Rapidez

Physical quantity, defined as the hyperbolic arctangent of ratio of a given speed to the speed of light)

En relatividad , la rapidez se usa comúnmente como una medida de la velocidad relativista. Matemáticamente, la rapidez se puede definir como el ángulo hiperbólico que diferencia dos marcos de referencia en movimiento relativo, cada marco está asociado con coordenadas de distancia y tiempo .

Para el movimiento unidimensional, las velocidades son aditivas, mientras que las velocidades deben combinarse mediante la fórmula de adición de velocidades de Einstein . Para velocidades bajas, la rapidez y la velocidad son proporcionales, pero para velocidades más altas, la rapidez toma un valor mayor, siendo la rapidez de la luz infinita.

Usando la función hiperbólica inversa artanh , la rapidez w correspondiente a la velocidad v es w = artanh ( v / c ) donde c es la velocidad de la luz. Para velocidades bajas, w es aproximadamente v / c . Dado que en relatividad cualquier velocidad v está restringida al intervalo - c < v < c, la relación v / c satisface −1 < v / c <1. La tangente hiperbólica inversa tiene el intervalo unitario (−1, 1) para su dominio y la línea real completa para su rango , por lo que el intervalo - c < v < c se asigna a −∞ < w <∞ .

Historia

En 1908, Hermann Minkowski explicó cómo la transformación de Lorentz podía verse simplemente como una rotación hiperbólica de las coordenadas del espacio-tiempo , es decir, una rotación a través de un ángulo imaginario. ^[1] Por tanto, este ángulo representa (en una dimensión espacial) una simple medida aditiva de la velocidad entre fotogramas. ^[2] El parámetro de rapidez que reemplaza a la velocidad fue introducido en 1910 por Vladimir Varićak ^[3] y por ET Whittaker . ^[4] El parámetro fue denominado rapidez por Alfred Robb (1911) ^[5]y este término fue adoptado por muchos autores posteriores, como Silberstein (1914), Morley (1936) y Rindler (2001).

Área de un sector hiperbólico

La cuadratura de la hipérbola xy = 1 de Gregoire de Saint-Vincent estableció el logaritmo natural como el área de un sector hiperbólico, o un área equivalente frente a una asíntota. En la teoría del espacio-tiempo, la conexión de los eventos por la luz divide el universo en Pasado, Futuro o En otra parte basándose en un Aquí y Ahora ^{[se necesita aclaración ]} . En cualquier línea del espacio, un haz de luz puede dirigirse hacia la izquierda o hacia la derecha. Tome el eje x como los eventos que pasan por el rayo derecho y el eje y como los eventos del rayo izquierdo. Entonces, un marco en reposo tiene tiempo a lo largo de la diagonal x = y . La hipérbola rectangular xy= 1 se puede utilizar para medir velocidades (en el primer cuadrante). La velocidad cero corresponde a (1,1). Cualquier punto de la hipérbola tiene coordenadas donde w es la rapidez y es igual al área del sector hiperbólico desde (1,1) hasta estas coordenadas. En cambio, muchos autores se refieren a la hipérbola unitaria utilizando la rapidez como parámetro, como en el diagrama de espacio-tiempo estándar . Allí, los ejes se miden con un reloj y un metro, puntos de referencia más familiares y la base de la teoría del espacio-tiempo. De modo que la delineación de la rapidez como parámetro hiperbólico del espacio del haz es una referencia ^{[ aclaración necesaria ]} al origen del siglo XVII de nuestras preciosas funciones trascendentales.${\displaystyle (e^{w},\ e^{-w})}$ ${\displaystyle x^{2}-y^{2},}$y un suplemento a la diagramación del espacio-tiempo.

En una dimensión espacial

La rapidez w surge en la representación lineal de un impulso de Lorentz como un producto vector-matriz

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh w&-\sinh w\\-\sinh w&\cosh w\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}=\mathbf {\Lambda } (w){\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}}$.

