En matemáticas , el álgebra de monstruo de Lie es un álgebra de Kac-Moody generalizada de dimensión infinita sobre la que actúa el grupo de monstruos , que se utilizó para probar las conjeturas monstruosas de la luz de la luna .
Estructura
El monstruo álgebra de Lie m es un Z 2 - graduada álgebra de Lie . La pieza de grado ( m , n ) tiene dimensión c mn si ( m , n ) ≠ (0, 0) y dimensión 2 si ( m , n ) = (0, 0). Los enteros c n son los coeficientes de q n de la j -invariante como función modular elíptica
La subálgebra de Cartan es el subespacio bidimensional de grado (0, 0), por lo que el álgebra de mentira monstruosa tiene rango 2.
El álgebra de Lie del monstruo tiene solo una raíz simple real , dada por el vector (1, −1), y el grupo de Weyl tiene orden 2, y actúa mapeando ( m , n ) a ( n , m ). Las raíces simples imaginarias son los vectores (1, n ) para n = 1, 2, 3, ..., y tienen multiplicidades c n .
La fórmula del denominador para el álgebra de los monstruos de Lie es la fórmula del producto para la j -invariante:
La fórmula del denominador (a veces denominada identidad de producto infinito de Koike-Norton-Zagier) se descubrió en la década de 1980. Varios matemáticos, incluidos Masao Koike, Simon P. Norton y Don Zagier , hicieron el descubrimiento de forma independiente. [1]
Construcción
Hay dos formas de construir el álgebra de mentira del monstruo. [ cita requerida ] Como es un álgebra Kac-Moody generalizada cuyas raíces simples son conocidas, se puede definir por generadores y relaciones explícitos; sin embargo, esta presentación no da una acción del grupo de monstruos sobre ella.
También se puede construir a partir del álgebra de vértices de monstruos utilizando el teorema de Goddard-Thorn de la teoría de cuerdas . Esta construcción es mucho más difícil, pero también demuestra que el grupo de monstruos actúa naturalmente sobre ella. [1]
Referencias
- ↑ a b Borcherds, Richard E. (octubre de 2002). "¿Qué es ... el Monstruo?" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 49 (2): 1076–1077. (Ver p. 1077).
- Borcherds, Richard (1986). "Álgebras de vértice, álgebras de Kac-Moody y el monstruo" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 83 (10): 3068–71. Código Bibliográfico : 1986PNAS ... 83.3068B . doi : 10.1073 / pnas.83.10.3068 . PMC 323452 . PMID 16593694 .
- Frenkel, Igor; Lepowsky, James; Meurman, Arne (1988). Álgebras de operador de vértice y el Monstruo . Matemática pura y aplicada. 134 . Prensa académica. ISBN 0-12-267065-5.
- Kac, Víctor (1996). Álgebras de vértices para principiantes . Ciclos de Conferencias Universitarias. 10 . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-0643-2.; Kac, Victor G (1998). revisada y ampliada, 2ª edición . ISBN 0-8218-1396-X.
- Kac, Víctor (1999). "Correcciones al libro" Álgebras de vértices para principiantes ", segunda edición, de Victor Kac". arXiv : matemáticas / 9901070 .
- Carter, RW (2005). Álgebras de Lie de tipo finito y afín . Estudios de Cambridge. 96 . ISBN 0-521-85138-6. (Texto de estudio introductorio con una breve descripción del álgebra de Borcherds en el Capítulo 21)