilicen para predecir las lecturas del reloj, todos estarán de acuerdo con ellos. Si los gemelos nacen el día en que sale el barco y uno se va de viaje mientras el otro permanece en la Tierra, se volverán a encontrar cuando el viajero tenga 6 años y el gemelo que se queda en casa tenga 10 años.
Resolución de la paradoja en la relatividad especial
El aspecto paradójico de la situación de los gemelos surge del hecho de que en cualquier momento dado el reloj del gemelo que viaja está funcionando lento en el marco inercial del gemelo terrestre, pero basado en el principio de relatividad uno podría igualmente argumentar que el reloj del gemelo terrestre va lento en marco inercial del gemelo viajero. [19] [20] [21] Una resolución propuesta se basa en el hecho de que el gemelo terrestre está en reposo en el mismo marco inercial durante todo el viaje, mientras que el gemelo viajero no lo está: en la versión más simple del experimento mental, el gemelo que viaja cambia en el punto medio del viaje de estar en reposo en un marco inercial que se mueve en una dirección (alejándose de la Tierra) a estar en reposo en un marco inercial que se mueve en la dirección opuesta (hacia la Tierra). En este enfoque, determinar qué observador cambia de fotograma y cuál no es crucial. Aunque ambos gemelos pueden afirmar legítimamente que están en reposo en su propio marco, solo el gemelo que viaja experimenta la aceleración cuando se encienden los motores de la nave espacial. Esta aceleración, medible con un acelerómetro, hace que su marco de descanso sea temporalmente no inercial. Esto revela una asimetría crucial entre las perspectivas de los gemelos: aunque podemos predecir la diferencia de envejecimiento desde ambas perspectivas, necesitamos utilizar diferentes métodos para obtener resultados correctos.
Papel de la aceleración
Aunque algunas soluciones atribuyen un papel crucial a la aceleración del gemelo que viaja en el momento del cambio de rumbo, [19] [20] [21] [22] otras señalan que el efecto también surge si uno imagina dos viajeros separados, uno hacia afuera. yendo y uno hacia adentro, que se cruzan y sincronizan sus relojes en el punto correspondiente al "cambio de rumbo" de un solo viajero. En esta versión, la aceleración física del reloj móvil no juega un papel directo; [23] [24] [16] "la cuestión es qué tan largas son las líneas del mundo, no qué tan dobladas". [25] La longitud a la que se hace referencia aquí es la longitud invariante de Lorentz o "intervalo de tiempo adecuado" de una trayectoria que corresponde al tiempo transcurrido medido por un reloj que sigue esa trayectoria (consulte la sección Diferencia en el tiempo transcurrido como resultado de diferencias entre gemelos 'caminos del espacio-tiempo a continuación). En el espacio-tiempo de Minkowski, el gemelo viajero debe sentir una historia de aceleraciones diferente del gemelo terrestre, incluso si esto solo significa aceleraciones del mismo tamaño separadas por diferentes cantidades de tiempo, [25] sin embargo, "incluso este papel de la aceleración puede eliminarse en formulaciones de la paradoja de los gemelos en el espacio-tiempo curvo, donde los gemelos pueden caer libremente a lo largo de las geodésicas del espacio-tiempo entre reuniones ". [6]
Relatividad de la simultaneidad
Para comprender momento a momento cómo se desarrolla la diferencia de tiempo entre los gemelos, uno debe comprender que en la relatividad especial no existe el concepto de presente absoluto . Para diferentes marcos inerciales, hay diferentes conjuntos de eventos que son simultáneos en ese marco. Esta relatividad de la simultaneidad significa que el cambio de un marco inercial a otro requiere un ajuste en qué corte a través del espacio-tiempo cuenta como el "presente". En el diagrama de espacio-tiempo de la derecha, dibujado para el marco de referencia del gemelo con base en la Tierra, la línea del mundo de ese gemelo coincide con el eje vertical (su posición es constante en el espacio, moviéndose solo en el tiempo). En el primer tramo del viaje, el segundo gemelo se mueve hacia la derecha (línea negra inclinada); y en el segundo tramo, de vuelta a la izquierda. Las líneas azules muestran los planos de simultaneidad del gemelo viajero durante la primera etapa del viaje; líneas rojas, durante el partido de vuelta. Justo antes del cambio, el gemelo viajero calcula la edad del gemelo terrestre midiendo el intervalo a lo largo del eje vertical desde el origen hasta la línea azul superior. Justo después del cambio, si vuelve a calcular, medirá el intervalo desde el origen hasta la línea roja inferior. En cierto sentido, durante el cambio de sentido, el plano de simultaneidad salta de azul a rojo y se desplaza muy rápidamente sobre un gran segmento de la línea del mundo del gemelo con base en la Tierra. Cuando uno se transfiere del marco inercial saliente al marco inercial entrante, hay una discontinuidad de salto en la edad del gemelo terrestre [19] [20] [24] [26] [27] (6,4 años en el ejemplo anterior) .
