Grupo abeliano elemental
En matemáticas , específicamente en la teoría de grupos , un grupo abeliano primaria (o elemental abeliano p -Grupo ) es un grupo abeliano en el que cada elemento no trivial tiene orden p . El número p debe ser primordial , y los grupos abelianos elementales son un tipo particular de p -grupo . [1] [2] El caso en el que p = 2, es decir, un grupo 2 abeliano elemental, a veces se denomina grupo booleano . [3]
Cada grupo p abeliano elemental es un espacio vectorial sobre el campo principal con p elementos y, a la inversa, cada espacio vectorial de este tipo es un grupo abeliano elemental. Por la clasificación de grupos abelianos generados finitamente , o por el hecho de que cada espacio vectorial tiene una base , cada grupo abeliano elemental finito debe ser de la forma ( Z / p Z ) n para n un número entero no negativo (a veces llamado el grupo rango ). Aquí, Z / p Z denota el grupo cíclico de ordenp (o equivalentemente los enteros mod p ), y la notación de superíndice significa el producto directo n veces mayor de los grupos . [2]
En general, un grupo p abeliano elemental (posiblemente infinito) es una suma directa de grupos cíclicos de orden p . [4] (Nótese que en el caso finito el producto directo y la suma directa coinciden, pero esto no es así en el caso infinito).
Suponga que V ( Z / p Z ) n es un grupo abeliano elemental. Dado que Z / p Z F p , el campo finito de p elementos, tenemos V = ( Z / p Z ) n F p n , por lo tanto, V puede considerarse como un espacio vectorial n- dimensional sobre el campo F p . Tenga en cuenta que un grupo abeliano elemental no tiene en general una base distinguida: elección de isomorfismo V ( Z / p Z ) n corresponde a una elección de base.
Para el lector observador, puede parecer que F p n tiene más estructura que el grupo V , en particular que tiene multiplicación escalar además de la suma (vector / grupo). Sin embargo, V como un grupo abeliano tiene un único Z - módulo de estructura en la que la acción de Z corresponde a la adición repetida, y esto Z estructura -module es coherente con la F p multiplicación escalar. Es decir, c · g = g + g + ... + g ( c veces) donde cen F p (considerado como un número entero con 0 ≤ c < p ) le da a V una estructura de módulo F p natural .
Como un espacio vectorial V tiene una base { e 1 , ..., e n } como se describe en los ejemplos, si tomamos { v 1 , ..., v n } como cualquier n elementos de V , entonces por lineal álgebra tenemos que el mapeo T ( e i ) = v i se extiende únicamente a una transformación lineal de V . Cada uno de estos T puede considerarse como un homomorfismo de grupo de V a V (un endomorfismo) e igualmente cualquier endomorfismo de V puede considerarse como una transformación lineal de V como espacio vectorial.