La rigidez nativa es un concepto de la relatividad especial . Es una respuesta a la pregunta de qué, en relatividad especial, corresponde al cuerpo rígido de la mecánica clásica no relativista .
El concepto fue introducido por Max Born (1909), [1] [2] quien dio una descripción detallada del caso de la aceleración adecuada constante que llamó movimiento hiperbólico . Cuando autores posteriores como Paul Ehrenfest (1909) [3] intentaron incorporar también movimientos de rotación, quedó claro que la rigidez de Born es una sensación de rigidez muy restrictiva, lo que lleva al teorema de Herglotz-Noether , según el cual existen severas restricciones sobre movimientos rígidos rotacionales de Born. Fue formulado por Gustav Herglotz (1909, quien clasificó todas las formas de movimientos rotacionales) [4] y de una manera menos general porFritz Noether (1909). [5] Como resultado, Born (1910) [6] y otros dieron definiciones alternativas y menos restrictivas de rigidez.
Definición
La rigidez nativa se satisface si la distancia espaciotemporal ortogonal entre curvas o líneas de mundo infinitesimalmente separadas es constante, [7] o de manera equivalente, si la longitud del cuerpo rígido en marcos inerciales co-móviles momentáneos medida por varillas de medición estándar (es decir, la longitud adecuada ) es constante y, por lo tanto, está sujeto a la contracción de Lorentz en marcos relativamente móviles. [8] La rigidez nativa es una restricción en el movimiento de un cuerpo extendido, que se logra mediante la aplicación cuidadosa de fuerzas en diferentes partes del cuerpo. Un cuerpo rígido en sí mismo violaría la relatividad especial, ya que su velocidad de sonido sería infinita.
Se puede obtener una clasificación de todos los posibles movimientos rígidos de Born utilizando el teorema de Herglotz-Noether. Este teorema estados, que todos los irrotacionales movimientos rígidos Born ( clase A ) se componen de hiperplanos en movimiento de forma rígida a través de espacio-tiempo, mientras que cualquier movimiento rígido Nacido de rotación ( clase B ) debe ser isométricas Killing movimientos. Esto implica que un cuerpo rígido Born solo tiene tres grados de libertad . Por lo tanto, un cuerpo puede ser llevado de una forma rígida de Born desde el reposo a cualquier movimiento de traslación , pero no puede ser llevado de una forma rígida de Born desde el reposo a un movimiento de rotación. [9]
Estrés y rigidez de Born
Herglotz (1911) [10] demostró que una teoría relativista de la elasticidad puede basarse en el supuesto de que las tensiones surgen cuando se rompe la condición de rigidez de Born. [11]
Un ejemplo de ruptura de la rigidez de Born es la paradoja de Ehrenfest : aunque el estado de movimiento circular uniforme de un cuerpo se encuentra entre los movimientos rígidos de Born permitidos de clase B , un cuerpo no puede ser llevado de ningún otro estado de movimiento a un movimiento circular uniforme sin romperse. la condición de rigidez de Born durante la fase en la que el cuerpo sufre varias aceleraciones. Pero si esta fase termina y la aceleración centrípeta se vuelve constante, el cuerpo puede girar uniformemente de acuerdo con la rigidez de Born. Asimismo, si ahora está en movimiento circular uniforme, este estado no se puede cambiar sin romper nuevamente la rigidez de Born del cuerpo.
Otro ejemplo es la paradoja de la nave espacial de Bell : si los puntos finales de un cuerpo se aceleran con aceleraciones adecuadas constantes en dirección rectilínea, entonces el punto final principal debe tener una aceleración adecuada más baja para dejar la longitud adecuada constante para que se satisfaga la rigidez de Born. También exhibirá una contracción de Lorentz creciente en un marco inercial externo, es decir, en el marco externo los puntos finales del cuerpo no se aceleran simultáneamente. Sin embargo, si se elige un perfil de aceleración diferente mediante el cual los puntos finales de la carrocería se aceleran simultáneamente con la misma aceleración adecuada que se ve en el marco inercial externo, su rigidez de Born se romperá, porque la longitud constante en el marco externo implica aumentar la longitud adecuada en un marco comoving debido a la relatividad de la simultaneidad. En este caso, un frágil hilo atravesado entre dos cohetes experimentará tensiones (que se denominan tensiones Herglotz-Dewan-Beran [8] ) y, en consecuencia, se romperá.
Movimientos rígidos nacidos
Herglotz dio una clasificación de los movimientos rígidos de Born permitidos, en particular de rotación, en el espacio-tiempo plano de Minkowski , [4] que también fue estudiado por Friedrich Kottler (1912, 1914), [12] Georges Lemaître (1924), [13] Adriaan Fokker (1940), [14] George Salzmann y Abraham H. Taub (1954). [7] Herglotz señaló que un continuo se mueve como un cuerpo rígido cuando las líneas del mundo de sus puntos son curvas equidistantes en. Las líneas de mundo resultantes se pueden dividir en dos clases:
Clase A: movimientos de irritación
Herglotz definió esta clase en términos de curvas equidistantes que son las trayectorias ortogonales de una familia de hiperplanos , que también pueden verse como soluciones de una ecuación de Riccati [15] (esto fue llamado "movimiento plano" por Salzmann & Taub [7] o "movimiento rígido de irritación" por Boyer [16] [17] ). Concluyó que el movimiento de tal cuerpo está completamente determinado por el movimiento de uno de sus puntos.