La matriz Λ ( w ) es del tipo en que p y q satisfacen p ² - q ² = 1 , de modo que ( p , q ) se encuentra en la hipérbola unitaria . Tales matrices forman el grupo ortogonal indefinido O (1,1) con álgebra de Lie unidimensional abarcada por la matriz unitaria anti-diagonal, lo que muestra que la rapidez es la coordenada en esta álgebra de Lie. Esta acción se puede representar en un diagrama de espacio-tiempo . En notación matricial exponencial , Λ ( w${\displaystyle {\begin{pmatrix}p&q\\q&p\end{pmatrix}}}$) se puede expresar como , donde Z es el negativo de la matriz unitaria anti-diagonal${\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w)=e^{\mathbf {Z} w}}$

${\displaystyle \mathbf {Z} ={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.}$

No es difícil demostrar que

${\displaystyle \mathbf {\Lambda } (w_{1}+w_{2})=\mathbf {\Lambda } (w_{1})\mathbf {\Lambda } (w_{2})}$.

Esto establece la útil propiedad aditiva de la rapidez: si A , B y C son marcos de referencia , entonces

${\displaystyle w_{\text{AC}}=w_{\text{AB}}+w_{\text{BC}}}$

donde w _PQ indica la rapidez de un marco de referencia Q con respecto a un marco de referencia P . La simplicidad de esta fórmula contrasta con la complejidad de la correspondiente fórmula de adición de velocidad .

Como podemos ver en la transformación de Lorentz anterior, el factor de Lorentz se identifica con cosh w

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\equiv \cosh w}$,

por lo que la rapidez w se usa implícitamente como un ángulo hiperbólico en las expresiones de transformación de Lorentz usando γ y β . Relacionamos las rapidez con la fórmula de adición de velocidades

${\displaystyle u={\frac {u_{1}+u_{2}}{1+{\frac {u_{1}u_{2}}{c^{2}}}}}}$

reconociendo

${\displaystyle \beta _{i}={\frac {u_{i}}{c}}=\tanh {w_{i}}}$

y entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh w&={\frac {\tanh w_{1}+\tanh w_{2}}{1+\tanh w_{1}\tanh w_{2}}}\\&=\tanh(w_{1}+w_{2})\end{aligned}}}$

La aceleración adecuada (la aceleración "sentida" por el objeto que se acelera) es la tasa de cambio de rapidez con respecto al tiempo adecuado (tiempo medido por el objeto que experimenta la aceleración en sí). Por lo tanto, la rapidez de un objeto en un marco dado se puede ver simplemente como la velocidad de ese objeto, tal como se calcularía de manera no relativista mediante un sistema de guía inercial a bordo del objeto mismo si acelerara desde el reposo en ese marco a su velocidad dada. .

El producto de β y γ aparece con frecuencia, y es de los argumentos anteriores

${\displaystyle \beta \gamma =\sinh w\,.}$

Relaciones exponenciales y logarítmicas

De las expresiones anteriores tenemos

${\displaystyle e^{w}=\gamma (1+\beta )=\gamma \left(1+{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1+{\tfrac {v}{c}}}{1-{\tfrac {v}{c}}}}},}$

y por lo tanto

${\displaystyle e^{-w}=\gamma (1-\beta )=\gamma \left(1-{\frac {v}{c}}\right)={\sqrt {\frac {1-{\tfrac {v}{c}}}{1+{\tfrac {v}{c}}}}}.}$

o explícitamente

${\displaystyle w=\ln \left[\gamma (1+\beta )\right]=-\ln \left[\gamma (1-\beta )\right]\,.}$

El factor de desplazamiento Doppler asociado con la rapidez w es .${\displaystyle k=e^{w}}$

En más de una dimensión espacial

La velocidad relativista está asociada a la rapidez de un objeto a través de ^[6]${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$${\displaystyle \mathbf {w} }$