Un enfoque no espacio-temporal
Como se mencionó anteriormente, una aventura de paradoja gemela "de ida y vuelta" puede incorporar la transferencia de la lectura del reloj de un astronauta "saliente" a un astronauta "entrante", eliminando así por completo el efecto de la aceleración. Además, según el llamado "postulado del reloj", la aceleración física de los relojes no contribuye a los efectos cinemáticos de la relatividad especial. Más bien, la diferencia de tiempo entre dos relojes reunidos se produce puramente por el movimiento inercial uniforme, como se analiza en el artículo de relatividad original de Einstein de 1905, [23] así como en todas las derivaciones cinemáticas posteriores de las transformaciones de Lorentz.
Debido a que los diagramas de espacio-tiempo incorporan la sincronización del reloj de Einstein (con su metodología de celosía de relojes), habrá un salto necesario en la lectura del tiempo del reloj de la Tierra realizada por un "astronauta que regresa repentinamente" que hereda un "nuevo significado de simultaneidad" de acuerdo con una nueva sincronización de reloj dictada por la transferencia a un marco inercial diferente, como explica John A. Wheeler en Spacetime Physics. [26]
Si, en lugar de incorporar la sincronización de reloj de Einstein (celosía de relojes), el astronauta (saliente y entrante) y la parte con base en la Tierra se actualizan periódicamente sobre el estado de sus relojes mediante el envío de señales de radio (que viajan a la velocidad de la luz) , entonces todas las partes notarán una acumulación incremental de asimetría en el cronometraje, comenzando en el punto de "cambio". Antes de la "vuelta", cada parte considera que el reloj de la otra parte registra el tiempo de manera diferente al suyo, pero la diferencia notada es simétrica entre las dos partes. Después del "cambio", las diferencias observadas no son simétricas y la asimetría crece gradualmente hasta que las dos partes se reencuentran. Al reunirse finalmente, esta asimetría se puede ver en la diferencia real que se muestra en los dos relojes reunidos. [28]
La equivalencia del envejecimiento biológico y el cronometraje
Todos los procesos —químicos, biológicos, funcionamiento de aparatos de medición, percepción humana que involucra el ojo y el cerebro, la comunicación de la fuerza— están limitados por la velocidad de la luz. Hay un reloj en funcionamiento en todos los niveles, que depende de la velocidad de la luz y el retraso inherente incluso en el nivel atómico. El envejecimiento biológico, por lo tanto, no se diferencia en nada del cronometraje. [29] Esto significa que el envejecimiento biológico se ralentizaría de la misma manera que un reloj.
Cómo se ve: el desplazamiento Doppler relativista
En vista de la dependencia del marco de la simultaneidad para eventos en diferentes ubicaciones en el espacio, algunos tratamientos prefieren un enfoque más fenomenológico, describiendo lo que los gemelos observarían si cada uno enviara una serie de pulsos de radio regulares, igualmente espaciados en el tiempo según el emisor. reloj. [24] Esto equivale a preguntar, si cada gemelo se envía un video de sí mismo al otro, ¿qué ven en sus pantallas? O, si cada gemelo siempre llevara un reloj que indicara su edad, ¿qué hora vería cada uno en la imagen de su gemelo distante y su reloj?
Poco después de la salida, el gemelo que viaja ve al gemelo que se queda en casa sin demora. A la llegada, la imagen en la pantalla de la nave muestra al gemelo que se queda como 1 año después del lanzamiento, porque la radio emitida desde la Tierra 1 año después del lanzamiento llega a la otra estrella 4 años después y se encuentra con la nave allí. Durante esta etapa del viaje, el gemelo viajero ve su propio reloj avanzar 3 años y el reloj en la pantalla avanzar 1 año, por lo que parece avanzar a 1 ⁄ 3 de la velocidad normal, solo 20 segundos de imagen por minuto de barco. Esto combina los efectos de la dilatación del tiempo debido al movimiento (por factor ε = 0,6, cinco años en la Tierra son 3 años en un barco) y el efecto del aumento del tiempo de retraso de la luz (que crece de 0 a 4 años).
Por supuesto, la frecuencia observada de la transmisión también es 1 ⁄ 3 de la frecuencia del transmisor (una reducción en la frecuencia; "desplazado al rojo"). A esto se le llama efecto Doppler relativista . La frecuencia de los tics del reloj (o de los frentes de onda) que se ven desde una fuente con frecuencia de reposo f reposo es
cuando la fuente se aleja directamente. Esto es f obs = 1 ⁄ 3 f resto para v / c = 0.8.
En cuanto al gemelo que se queda en casa, recibe una señal ralentizada del barco durante 9 años, a una frecuencia 1 ⁄ 3 de la frecuencia del transmisor. Durante estos 9 años, el reloj del gemelo viajero en la pantalla parece adelantarse 3 años, por lo que ambos gemelos ven la imagen de su hermano envejeciendo a un ritmo único 1 ⁄ 3 de su propia tarifa. Expresado de otra manera, ambos verían el reloj del otro correr a las 1 ⁄ 3 de su propia velocidad de reloj. Si excluyen del cálculo el hecho de que el retardo del tiempo de luz de la transmisión aumenta a una velocidad de 0,8 segundos por segundo, ambos pueden determinar que el otro gemelo envejece más lento, a una velocidad del 60%.
