La contracción de la longitud es el fenómeno por el que se mide la longitud de un objeto en movimiento para que sea más corta que su longitud adecuada , que es la longitud medida en el marco de descanso del propio objeto . [1] También se conoce como contracción de Lorentz o contracción de Lorentz-FitzGerald (después de Hendrik Lorentz y George Francis FitzGerald ) y generalmente solo se nota a una fracción sustancial de la velocidad de la luz.. La contracción de la longitud es solo en la dirección en la que se desplaza el cuerpo. Para los objetos estándar, este efecto es insignificante a velocidades cotidianas y puede ignorarse para todos los propósitos habituales, solo se vuelve significativo a medida que el objeto se acerca a la velocidad de la luz en relación con el observador.
Historia
La contracción de la longitud fue postulada por George FitzGerald (1889) y Hendrik Antoon Lorentz (1892) para explicar el resultado negativo del experimento de Michelson-Morley y para rescatar la hipótesis del éter estacionario (hipótesis de la contracción de Lorentz-FitzGerald ). [2] [3] Aunque tanto FitzGerald como Lorentz aludieron al hecho de que los campos electrostáticos en movimiento estaban deformados ("Heaviside-Ellipsoid" en honor a Oliver Heaviside , quien derivó esta deformación de la teoría electromagnética en 1888), se consideró una hipótesis ad hoc , porque en este momento no había razón suficiente para asumir que las fuerzas intermoleculares se comportan de la misma manera que las electromagnéticas. En 1897, Joseph Larmor desarrolló un modelo en el que se considera que todas las fuerzas son de origen electromagnético, y la contracción de la longitud parece ser una consecuencia directa de este modelo. Sin embargo, Henri Poincaré (1905) demostró que las fuerzas electromagnéticas por sí solas no pueden explicar la estabilidad del electrón. Entonces tuvo que introducir otra hipótesis ad hoc: fuerzas de unión no eléctricas ( tensiones de Poincaré ) que aseguran la estabilidad del electrón, dan una explicación dinámica de la contracción de la longitud y, por lo tanto, ocultan el movimiento del éter estacionario. [4]
Eventualmente, Albert Einstein (1905) fue el primero [4] en eliminar completamente el carácter ad hoc de la hipótesis de la contracción, al demostrar que esta contracción no requería movimiento a través de un supuesto éter, sino que podía explicarse usando la relatividad especial , lo que cambió nuestra nociones de espacio, tiempo y simultaneidad. [5] El punto de vista de Einstein fue elaborado por Hermann Minkowski , quien demostró la interpretación geométrica de todos los efectos relativistas al introducir su concepto de espacio - tiempo tetradimensional . [6]
Base de la relatividad
Primero es necesario considerar cuidadosamente los métodos para medir la longitud de los objetos en reposo y en movimiento. [7] Aquí, "objeto" simplemente significa una distancia con puntos finales que siempre están mutuamente en reposo, es decir , que están en reposo en el mismo marco de referencia inercial . Si la velocidad relativa entre un observador (o sus instrumentos de medición) y el objeto observado es cero, entonces la longitud adecuada del objeto se puede determinar simplemente superponiendo directamente una varilla de medición. Sin embargo, si la velocidad relativa> 0, entonces se puede proceder de la siguiente manera:
El observador instala una fila de relojes que se sincronizan a) mediante el intercambio de señales luminosas según la sincronización de Poincaré-Einstein , ob) mediante "transporte lento de reloj", es decir, un reloj se transporta a lo largo de la fila de relojes en el límite. de la fuga de la velocidad de transporte. Ahora, cuando finaliza el proceso de sincronización, el objeto se mueve a lo largo de la fila del reloj y cada reloj almacena la hora exacta en la que pasa el extremo izquierdo o derecho del objeto. Después de eso, el observador solo tiene que mirar la posición de un reloj A que almacenó la hora en que pasaba el extremo izquierdo del objeto, y un reloj B en el que pasaba el extremo derecho del objeto al mismo tiempo. . Está claro que la distancia AB es igual a la longituddel objeto en movimiento. [7] Con este método, la definición de simultaneidad es crucial para medir la longitud de los objetos en movimiento.