La métrica general para estos movimientos de irritación ha sido dada por Herglotz, cuyo trabajo fue resumido con notación simplificada por Lemaître (1924). También la métrica de Fermi en la forma dada por Christian Møller (1952) para marcos rígidos con movimiento arbitrario del origen fue identificada como la "métrica más general para el movimiento rígido de irritación en relatividad especial". [18] En general, se demostró que el movimiento Irrotacional de Born corresponde a aquellas congruencias de Fermi de las cuales cualquier línea de mundo puede usarse como línea de base (congruencia de Fermi homogénea). [19]
Herglotz 1909 | [20] |
Lemaître 1924 | [21] |
Møller 1952 | [22] |
Ya Born (1909) señaló que un cuerpo rígido en movimiento de traslación tiene una extensión espacial máxima en función de su aceleración, dada por la relación , dónde es la aceleración adecuada y es el radio de una esfera en la que se encuentra el cuerpo, por lo tanto, cuanto mayor es la aceleración adecuada, menor es la extensión máxima del cuerpo rígido. [2] El caso especial de movimiento de traslación con aceleración adecuada constante se conoce como movimiento hiperbólico , con la línea de mundo
Nacido en 1909 | [23] |
Herglotz 1909 | [24] [25] |
Sommerfeld 1910 | [26] |
Kottler 1912, 1914 | [27] [28] |
Clase B: movimientos isométricos rotacionales
Herglotz definió esta clase en términos de curvas equidistantes que son las trayectorias de un grupo de movimiento de un parámetro [29] (esto fue llamado "movimiento de grupo" por Salzmann & Taub [7] y fue identificado con el movimiento isométrico Killing por Felix Pirani & Gareth Williams (1962) [30] ). Señaló que consisten en líneas de mundo cuyas tres curvaturas son constantes (conocidas como curvatura , torsión e hipertorsión), formando una hélice . [31] Las líneas de mundo de curvaturas constantes en el espacio-tiempo plano también fueron estudiadas por Kottler (1912), [12] Petrův (1964), [32] John Lighton Synge (1967, quien las llamó hélices temporales en el espacio-tiempo plano), [33] o Letaw (1981, quien las llamó líneas de mundo estacionarias) [34] como las soluciones de las fórmulas de Frenet-Serret .
Herglotz separó aún más la clase B utilizando cuatro grupos de un parámetro de transformaciones de Lorentz (loxodrómico, elíptico, hiperbólico, parabólico) en analogía con los movimientos hiperbólicos (es decir, automorfismos isométricos de un espacio hiperbólico) , y señaló que el movimiento hiperbólico de Born (que se deriva del grupo hiperbólico con en la notación de Herglotz y Kottler, en la notación de Lemaître, en la notación de Synge; ver la siguiente tabla) es el único movimiento rígido de Born que pertenece a las clases A y B.
Grupo loxodrómico (combinación de movimiento hiperbólico y rotación uniforme) | |
---|---|
Herglotz 1909 | [35] |
Kottler 1912, 1914 | [36] |
Lemaître 1924 | [37] |
Synge 1967 | [38] |
Grupo elíptico (rotación uniforme) | |
Herglotz 1909 | [39] |
Kottler 1912, 1914 | [40] |
de Sitter 1916 | [41] |
Lemaître 1924 | [42] |
Synge 1967 | [43] |
Grupo hiperbólico (movimiento hiperbólico más traslación espacial) | |
Herglotz 1909 | [44] |
Kottler 1912, 1914 | [45] |
Lemaître 1924 | [46] |
Synge 1967 | [47] |
Grupo parabólico (que describe una parábola semicúbica ) | |
Herglotz 1909 | [25] |
Kottler 1912, 1914 | [48] |
Lemaître 1924 | [37] |
Synge 1967 | [49] |
Relatividad general
Salzmann y Taub (1954), [7] C. Beresford Rayner (1959), [50] Pirani y Williams (1962), [30] Robert H. Boyer han intentado extender el concepto de rigidez de Born a la relatividad general . (1964). [16] Se demostró que el teorema de Herglotz-Noether no se satisface completamente, porque son posibles marcos rotativos rígidos o congruencias que no representan movimientos isométricos de Killing. [30]
Alternativas
También se han propuesto varios sustitutos más débiles como condiciones de rigidez, como por ejemplo Noether (1909) [5] o el propio Born (1910). [6]
Epp, Mann & McGrath ofrecieron una alternativa moderna. [51] En contraste con la congruencia rígida ordinaria de Born que consiste en la "historia de un conjunto de puntos que llenan el volumen espacial", recuperan los seis grados de libertad de la mecánica clásica utilizando un marco rígido cuasilocal al definir una congruencia en términos de la "historia del conjunto de puntos en la superficie que delimita un volumen espacial".
Referencias
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- ↑ a b Herglotz (1909)
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- ^ Herglotz (1909), pág. 412
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- ^ Kottler (1912), pág. 1714; Kottler (1914a), cuadro 1, caso IIIa
- ↑ Lemaître (1924), p. 174
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enlaces externos
- Rigidez, aceleración e inercia nacidas en mathpages.com
- El disco giratorio rígido en relatividad en las preguntas frecuentes de física de USENET