Luego, el barco regresa a casa. El reloj del gemelo que permanece muestra "1 año después del lanzamiento" en la pantalla del barco, y durante los 3 años del viaje de regreso aumenta hasta "10 años después del lanzamiento", por lo que el reloj en la pantalla parece estar avanzando. 3 veces más rápido de lo habitual.
Cuando la fuente se mueve hacia el observador, la frecuencia observada es más alta ("desplazada al azul") y está dada por
Esto es f obs = 3 f resto para v / c = 0.8.
En cuanto a la pantalla en la Tierra, muestra que el viaje de regreso comienza 9 años después del lanzamiento, y el reloj de viaje en la pantalla muestra que han pasado 3 años en la nave. Un año después, el barco regresa a casa y el reloj marca 6 años. Entonces, durante el viaje de regreso, ambos gemelos ven que el reloj de su hermano va 3 veces más rápido que el suyo. Si se tiene en cuenta el hecho de que el retardo del tiempo de luz disminuye en 0,8 segundos cada segundo, cada gemelo calcula que el otro gemelo está envejeciendo al 60% de su propia velocidad de envejecimiento.
Los diagramas x - t (espacio-tiempo) de la izquierda muestran las trayectorias de las señales luminosas que viajan entre la Tierra y el barco (primer diagrama) y entre el barco y la Tierra (segundo diagrama). Estas señales llevan las imágenes de cada gemelo y su reloj de edad al otro gemelo. La línea negra vertical es la trayectoria de la Tierra a través del espacio-tiempo y los otros dos lados del triángulo muestran la trayectoria de la nave a través del espacio-tiempo (como en el diagrama de Minkowski anterior). En lo que respecta al remitente, los transmite a intervalos iguales (digamos, una vez por hora) según su propio reloj; pero según el reloj del gemelo que recibe estas señales, no se reciben a intervalos iguales.
Una vez que el barco ha alcanzado su velocidad de crucero de 0,8 c , cada gemelo vería pasar 1 segundo en la imagen recibida del otro gemelo por cada 3 segundos de su propio tiempo. Es decir, cada uno vería la imagen del reloj del otro ralentizándose, no solo por el factor ε 0,6, sino incluso más lento porque el retardo de tiempo de luz aumenta 0,8 segundos por segundo. Esto se muestra en las figuras mediante trayectorias de luz roja. En algún momento, las imágenes recibidas por cada gemelo cambian para que cada uno vea pasar 3 segundos en la imagen por cada segundo de su propio tiempo. Es decir, la señal recibida se ha incrementado en frecuencia por el desplazamiento Doppler. Estas imágenes de alta frecuencia se muestran en las figuras mediante trayectorias de luz azul.
La asimetría en las imágenes Doppler desplazadas
La asimetría entre la Tierra y la nave espacial se manifiesta en este diagrama por el hecho de que la nave recibe más imágenes desplazadas hacia el azul (envejecimiento rápido). Dicho de otra manera, la nave espacial ve que la imagen cambia de un desplazamiento hacia el rojo (envejecimiento más lento de la imagen) a un desplazamiento hacia el azul (envejecimiento más rápido de la imagen) en el punto medio de su viaje (en el cambio, 3 años después de la salida). ); la Tierra ve que la imagen de la nave cambia de un desplazamiento rojo a un cambio azul después de 9 años (casi al final del período en que la nave está ausente). En la siguiente sección, se verá otra asimetría en las imágenes: el gemelo de la Tierra ve al gemelo de la nave envejecer en la misma cantidad en las imágenes desplazadas al rojo y al azul; la nave gemela ve la edad gemela de la Tierra en diferentes cantidades en las imágenes desplazadas al rojo y al azul.
Cálculo del tiempo transcurrido a partir del diagrama Doppler
El gemelo del barco ve imágenes de baja frecuencia (rojas) durante 3 años. Durante ese tiempo, vería al gemelo de la Tierra en la imagen envejecer en 3/3 = 1 año . Luego ve imágenes de alta frecuencia (azules) durante el viaje de regreso de 3 años. Durante ese tiempo, vería al gemelo de la Tierra en la imagen envejecer 3 × 3 = 9 años. Cuando finaliza el viaje, la imagen del gemelo de la Tierra ha envejecido 1 + 9 = 10 años.
El gemelo de la Tierra ve 9 años de imágenes lentas (rojas) del gemelo del barco, durante las cuales el gemelo del barco envejece (en la imagen) en 9/3 = 3 años. Luego ve imágenes rápidas (azules) durante el 1 año restante hasta que el barco regrese. En las imágenes rápidas, el barco gemelo envejece en 1 × 3 = 3 años. El envejecimiento total de la nave gemela en las imágenes recibidas por la Tierra es de 3 + 3 = 6 años , por lo que la nave gemela regresa más joven (6 años en lugar de 10 años en la Tierra).