Otro método es usar un reloj que indique la hora adecuada. , que viaja de un extremo de la varilla al otro en el tiempo medido por relojes en el marco de descanso de la barra. La longitud de la varilla se puede calcular multiplicando su tiempo de viaje por su velocidad, así en el marco de descanso de la barra o en el marco de descanso del reloj. [8]
En la mecánica newtoniana, la simultaneidad y la duración del tiempo son absolutas y, por lo tanto, ambos métodos conducen a la igualdad de y . Sin embargo, en la teoría de la relatividad, la constancia de la velocidad de la luz en todos los marcos inerciales en relación con la relatividad de la simultaneidad y la dilatación del tiempo destruye esta igualdad. En el primer método, un observador en un marco afirma haber medido los puntos finales del objeto simultáneamente, pero los observadores en todos los demás marcos inerciales argumentarán que los puntos finales del objeto no se midieron simultáneamente. En el segundo método, los tiempos y no son iguales debido a la dilatación del tiempo, resultando también en diferentes longitudes.
La desviación entre las medidas en todos los marcos inerciales viene dada por las fórmulas para la transformación de Lorentz y la dilatación del tiempo (ver Derivación ). Resulta que la longitud adecuada permanece sin cambios y siempre denota la mayor longitud de un objeto, y la longitud del mismo objeto medida en otro marco de referencia inercial es más corta que la longitud adecuada. Esta contracción solo ocurre a lo largo de la línea de movimiento y puede ser representada por la relación
dónde
- L es la longitud observada por un observador en movimiento en relación con el objeto
- L 0 es la longitud adecuada (la longitud del objeto en su marco de descanso)
- γ ( v ) es el factor de Lorentz , definido como
- dónde
- v es la velocidad relativa entre el observador y el objeto en movimiento
- c es la velocidad de la luz
Reemplazar el factor de Lorentz en la fórmula original conduce a la relación
En esta ecuación, tanto L como L 0 se miden en paralelo a la línea de movimiento del objeto. Para el observador en movimiento relativo, la longitud del objeto se mide restando las distancias medidas simultáneamente de ambos extremos del objeto. Para conversiones más generales, consulte las transformaciones de Lorentz . Un observador en reposo observando un objeto que viaja muy cerca de la velocidad de la luz observaría que la longitud del objeto en la dirección del movimiento es muy cercana a cero.
Entonces, a una velocidad de 13,400,000 m / s (30 millones de mph, 0.0447 c ), la longitud contraída es el 99.9% de la longitud en reposo; a una velocidad de 42,300,000 m / s (95 millones de mph, 0.141 c ), la longitud sigue siendo del 99%. A medida que la magnitud de la velocidad se acerca a la velocidad de la luz, el efecto se vuelve prominente.
Simetría
El principio de relatividad (según el cual las leyes de la naturaleza son invariantes en los marcos de referencia inerciales) requiere que la contracción de la longitud sea simétrica: si una barra descansa en el marco inercial S, tiene su longitud adecuada en S y su longitud se contrae en S ' . Sin embargo, si una barra descansa en S ', tiene su longitud adecuada en S' y su longitud se contrae en S. Esto se puede ilustrar vívidamente usando diagramas de Minkowski simétricos , porque la transformación de Lorentz corresponde geométricamente a una rotación en el espacio - tiempo de cuatro dimensiones. . [9] [10]
Fuerzas magnéticas
Las fuerzas magnéticas son causadas por la contracción relativista cuando los electrones se mueven en relación con los núcleos atómicos. La fuerza magnética sobre una carga en movimiento junto a un cable portador de corriente es el resultado del movimiento relativista entre electrones y protones. [11] [12]
En 1820, André-Marie Ampère demostró que los cables paralelos que tienen corrientes en la misma dirección se atraen entre sí. Para los electrones, el cable se contrae ligeramente, lo que hace que los protones del cable opuesto sean localmente más densos . Como los electrones en el cable opuesto también se mueven, no se contraen (tanto). Esto da como resultado un aparente desequilibrio local entre electrones y protones; los electrones en movimiento en un cable son atraídos por los protones adicionales en el otro. También se puede considerar lo contrario. Para el marco de referencia del protón estático, los electrones se mueven y contraen, lo que resulta en el mismo desequilibrio. La velocidad de deriva de los electrones es relativamente muy lenta, del orden de un metro por hora, pero la fuerza entre un electrón y un protón es tan enorme que incluso a esta velocidad muy lenta, la contracción relativista produce efectos significativos.