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3,1)\supset \mathrm {span} \{K_{1},K_{2},K_{3}\}\approx \mathbb {R} ^{3}\ni \mathbf {w} ={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}\in \mathbb {B} ^{3},}$

donde el vector se piensa como coordenadas cartesianas en el subespacio tridimensional del álgebra de Lie del grupo de Lorentz atravesado por los generadores de impulso , en completa analogía con el caso unidimensional discutido anteriormente, y el espacio de velocidad está representado por la bola abierta con radio desde . Esto último se sigue de que es una velocidad límite en relatividad (con unidades en las que ).${\displaystyle \mathbf {w} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {o}}(3,1)\approx {\mathfrak {so}}(3,1)}$ ${\displaystyle K_{1},K_{2},K_{3}}$${\displaystyle {\mathfrak {o}}(1,1)}$${\displaystyle \mathbb {B} ^{3}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle |\beta |<1}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c=1}$

La fórmula general para la composición de rapidez es ^{[7] [nb 1]}

${\displaystyle \mathbf {w} ={\boldsymbol {\hat {\beta }}}\tanh ^{-1}\beta ,\quad {\boldsymbol {\beta }}={\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2},}$

donde se refiere a la suma de velocidades relativista y es un vector unitario en la dirección de . Esta operación no es conmutativa ni asociativa. Las velocidades con direcciones inclinadas en un ángulo tienen una norma resultante (longitud euclidiana ordinaria) dada por la ley hiperbólica de los cosenos , ^[8]${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}_{1}\oplus {\boldsymbol {\beta }}_{2}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\beta }}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}}$${\displaystyle \mathbf {w} _{1},\mathbf {w} _{2}}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle w\equiv |\mathbf {w} |}$

${\displaystyle \cosh w=\cosh w_{1}\cosh w_{2}+\sinh w_{1}\sinh w_{2}\cos \theta .}$

La geometría en el espacio de velocidad se hereda de la geometría hiperbólica en el espacio de velocidad a través del mapa indicado. Esta geometría, a su vez, se puede inferir de la ley de la adición de velocidades relativistas. ^{[9] La} rapidez en dos dimensiones se puede visualizar de forma útil utilizando el disco de Poincaré . ^{[10] Las} geodésicas corresponden a aceleraciones constantes. Espacio rapidez en tres dimensiones puede de la misma manera puede poner en isometría con el modelo de hiperboloide (isométrica a la 3 disco de Poincaré -dimensional (o balón )). Esto se detalla en la geometría del espacio de Minkowski .

La adición de dos velocidades da como resultado no sólo una nueva rapidez; la transformación total resultante es la composición de la transformación correspondiente a la rapidez dada anteriormente y una rotación parametrizada por el vector ,${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$

${\displaystyle \Lambda =e^{-i{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }e^{-i\mathbf {w} \cdot \mathbf {K} },}$

donde se emplea la convención física para el mapeo exponencial. Esta es una consecuencia de la regla de conmutación

${\displaystyle [K_{i},K_{j}]=-i\epsilon _{ijk}J_{k},}$

donde estan los generadores de rotacion . Esto está relacionado con el fenómeno de la precesión de Thomas . Para el cálculo del parámetro , se hace referencia al artículo vinculado.${\displaystyle J_{k},k=1,2,3,}$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}}$

En física de partículas experimental

La energía E y el momento escalar | p | de una partícula de masa m distinta de cero (en reposo) están dadas por:

${\displaystyle E=\gamma mc^{2}}$

${\displaystyle |\mathbf {p} |=\gamma mv.}$

Con la definición de w

${\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}},}$

y así con

${\displaystyle \cosh w=\cosh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma }$

${\displaystyle \sinh w=\sinh \left(\operatorname {artanh} {\frac {v}{c}}\right)={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\beta \gamma ,}$

la energía y el momento escalar se pueden escribir como:

${\displaystyle E=mc^{2}\cosh w}$

${\displaystyle |\mathbf {p} |=mc\,\sinh w.}$

Entonces, la rapidez se puede calcular a partir de la energía y el momento medidos mediante

${\displaystyle w=\operatorname {artanh} {\frac {|\mathbf {p} |c}{E}}={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{E-|\mathbf {p} |c}}=\ln {\frac {E+|\mathbf {p} |c}{mc^{2}}}~.}$

Sin embargo, los físicos de partículas experimentales a menudo usan una definición modificada de rapidez relativa al eje de un haz.