La distinción entre lo que ven y lo que calculan
Para evitar confusiones, tenga en cuenta la distinción entre lo que ve cada gemelo y lo que calcularía cada uno. Cada uno ve una imagen de su gemelo que sabe que se originó en un momento anterior y que sabe que tiene un desplazamiento Doppler. No toma el tiempo transcurrido en la imagen como la edad de su gemelo ahora.
- Si quiere calcular cuándo su gemelo tenía la edad que se muestra en la imagen ( es decir, cuántos años tenía él en ese momento), debe determinar qué tan lejos estaba su gemelo cuando se emitió la señal; en otras palabras, debe considerar la simultaneidad para un evento lejano.
- Si quiere calcular qué tan rápido estaba envejeciendo su gemelo cuando se transmitió la imagen, ajusta el desplazamiento Doppler. Por ejemplo, cuando recibe imágenes de alta frecuencia (que muestran a su gemelo envejeciendo rápidamente) con frecuencia, no concluye que el gemelo estaba envejeciendo tan rápidamente cuando se generó la imagen, como tampoco concluye que la sirena de una ambulancia está emitiendo la frecuencia que escucha. Sabe que el efecto Doppler ha aumentado la frecuencia de la imagen en el factor 1 / (1 - v / c ). Por lo tanto, calcula que su gemelo estaba envejeciendo a un ritmo de
cuando se emitió la imagen. Un cálculo similar revela que su gemelo estaba envejeciendo a la misma tasa reducida de reposo εf en todas las imágenes de baja frecuencia.
Simultaneidad en el cálculo del desplazamiento Doppler
Puede ser difícil ver dónde entró la simultaneidad en el cálculo del desplazamiento Doppler y, de hecho, a menudo se prefiere el cálculo porque uno no tiene que preocuparse por la simultaneidad. Como se ve arriba, la nave gemela puede convertir su frecuencia de desplazamiento Doppler recibido a una frecuencia más lenta del reloj del reloj distante para imágenes rojas y azules. Si ignora la simultaneidad, podría decir que su gemelo estaba envejeciendo a un ritmo reducido a lo largo del viaje y, por lo tanto, debería ser más joven que él. Ahora ha vuelto al punto de partida y debe tener en cuenta el cambio en su noción de simultaneidad en el cambio de rumbo. La velocidad que puede calcular para la imagen (corregida por el efecto Doppler) es la velocidad del reloj del gemelo de la Tierra en el momento en que se envió, no en el momento en que se recibió. Dado que recibe un número desigual de imágenes desplazadas al rojo y al azul, debe darse cuenta de que las emisiones desplazadas al rojo y al azul no se emitieron durante períodos de tiempo iguales para el gemelo de la Tierra y, por lo tanto, debe tener en cuenta la simultaneidad a distancia.
Mirador del gemelo viajero
Durante el cambio, el gemelo viajero se encuentra en un marco de referencia acelerado . De acuerdo con el principio de equivalencia , el gemelo que viaja puede analizar la fase de cambio como si el gemelo que se queda en casa cayera libremente en un campo gravitacional y como si el gemelo que viaja estuviera estacionario. Un artículo de 1918 de Einstein presenta un bosquejo conceptual de la idea. [A 8] Desde el punto de vista del viajero, un cálculo para cada tramo separado, ignorando el cambio de rumbo, conduce a un resultado en el que los relojes de la Tierra envejecen menos que el viajero. Por ejemplo, si los relojes terrestres envejecen 1 día menos en cada tramo, la cantidad de retraso de los relojes terrestres es de 2 días. La descripción física de lo que sucede en el cambio tiene que producir un efecto contrario del doble de esa cantidad: 4 días de avance de los relojes terrestres. Luego, el reloj del viajero terminará con un retraso neto de 2 días en los relojes terrestres, de acuerdo con los cálculos realizados en el marco del gemelo que se queda en casa.
El mecanismo para el avance del reloj del gemelo que se queda en casa es la dilatación del tiempo gravitacional . Cuando un observador descubre que los objetos que se mueven inercialmente se aceleran con respecto a sí mismos, esos objetos están en un campo gravitacional en lo que respecta a la relatividad. Para el gemelo viajero al dar la vuelta, este campo gravitacional llena el universo. En una aproximación de campo débil, los relojes marcan a una tasa de t ' = t (1 + Φ / c 2 ) donde Φ es la diferencia en el potencial gravitacional. En este caso, Φ = gh donde g es la aceleración del observador que viaja durante el cambio yh es la distancia al gemelo que se queda en casa. El cohete está disparando hacia el gemelo que se queda en casa, lo que lo coloca en un potencial gravitacional más alto. Debido a la gran distancia entre los gemelos, los relojes de los gemelos que se quedan en casa parecerán estar lo suficientemente acelerados para dar cuenta de la diferencia en los tiempos adecuados que experimentan los gemelos. No es casualidad que esta aceleración sea suficiente para explicar el cambio de simultaneidad descrito anteriormente. La solución de relatividad general para un campo gravitacional homogéneo estático y la solución de relatividad especial para aceleración finita producen resultados idénticos. [30]
Se han realizado otros cálculos para el gemelo viajero (o para cualquier observador que a veces acelera), que no involucran el principio de equivalencia y que no involucran ningún campo gravitacional. Tales cálculos se basan únicamente en la teoría especial, no en la teoría general, de la relatividad. Un enfoque calcula las superficies de simultaneidad considerando pulsos de luz, de acuerdo con la idea de Hermann Bondi del cálculo k . [31] Un segundo enfoque calcula una integral sencilla pero técnicamente complicada para determinar cómo el gemelo viajero mide el tiempo transcurrido en el reloj de permanencia en casa. A continuación, se ofrece un resumen de este segundo enfoque en una sección separada .