Este efecto también se aplica a las partículas magnéticas sin corriente, y la corriente se reemplaza por el espín del electrón. [ cita requerida ]
Verificaciones experimentales
Cualquier observador que se mueva conjuntamente con el objeto observado no puede medir la contracción del objeto, porque puede juzgarse a sí mismo y al objeto como en reposo en el mismo marco inercial de acuerdo con el principio de relatividad (como lo demostró el experimento de Trouton-Rankine ) . Por lo tanto, la contracción de la longitud no se puede medir en el marco de reposo del objeto, sino solo en un marco en el que el objeto observado está en movimiento. Además, incluso en un marco sin co-movimiento de este tipo, las confirmaciones experimentales directas de la contracción de la longitud son difíciles de lograr, porque en el estado actual de la tecnología, los objetos de extensión considerable no pueden acelerarse a velocidades relativistas. Y los únicos objetos que viajan con la velocidad requerida son las partículas atómicas, pero cuyas extensiones espaciales son demasiado pequeñas para permitir una medición directa de la contracción.
Sin embargo, hay confirmaciones indirectas de este efecto en un marco que no se mueve conjuntamente:
- Fue el resultado negativo de un experimento famoso, que requirió la introducción de la contracción de la longitud: el experimento de Michelson-Morley (y más tarde también el experimento de Kennedy-Thorndike ). En relatividad especial su explicación es la siguiente: En su marco de reposo, el interferómetro puede considerarse en reposo de acuerdo con el principio de relatividad, por lo que el tiempo de propagación de la luz es el mismo en todas las direcciones. Aunque en un marco en el que el interferómetro está en movimiento, el haz transversal debe atravesar una trayectoria diagonal más larga con respecto al marco que no se mueve, lo que hace que su tiempo de viaje sea más largo, el factor por el cual el haz longitudinal se retrasaría tomando tiempos. L / (cv) y L / (c + v) para los viajes hacia adelante y hacia atrás, respectivamente, es incluso más largo. Por lo tanto, en la dirección longitudinal se supone que el interferómetro está contraído, para restablecer la igualdad de ambos tiempos de viaje de acuerdo con los resultados experimentales negativos. Por tanto, la velocidad bidireccional de la luz permanece constante y el tiempo de propagación de ida y vuelta a lo largo de los brazos perpendiculares del interferómetro es independiente de su movimiento y orientación.
- Dado el grosor de la atmósfera medido en el marco de referencia de la Tierra, la vida extremadamente corta de los muones no debería permitirles hacer el viaje a la superficie, incluso a la velocidad de la luz, pero de todos modos lo hacen. Sin embargo, desde el marco de referencia de la Tierra, esto solo es posible porque el tiempo del muón se ralentiza por la dilatación del tiempo . Sin embargo, en el marco del muón, el efecto se explica por la contracción de la atmósfera, lo que acorta el viaje. [13]
- Los iones pesados que son esféricos cuando están en reposo deben asumir la forma de "panqueques" o discos planos cuando viajan casi a la velocidad de la luz. Y de hecho, los resultados obtenidos de las colisiones de partículas solo pueden explicarse cuando se considera el aumento de la densidad de nucleones debido a la contracción de la longitud. [14] [15] [16]
- La capacidad de ionización de partículas cargadas eléctricamente con grandes velocidades relativas es mayor de lo esperado. En la física prerrelativista, la capacidad debería disminuir a altas velocidades, porque el tiempo en el que las partículas ionizantes en movimiento pueden interactuar con los electrones de otros átomos o moléculas disminuye. Aunque en relatividad, la capacidad de ionización más alta de la esperada se puede explicar por la contracción de la longitud del campo de Coulomb en marcos en los que las partículas ionizantes se mueven, lo que aumenta la intensidad de su campo eléctrico normal a la línea de movimiento. [13] [17]
- En los sincrotrones y los láseres de electrones libres , se inyectaban electrones relativistas en un ondulador , de modo que se generaba radiación de sincrotrón . En el marco adecuado de los electrones, el ondulador se contrae, lo que conduce a un aumento de la frecuencia de radiación. Además, para averiguar la frecuencia medida en el marco del laboratorio, es necesario aplicar el efecto Doppler relativista . Entonces, solo con la ayuda de la contracción de la longitud y el efecto Doppler relativista, se puede explicar la longitud de onda extremadamente pequeña de la radiación onduladora. [18] [19]
Realidad de la contracción de la longitud
