En matemáticas , el teorema de Borel-Carathéodory en análisis complejo muestra que una función analítica puede estar limitada por su parte real . Es una aplicación del principio de módulo máximo . Lleva el nombre de Émile Borel y Constantin Carathéodory .
Declaración del teorema
Deja una función ser analítico en un disco cerrado de radio R centrado en el origen . Suponga que r < R . Entonces, tenemos la siguiente desigualdad:
Aquí, la norma en el lado izquierdo denota el valor máximo de f en el disco cerrado:
(donde la última igualdad se debe al principio de módulo máximo).
Prueba
Defina A por
Si f es constante, la desigualdad es trivial ya que, por lo que podemos suponer que f no es constante. Primero sea f (0) = 0. Dado que Re f es armónico, Re f (0) es igual al promedio de sus valores alrededor de cualquier círculo centrado en 0. Es decir,
Dado que f es analítica y no constante, tenemos que Re f también es no constante. Dado que Re f (0) = 0, debemos tener Repara algunos z en el círculo, entonces podemos tomar . Ahora f se asigna al semiplano P a la izquierda de la línea x = A. Aproximadamente, nuestro objetivo es mapear este semiplano a un disco, aplicar el lema de Schwarz allí y distinguir la desigualdad declarada.
envía P al semiplano izquierdo estándar.envía el semiplano izquierdo al círculo de radio R centrado en el origen. El compuesto, que mapea de 0 a 0, es el mapa deseado:
A partir del lema de Schwarz aplicado a la composición de este mapa yf , tenemos
Toma | z | ≤ r . Lo anterior se convierte
entonces
- ,
como se afirma. En el caso general, podemos aplicar lo anterior af ( z ) - f (0):
que, cuando se reordena, da el reclamo.
Referencias
- Lang, Serge (1999). Análisis complejo (4ª ed.). Nueva York: Springer-Verlag, Inc. ISBN 0-387-98592-1 .
- Titchmarsh, EC (1938). La teoría de funciones. Prensa de la Universidad de Oxford.