Diferencia en el tiempo transcurrido como resultado de diferencias en las trayectorias espaciotemporales de los gemelos
El siguiente párrafo muestra varias cosas:
- cómo emplear un enfoque matemático preciso para calcular las diferencias en el tiempo transcurrido
- cómo demostrar exactamente la dependencia del tiempo transcurrido en los diferentes caminos tomados a través del espacio-tiempo por los gemelos
- cómo cuantificar las diferencias en el tiempo transcurrido
- cómo calcular el tiempo adecuado como una función (integral) del tiempo coordinado
Deje que el reloj K se asocie con el "gemelo quedarse en casa". Dejemos que el reloj K ' esté asociado con el cohete que realiza el viaje. En el evento de salida, ambos relojes se ponen a 0.
- Fase 1: Rocket (con el reloj K' ) se embarca con constante aceleración apropiada una durante un tiempo T un medido por el reloj de K hasta que alcanza cierta velocidad V .
- Fase 2: Rocket mantiene por inercia a una velocidad V durante un tiempo T c según el reloj K .
- Fase 3: Rocket dispara sus motores en la dirección opuesta de K durante un tiempo T una según el reloj K hasta que esté en reposo con respecto al reloj K . La aceleración adecuada constante tiene el valor - a , en otras palabras, el cohete está desacelerando .
- Fase 4: El cohete sigue encendiendo sus motores en la dirección opuesta a K , durante el mismo tiempo T a según el reloj K , hasta que K ' recupere la misma velocidad V con respecto a K , pero ahora hacia K (con velocidad - V ).
- Fase 5: Rocket mantiene por inercia hacia K a la velocidad V durante el mismo tiempo T c según el reloj K .
- Fase 6: El cohete vuelve a encender sus motores en la dirección de K , por lo que desacelera con una aceleración adecuada constante a durante un tiempo T a , todavía de acuerdo con el reloj K , hasta que ambos relojes se reencuentran.
Sabiendo que el reloj K permanece inercial (estacionario), el tiempo propio acumulado total Δ τ del reloj K ' vendrá dado por la función integral del tiempo coordenado Δ t
donde v ( t ) es la velocidad de coordenadas del reloj K ' en función de t según el reloj K , y, por ejemplo, durante la fase 1, dada por
Esta integral se puede calcular para las 6 fases: [32]
- Fase 1
- Fase 2
- Fase 3
- Fase 4
- Fase 5
- Fase 6
donde a es la aceleración adecuada, percibida por el reloj K ' durante la (s) fase (s) de aceleración y donde se mantienen las siguientes relaciones entre V , a y T a :
Entonces, el reloj de viaje K ' mostrará un tiempo transcurrido de
que se puede expresar como
mientras que el reloj estacionario K muestra un tiempo transcurrido de
que es, para cada valor posible de una , T una , T c y V , más grande que la lectura de reloj K' :
Diferencia en tiempos transcurridos: cómo calcularlo desde el barco.
En la fórmula estándar del tiempo adecuado
Δ τ representa el tiempo del observador no inercial (itinerante) K ' en función del tiempo transcurrido Δ t del observador inercial (que se queda en casa) K para quien el observador K' tiene una velocidad v ( t ) en el tiempo t .
Para calcular el tiempo transcurrido Δ t del observador inercial K en función del tiempo transcurrido Δ τ del observador no inercial K ' , cuando solo son accesibles las cantidades medidas por K' , se puede utilizar la siguiente fórmula: [16]
donde a (τ) es la aceleración adecuada del observador no inercial K ' medida por él mismo (por ejemplo, con un acelerómetro) durante todo el viaje de ida y vuelta. La desigualdad de Cauchy-Schwarz se puede utilizar para mostrar que la desigualdad Δ t > Δ τ se deriva de la expresión anterior:
Usando la función delta de Dirac para modelar la fase de aceleración infinita en el caso estándar del viajero con velocidad constante v durante el viaje de ida y vuelta, la fórmula produce el resultado conocido:
En el caso de que el observador acelerado K 'se aparte de K con velocidad inicial cero, la ecuación general se reduce a la forma más simple:
que, en la versión suave de la paradoja de los gemelos donde el viajero tiene fases de aceleración adecuadas constantes, sucesivamente dadas por a , - a , - a , a , resulta en [16]
donde se usa la convención c = 1, de acuerdo con la expresión anterior con fases de aceleración T a = Δ t / 4 y fases inerciales (de inercia) T c = 0.