En 1911 Vladimir Varićak afirmó que uno ve la contracción de la longitud de una manera objetiva, según Lorentz, mientras que es "solo un fenómeno aparente y subjetivo, causado por la forma de nuestra regulación del reloj y la medición de la longitud", según Einstein. [20] [21] Einstein publicó una refutación:
El autor declaró injustificadamente una diferencia entre la opinión de Lorentz y la mía con respecto a los hechos físicos . La pregunta de si la contracción de la longitud realmente existe o no es engañosa. No existe "realmente", en la medida en que no existe para un observador comanditario; aunque "realmente" existe, es decir , de tal manera que podría ser demostrado en principio por medios físicos por un observador no comanditario. [22]
- Albert Einstein, 1911
Einstein también argumentó en ese documento, que la contracción de la longitud no es simplemente el producto de definiciones arbitrarias sobre la forma en que se realizan las regulaciones del reloj y las medidas de longitud. Presentó el siguiente experimento mental: Sean A'B 'y A "B" los puntos finales de dos varillas de la misma longitud adecuada L 0 , medidas en x' y x "respectivamente. Deje que se muevan en direcciones opuestas a lo largo de la x * eje, considerado en reposo, a la misma velocidad con respecto a él. Los extremos A'A "luego se encuentran en el punto A *, y B'B" se encuentran en el punto B *. Einstein señaló que la longitud A * B * es más corta que A'B 'o A "B", lo que también puede demostrarse poniendo una de las varillas en reposo con respecto a ese eje. [22]
Paradojas
Debido a la aplicación superficial de la fórmula de contracción pueden ocurrir algunas paradojas. Algunos ejemplos son la paradoja de la escalera y la paradoja de la nave espacial de Bell . Sin embargo, esas paradojas pueden resolverse mediante una correcta aplicación de la relatividad de la simultaneidad. Otra famosa paradoja es la paradoja de Ehrenfest , que prueba que el concepto de cuerpos rígidos no es compatible con la relatividad, reduciendo la aplicabilidad de la rigidez de Born y mostrando que para un observador co-rotativo la geometría es de hecho no euclidiana .
Efectos visuales
La contracción de longitud se refiere a las mediciones de posición realizadas en momentos simultáneos de acuerdo con un sistema de coordenadas. Esto podría sugerir que si uno pudiera tomar una fotografía de un objeto que se mueve rápidamente, la imagen mostraría el objeto contraído en la dirección del movimiento. Sin embargo, tales efectos visuales son medidas completamente diferentes, ya que dicha fotografía se toma desde la distancia, mientras que la contracción de la longitud solo se puede medir directamente en la ubicación exacta de los puntos finales del objeto. Varios autores, como Roger Penrose y James Terrell, demostraron que los objetos en movimiento generalmente no aparecen como longitud contraída en una fotografía. [23] Este resultado fue popularizado por Victor Weisskopf en un artículo de Physics Today. [24] Por ejemplo, para un diámetro angular pequeño, una esfera en movimiento permanece circular y gira. [25] Este tipo de efecto de rotación visual se llama rotación Penrose-Terrell. [26]
Derivación
La contracción de la longitud se puede derivar de varias formas:
Longitud de movimiento conocida
En un sistema de referencia inercial S, y Denotará los puntos finales de un objeto en movimiento en este marco. Allí, su longitud se midió de acuerdo con la convención anterior determinando las posiciones simultáneas de sus puntos finales en . Ahora, la longitud adecuada de este objeto en S 'se calculará utilizando la transformación de Lorentz. Transformar las coordenadas de tiempo de S a S 'da como resultado tiempos diferentes, pero esto no es problemático, ya que el objeto está en reposo en S' donde no importa cuándo se miden los puntos finales. Por tanto, la transformación de las coordenadas espaciales es suficiente, lo que da: [7]
Desde , y estableciendo y , la longitud adecuada en S 'viene dada por
con respecto al cual la longitud medida en S se contrae por
Según el principio de relatividad, los objetos que están en reposo en S también deben contraerse en S '. Al intercambiar los signos y primos anteriores simétricamente, sigue:
Por tanto, la longitud contraída medida en S 'viene dada por:
Longitud adecuada conocida
Por el contrario, si el objeto descansa en S y se conoce su longitud adecuada, la simultaneidad de las mediciones en los puntos finales del objeto debe considerarse en otro marco S ', ya que el objeto cambia constantemente de posición allí. Por tanto, tanto las coordenadas espaciales como las temporales deben transformarse: [27]
Intervalo de longitud de cálculo además de asumir una medición de tiempo simultánea , y conectando la longitud adecuada , sigue:
La ecuación (2) da
que, cuando se conecta a (1), demuestra que se convierte en la longitud contraída :
- .
Asimismo, el mismo método da un resultado simétrico para un objeto en reposo en S ':
- .
