En matemáticas , el principio del módulo máximo en el análisis complejo establece que si f es una función holomórfica , entonces el módulo | f | no puede exhibir un máximo local estricto que esté propiamente dentro del dominio de f .
En otras palabras, f es localmente una función constante o, para cualquier punto z 0 dentro del dominio de f , existen otros puntos arbitrariamente cercanos a z 0 en los que | f | toma valores mayores.
Declaración formal
Sea f una función holomórfica en algún subconjunto abierto conectado D del plano complejo ℂ y tomando valores complejos. Si z 0 es un punto en D tal que
para todos z en alguna zona de z 0 , entonces f es constante en D .
Esta declaración puede verse como un caso especial del teorema de mapeo abierto , que establece que una función holomórfica no constante mapea conjuntos abiertos a conjuntos abiertos: If | f | alcanza un máximo local en z , entonces la imagen de una vecindad abierta suficientemente pequeña de z no puede ser abierta, entonces f es constante.
Declaración relacionada
Suponer que es un subconjunto abierto no vacío acotado de . Dejar ser el cierre de . Suponer que es una función continua que es holomórfica en . Luego alcanza un máximo en algún punto del límite de .
Esto se desprende de la primera versión de la siguiente manera. Desdees compacto y no vacío, la función continua alcanza un máximo en algún momento de . Si no está en el límite, entonces el principio de módulo máximo implica que es constante, entonces también alcanza el mismo máximo en cualquier punto del límite.
Principio de módulo mínimo
Para una función holomórfica f en un conjunto abierto conectado D de, si z 0 es un punto en D tal que
para todos z en alguna zona de z 0 , entonces f es constante en D .
Prueba: aplique el principio de módulo máximo a .
Bocetos de pruebas
Usando el principio máximo para funciones armónicas
Uno puede usar la igualdad
para logaritmos naturales complejos para deducir que ln | f ( z ) | es una función armónica . Dado que z 0 es un máximo local para esta función también, se sigue del principio de máximo que | f ( z ) | es constante. Luego, usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann mostramos que f ′ ( z ) = 0, y por lo tanto que f ( z ) también es constante. Un razonamiento similar muestra que | f | solo puede tener un mínimo local (que necesariamente tiene valor 0) en un cero aislado de f (z) .
Usando el teorema del valor medio de Gauss
Otra demostración funciona utilizando el teorema del valor medio de Gauss para "forzar" todos los puntos dentro de los discos abiertos superpuestos a asumir el mismo valor. Los discos se colocan de manera que sus centros formen una trayectoria poligonal desde el valor donde f ( z ) se maximiza a cualquier otro punto del dominio, mientras que están totalmente contenidos dentro del dominio. Por tanto, la existencia de un valor máximo implica que todos los valores del dominio son iguales, por lo que f ( z ) es constante.
Interpretación física
Una interpretación física de este principio proviene de la ecuación del calor . Es decir, dado que log | f ( z ) | es armónica, es por lo tanto el estado estacionario de un flujo de calor en la región D . Suponga que se alcanza un máximo estricto en el interior de D , el calor en este máximo se dispersaría a los puntos a su alrededor, lo que contradeciría la suposición de que esto representa el estado estable de un sistema.
Aplicaciones
El principio de módulo máximo tiene muchos usos en análisis complejos y puede usarse para probar lo siguiente:
- El teorema fundamental del álgebra .
- El lema de Schwarz , un resultado que a su vez tiene muchas generalizaciones y aplicaciones en el análisis complejo.
- El principio Phragmén-Lindelöf , una extensión a dominios ilimitados.
- El teorema de Borel-Carathéodory , que delimita una función analítica en términos de su parte real.
- El teorema de las tres líneas de Hadamard , un resultado sobre el comportamiento de funciones holomórficas acotadas en una línea entre otras dos líneas paralelas en el plano complejo.
Referencias
- Titchmarsh, EC (1939). La teoría de las funciones (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. (Ver capítulo 5.)
- ED Solomentsev (2001) [1994], "Principio de módulo máximo" , Enciclopedia de matemáticas , EMS Press