Una versión rotacional
Los gemelos Bob y Alice habitan una estación espacial en órbita circular alrededor de un cuerpo masivo en el espacio. Bob se viste y sale de la estación. Mientras Alice permanece dentro de la estación, continuando orbitando con ella como antes, Bob usa un sistema de propulsión de cohetes para dejar de orbitar y flotar donde estaba. Cuando la estación completa una órbita y regresa a Bob, se reúne con Alice. Alice es ahora más joven que Bob. [33] Además de la aceleración rotacional, Bob debe desacelerar para volverse estacionario y luego acelerar nuevamente para igualar la velocidad orbital de la estación espacial.
No hay paradoja de gemelos en un marco de referencia absoluto
La conclusión de Einstein de una diferencia real en los tiempos de reloj registrados (o el envejecimiento) entre las partes reunidas hizo que Paul Langevin postulara un marco de referencia absoluto real, aunque experimentalmente indetectable:
En 1911, Langevin escribió: "Una traducción uniforme en el éter no tiene sentido experimental. Pero debido a esto no debe concluirse, como ha sucedido a veces prematuramente, que el concepto de éter debe abandonarse, que el éter es inexistente. e inaccesible para experimentar. Sólo no se puede detectar una velocidad uniforme relativa a ella, pero cualquier cambio de velocidad ... tiene un sentido absoluto ". [34]
En 1913 se publicaron los Últimos Ensayos póstumos de Henri Poincaré y allí había reafirmado su posición: “Hoy algunos físicos quieren adoptar una nueva convención. No es que estén constreñidos a hacerlo; consideran más conveniente esta nueva convención; es decir. todos. Y los que no sean de esta opinión pueden legítimamente conservar la antigua ". [35]
En la relatividad de Poincaré y Hendrik Lorentz , que asume un marco de referencia absoluto (aunque experimentalmente indiscernible), no surge ninguna paradoja gemela debido al hecho de que la desaceleración del reloj (junto con la contracción de la longitud y la velocidad) se considera una realidad, de ahí la realidad. Diferencia de tiempo entre los relojes reunidos.
Esa interpretación de la relatividad, que John A. Wheeler llama "teoría del éter B (contracción de la longitud más contracción del tiempo)", no ganó tanta tracción como la de Einstein, que simplemente descartó cualquier realidad más profunda detrás de las mediciones simétricas a través de marcos inerciales. No existe una prueba física que distinga una interpretación de la otra. [36]
Más recientemente (en 2005), Robert B. Laughlin (Premio Nobel de Física, Universidad de Stanford), escribió sobre la naturaleza del espacio:
"Es irónico que el trabajo más creativo de Einstein, la teoría general de la relatividad, se reduzca a conceptualizar el espacio como un medio cuando su premisa original [en la relatividad especial] era que no existía tal medio ... connotaciones negativas en la física teórica debido a su asociación pasada con la oposición a la relatividad. Esto es desafortunado porque, despojado de estas connotaciones, captura bastante bien la forma en que la mayoría de los físicos piensan realmente sobre el vacío ... La relatividad en realidad no dice nada sobre la existencia o inexistencia de materia que impregne el universo, sólo que dicha materia debe tener simetría relativista (es decir, medida) ". [37]
AP French escribe, en Relatividad Especial :
Sin embargo, tenga en cuenta que estamos apelando a la realidad de la aceleración de A y a la observabilidad de las fuerzas inerciales asociadas con ella. ¿Existirían efectos como la paradoja de los gemelos si el marco de las estrellas fijas y las galaxias distantes no estuvieran allí? los físicos dirían que no. Nuestra definición última de un marco inercial puede ser de hecho que es un marco que tiene una aceleración cero con respecto a la materia del universo en general ". [38]
Ver también
- La paradoja de la nave espacial de Bell
- Hipótesis del reloj
- Paradoja de Ehrenfest
- Herbert Dingle
- Paradoja de la escalera
- La paradoja de Supplee
- Dilatación del tiempo
- Hora de las estrellas
Fuentes primarias
- ^ Einstein, Albert (1905). "Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento" . Annalen der Physik . 17 (10): 891 (final del § 4). Código Bibliográfico : 1905AnP ... 322..891E . doi : 10.1002 / yp.19053221004 .
- ^ Einstein, Albert (1911). "Die Relativitäts-Theorie" . Naturforschende Gesellschaft, Zürich, Vierteljahresschrift . 56 : 1-14.
- ^ Langevin, P. (1911), "La evolución del espacio y el tiempo" , Scientia , X : 31–54(traducido por JB Sykes, 1973 del francés original: " L'évolution de l'espace et du temps" ).