Usando dilatación del tiempo
La contracción de la longitud también se puede derivar de la dilatación del tiempo , [28] según la cual la frecuencia de un solo reloj "en movimiento" (que indica su tiempo ) es menor con respecto a dos relojes "en reposo" sincronizados (que indica ). La dilatación del tiempo se confirmó experimentalmente varias veces y está representada por la relación:
Suponga una varilla de la longitud adecuada en reposo en y un reloj en reposo en se mueven uno junto al otro con velocidad . Dado que, de acuerdo con el principio de relatividad, la magnitud de la velocidad relativa es la misma en cualquier marco de referencia, los tiempos de viaje respectivos del reloj entre los puntos finales de la varilla están dados por en y en , por lo tanto y . Al insertar la fórmula de dilatación del tiempo, la relación entre esas longitudes es:
- .
Por lo tanto, la longitud medida en es dado por
Entonces, dado que el tiempo de viaje del reloj a través de la varilla es más largo en que en (dilatación del tiempo en ), la longitud de la varilla también es mayor en que en (contracción de la longitud en ). Del mismo modo, si el reloj estuviera en reposo en y la vara en , el procedimiento anterior daría
Consideraciones geométricas
Consideraciones geométricas adicionales muestran que la contracción de la longitud se puede considerar como un fenómeno trigonométrico , con una analogía con los cortes paralelos a través de un cuboide antes y después de una rotación en E 3 (ver la mitad de la figura izquierda a la derecha). Este es el análogo euclidiano de impulsar un cuboide en E 1,2 . En el último caso, sin embargo, podemos interpretar el cuboide reforzado como la losa del mundo de una placa en movimiento.
Imagen : Izquierda: un cuboide girado en el espacio euclidiano tridimensional E 3 . La sección transversal es más larga en la dirección de rotación que antes de la rotación. Derecha: la losa del mundo de una placa delgada en movimiento en el espacio-tiempo de Minkowski (con una dimensión espacial suprimida) E 1,2 , que es un cuboide reforzado . La sección transversal es más delgada en la dirección del impulso que antes del impulso. En ambos casos, las direcciones transversales no se ven afectadas y los tres planos que se encuentran en cada esquina de los cuboides son mutuamente ortogonales (en el sentido de E 1,2 a la derecha y en el sentido de E 3 a la izquierda).
En la relatividad especial, las transformaciones de Poincaré son una clase de transformaciones afines que pueden caracterizarse como las transformaciones entre gráficos de coordenadas cartesianos alternativos en el espacio-tiempo de Minkowski correspondientes a estados alternativos de movimiento inercial (y diferentes elecciones de un origen ). Las transformaciones de Lorentz son transformaciones de Poincaré que son transformaciones lineales (preservan el origen). Las transformaciones de Lorentz juegan el mismo papel en la geometría de Minkowski (el grupo de Lorentz forma el grupo de isotropía de las autoisometrías del espacio-tiempo) que son desempeñadas por rotaciones en la geometría euclidiana. De hecho, la relatividad especial se reduce en gran medida al estudio de una especie de trigonometría no euclidiana en el espacio-tiempo de Minkowski, como sugiere la siguiente tabla:
Trigonometría | Circular | Parabólico | Hiperbólico |
---|---|---|---|
Geometría kleiniana | Plano euclidiano | Avión galileo | Avión de Minkowski |
Símbolo | E 2 | E 0,1 | E 1,1 |
Forma cuadrática | Positivo definitivo | Degenerar | No degenerado pero indefinido |
Grupo de isometría | E (2) | E (0,1) | E (1,1) |
Grupo de isotropía | ASÍ (2) | ASÍ (0,1) | ASÍ (1,1) |
Tipo de isotropía | Rotaciones | Tijeras | Impulsos |
Álgebra sobre R | Números complejos | Números duales | Números complejos divididos |
ε 2 | −1 | 0 | 1 |
Interpretación del espacio-tiempo | Ninguno | Espacio-tiempo newtoniano | Espacio-tiempo de Minkowski |
Pendiente | tan φ = m | tanp φ = u | tanh φ = v |
"coseno" | cos φ = (1 + m 2 ) −1/2 | cosp φ = 1 | cosh φ = (1 - v 2 ) −1/2 |
"seno" | sin φ = m (1 + m 2 ) −1/2 | sinp φ = u | sinh φ = v (1 - v 2 ) −1/2 |
"secante" | seg φ = (1 + m 2 ) 1/2 | secp φ = 1 | sech φ = (1 - v 2 ) 1/2 |
"cosecante" | csc φ = m −1 (1 + m 2 ) 1/2 | cscp φ = u −1 | csch φ = v −1 (1 - v 2 ) 1/2 |
Referencias
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enlaces externos
- Preguntas frecuentes sobre física: ¿Puede ver la contracción de Lorentz-Fitzgerald? O: Rotación Penrose-Terrell ; El granero y el poste