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+p_{z}c}{E-p_{z}c}},}$

donde p _z es la componente de la cantidad de movimiento a lo largo del eje de la viga. ^[11] Esta es la rapidez del impulso a lo largo del eje del haz que lleva al observador del marco del laboratorio a un marco en el que la partícula se mueve solo perpendicular al haz. Relacionado con esto está el concepto de pseudorapidez .

La rapidez relativa al eje de una viga también se puede expresar como

${\displaystyle y=\ln {\frac {E+p_{z}c}{\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{T}^{2}c^{2}}}}~.}$

Ver también

• Bondi k-cálculo
• Transformación de Lorentz
• Pseudorapidez
• Velocidad adecuada
• Teoría de la relatividad

Comentarios

1. Esto debe entenderse en el sentido de que, dadas dos velocidades, la rapidez resultante es la rapidez correspondiente a las dos velocidades sumadas relativísticamente . Las Rapidities también tienen la adición ordinaria heredada, y el contexto decide qué operación usar.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Notas y referencias

1. Hermann Minkowski (1908) Ecuaciones fundamentales para procesos electromagnéticos en cuerpos en movimiento a través de Wikisource
2. Sommerfeld, Phys. Z 1909
3. Vladimir Varicak (1910) Aplicación de la geometría lobachevskiana en la teoría de la relatividad Physikalische Zeitschrift a través de Wikisource
4. ET Whittaker (1910) Una historia de las teorías del éter y la electricidad , página 441.
5. Alfred Robb (1911) Geometría óptica del movimiento p.9
6. Jackson , 1999 , p. 547
7. Rhodes y Semon 2003 harvnb error: no target: CITEREFRhodesSemon2003 (help)
8. Robb 1910, Varićak 1910, Borel 1913
9. Landau y Lifshitz 2002 , Problema p. 38 harvnb error: no target: CITEREFLandauLifshitz2002 (help)
10. Rhodes y Semon 2003 harvnb error: no target: CITEREFRhodesSemon2003 (help)
11. Amsler, C. et al. , "The Review of Particle Physics" , Physics Letters B 667 (2008) 1, Sección 38.5.2

• Varićak V (1910), (1912), (1924) Ver Vladimir Varićak # Publicaciones
• Whittaker, ET (1910). " Una historia de las teorías del éter y la electricidad ": 441.
• Robb, Alfred (1911). Geometría óptica del movimiento, una nueva visión de la teoría de la relatividad . Cambridge: Heffner & Sons.
• Borel E (1913) La théorie de la relativité et la cinématique, Comptes Rendus Acad Sci Paris 156 215-218; 157 703-705
• Silberstein, Ludwik (1914). La teoría de la relatividad . Londres: Macmillan & Co.
• Vladimir Karapetoff (1936) "Relatividad restringida en términos de funciones hiperbólicas de rapidez", American Mathematical Monthly 43:70.
• Frank Morley (1936) "Cuándo y dónde", The Criterion , editado por TS Eliot , 15: 200-2009.
• Wolfgang Rindler (2001) Relatividad: especial, general y cosmológica , página 53, Oxford University Press .
• Shaw, Ronald (1982) Álgebra lineal y representaciones de grupo , v. 1, página 229, Academic Press ISBN 0-12-639201-3 . 
• Walter, Scott (1999). "El estilo no euclidiano de la relatividad minkowskiana" (PDF) . En J. Gray (ed.). El Universo Simbólico: Geometría y Física . Prensa de la Universidad de Oxford. págs. 91-127.(consulte la página 17 del enlace electrónico)
• Rhodes, JA; Semon, MD (2004). "Espacio de velocidad relativista, rotación de Wigner y precesión de Thomas". Soy. J. Phys . 72 (7): 93–90. arXiv : gr-qc / 0501070 . Código Bibliográfico : 2004AmJPh..72..943R . doi : 10.1119 / 1.1652040 . S2CID  14764378 .
• Jackson, JD (1999) [1962]. "Capítulo 11". Electrodinámica clásica (3d ed.). John Wiley e hijos . ISBN 0-471-30932-X.