- ^ von Laue, Max (1911). "Zwei Einwände gegen die Relativitätstheorie und ihre Widerlegung (Dos objeciones contra la teoría de la relatividad y su refutación)". Physikalische Zeitschrift . 13 : 118-120.
- ^ von Laue, Max (1913). Das Relativitätsprinzip (El principio de la relatividad) (2 ed.). Braunschweig, Alemania: Friedrich Vieweg . OCLC 298055497 .
- ^ von Laue, Max (1913). "Das Relativitätsprinzip (El principio de la relatividad)". Jahrbücher der Philosophie . 1 : 99-128.
- ^ "Vamos a ver este carácter absoluto de la aceleración manifestarse en otra forma". ("Nous allons voir se manifester sous une autre forme ce caractère absolu de l'accélération."), Página 82 de Langevin1911
- ^ Einstein, A. (1918) " diálogo sobre objeciones contra la teoría de la relatividad ", Die Naturwissenschaften 48 , págs. 697–702, 29 de noviembre de 1918
Fuentes secundarias
- ^ Crowell, Benjamin (2000). The Modern Revolution in Physics (edición ilustrada). Luz y Materia. pag. 23. ISBN 978-0-9704670-6-5. Extracto de la página 23
- ^ Serway, Raymond A .; Moisés, Clemente J .; Moyer, Curt A. (2004). Física moderna (3ª ed.). Aprendizaje Cengage. pag. 21. ISBN 978-1-111-79437-8. Extracto de la página 21
- ^ D'Auria, Riccardo; Trigiante, Mario (2011). De la relatividad especial a los diagramas de Feynman: un curso de física teórica de partículas para principiantes (edición ilustrada). Springer Science & Business Media. pag. 541. ISBN 978-88-470-1504-3. Extracto de la página 541
- ^ Ohanian, Hans C .; Ruffini, Remo (2013). Gravitación y espacio - tiempo (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 176. ISBN 978-1-139-61954-7. Extracto de la página 176
- ^ Hawley, John F .; Holcomb, Katherine A. (2005). Fundamentos de la cosmología moderna (edición ilustrada). Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 203. ISBN 978-0-19-853096-1. Extracto de la página 203
- ^ a b Debs, Talal A .; Pelirrojo, Michael LG (1996). "La" paradoja de los gemelos "y la convencionalidad de la simultaneidad". Revista estadounidense de física . 64 (4): 384–392. Código Bibliográfico : 1996AmJPh..64..384D . doi : 10.1119 / 1.18252 .
- ^ Miller, Arthur I. (1981). Teoría especial de la relatividad de Albert Einstein. Emergencia (1905) e interpretación temprana (1905-1911) . Lectura: Addison – Wesley. págs. 257-264 . ISBN 0-201-04679-2.
- ^ Max Jammer (2006). Conceptos de simultaneidad: de la antigüedad a Einstein y más allá . Prensa de la Universidad Johns Hopkins. pag. 165. ISBN 0-8018-8422-5.
- ^ Schutz, Bernard (2003). Gravity from the Ground Up: Una guía introductoria a la gravedad y la relatividad general (edición ilustrada). Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 207. ISBN 978-0-521-45506-0.Extracto de la página 207
- ^ Báez, John (1996). "¿Puede la relatividad especial manejar la aceleración?" . Consultado el 30 de mayo de 2017 .
- ^ "¿Cómo resuelve la teoría de la relatividad la paradoja de los gemelos?" .
- ^ David Halliday et al., Los fundamentos de la física , John Wiley and Sons, 1996
- ^ Paul Davies sobre el tiempo , Touchstone 1995, ppf 59.
- ^ John Simonetti. "Preguntas frecuentes sobre la relatividad especial - la paradoja de los gemelos" . Física de Virginia Tech . Consultado el 25 de mayo de 2020 .
- ^ Resnick, Robert (1968). "Tema complementario B: La paradoja de los gemelos". Introducción a la relatividad especial . lugar: Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. p. 201 . ISBN 0-471-71725-8. LCCN 67031211 .. vía August Kopff , Hyman Levy (traductor), The Mathematical Theory of Relativity (Londres: Methuen & Co., Ltd., 1923), p. 52, citado por GJ Whitrow , The Natural Philosophy of Time (Nueva York: Harper Torchbooks, 1961), p. 215.
- ^ a b c d E. Minguzzi (2005) - Envejecimiento diferencial de aceleración: una fórmula explícita - Am. J. Phys. 73 : 876-880 arXiv: physics / 0411233 (La notación de las variables fuente se adaptó para que coincida con la de este artículo).
- ^ Jain, Mahesh C. (2009). Libro de texto de ingeniería física, Parte I . PHI Learning Pvt. pag. 74. ISBN 978-8120338623. Extracto de la página 74
- ^ Sardesai, PL (2004). Introducción a la relatividad . New Age International. págs. 27-28. ISBN 8122415202. Extracto de la página 27
- ^ a b c Ohanian, Hans (2001). Relatividad especial: una introducción moderna . Lakeville, MN: Currículo e instrucción de física. ISBN 0971313415.
