Álgebra de Kac-Moody generalizada
En matemáticas , un álgebra de Kac-Moody generalizada es un álgebra de Lie que es similar a un álgebra de Kac-Moody , excepto que se le permite tener raíces simples imaginarias . Las álgebras de Kac-Moody generalizadas también se denominan a veces álgebras de GKM, álgebras de Borcherds-Kac-Moody, álgebras de BKM o álgebras de Borcherds . El ejemplo más conocido es el álgebra monstruosa de Lie .
Por ejemplo, para las álgebras de n por n matrices de traza cero, la forma bilineal es ( a , b ) = Traza( ab ), la involución de Cartan viene dada por menos la transpuesta, y la calificación puede estar dada por "distancia desde la diagonal" de modo que la subálgebra de Cartan son los elementos de la diagonal.
Por el contrario, uno puede intentar encontrar todas las álgebras de Lie con estas propiedades (y que cumplan algunas otras condiciones técnicas). La respuesta es que uno obtiene sumas de álgebras de Lie afines y de dimensión finita .
El monstruoso álgebra de Lie satisface una versión ligeramente más débil de las condiciones anteriores: ( a , w(a) ) es positivo si a es distinto de cero y tiene un grado distinto de cero , pero puede ser negativo cuando a tiene un grado cero. Las álgebras de Lie que satisfacen estas condiciones más débiles son álgebras de Kac-Moody más o menos generalizadas. Son esencialmente lo mismo que las álgebras dadas por ciertos generadores y relaciones (descritos a continuación).
De manera informal, las álgebras de Kac-Moody generalizadas son las álgebras de Lie que se comportan como álgebras de Lie semisimples de dimensión finita. En particular tienen un grupo de Weyl, fórmula de caracteres de Weyl , subálgebra de Cartan , raíces, pesos, etc.
Una matriz de Cartan simetrizada es una matriz cuadrada (posiblemente infinita) con entradas tales que