- ^ a b c Harris, Randy (2008). Física moderna . San Francisco, CA: Pearson Addison-Wesley. ISBN 978-0805303087.
- ^ a b Rindler, W (2006). Introducción a la relatividad especial . Oxford, Reino Unido: Oxford University Press. ISBN 9780198567318.
- ^ Weidner, Richard (1985). Física . Needham Heights, MA: Allyn y Bacon. ISBN 0205111556.
- ^ a b Einstein, A., Lorentz, HA, Minkowski, H. y Weyl, H. (1923). Arnold Sommerfeld . ed. El principio de relatividad. Publicaciones de Dover: Mineola, NY. págs. 38–49.
- ^ a b c Kogut, John B. (2012). Introducción a la relatividad: para físicos y astrónomos . Prensa académica. pag. 35. ISBN 978-0-08-092408-3. Extracto de la página 35
- ^ a b Maudlin, Tim (2012). Filosofía de la física: espacio y tiempo . Princeton: Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 77–83. ISBN 9780691143095.
- ↑ a b Wheeler, J., Taylor, E. (1992). Física del espacio-tiempo, segunda edición. WH Freeman: Nueva York, págs. 38, 170-171.
- ^ Einstein, A., Lorentz, HA, Minkowski, H. y Weyl, H. (1923). Arnold Sommerfeld. ed. El principio de relatividad. Publicaciones de Dover: Mineola, NY. pag. 38.
- ^ William Geraint Vaughan Rosser (1991). Introducción a la relatividad especial, Taylor & Francis Inc. EE. UU., Págs. 67-68.
- ^ Taylor, Edwin F .; Wheeler, John Archibald (1992). Física del espacio-tiempo (segunda edición ilustrada). WH Freeman. pag. 150 . ISBN 978-0-7167-2327-1.
- ^ Jones, Preston; Wanex, LF (febrero de 2006). "La paradoja del reloj en un campo gravitacional homogéneo estático". Fundamentos de las letras de la física . 19 (1): 75–85. arXiv : física / 0604025 . Código Bibliográfico : 2006FoPhL..19 ... 75J . doi : 10.1007 / s10702-006-1850-3 . S2CID 14583590 .
- ^ Dolby, Carl E. y Gull, Stephen F (2001). "En Radar Time y el Twin 'Paradox ' ". Revista estadounidense de física . 69 (12): 1257-1261. arXiv : gr-qc / 0104077 . Código bibliográfico : 2001AmJPh..69.1257D . doi : 10.1119 / 1.1407254 . S2CID 119067219 .
- ^ C. Lagoute y E. Davoust (1995) El viajero interestelar, Am. J. Phys. 63 : 221-227
- ^ Michael Paul Hobson, George Efstathiou , Anthony N. Lasenby (2006). Relatividad general: una introducción para físicos . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 227. ISBN 0-521-82951-8.CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )Vea el ejercicio 9.25 en la página 227.
- ^ Langevin, P. (1911), "La evolución del espacio y el tiempo", Scientia, X: p.47 (traducido por JB Sykes, 1973).
- ^ Poincaré, Henri. (1913), Matemáticas y ciencia: últimos ensayos (Dernières pensées ).
- ^ Wheeler, J., Taylor, E. (1992). Física del espacio-tiempo, segunda edición. WH Freeman: Nueva York, pág. 88.
- ^ Laughlin, Robert B. (2005). Un universo diferente: reinventando la física desde abajo. Libros básicos, NY, NY. págs. 120-121.
- ^ Francés, AP (1968). Relatividad especial. WW Norton, Nueva York. pag. 156.
Otras lecturas
- El reloj ideal
El reloj ideal es un reloj cuya acción depende únicamente de su velocidad instantánea y es independiente de cualquier aceleración del reloj.
- Wolfgang Rindler (2006). "Dilatación del tiempo" . Relatividad: especial, general y cosmológica . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 43. ISBN 0-19-856731-6.
- Dilatación del tiempo gravitacional; dilatación del tiempo en movimiento circular
- Juan un pavo real (2001). Física cosmológica . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 8. ISBN 0-521-42270-1.
- Silvio Bonometto; Vittorio Gorini; Ugo Moschella (2002). Cosmología moderna . Prensa CRC. pag. 12. ISBN 0-7503-0810-9.
- Patrick Cornille (2003). Electromagnetismo avanzado y física del vacío . World Scientific. pag. 180. ISBN 981-238-367-0.
enlaces externos
- Descripción general de Twin Paradox en las preguntas frecuentes de Usenet Physics
- La paradoja de los gemelos: ¿Es paradójica la simetría de la dilatación del tiempo? De Einsteinlight: Relatividad en animaciones y clips de películas .
- Animaciones FLASH: de John de Pillis. (Escena 1): "Vista" desde el punto de vista del gemelo de la Tierra. (Escena 2): "Vista" desde el punto de vista del gemelo viajero.
- Relativity Science Calculator - Twin Clock Paradox