Bornología
En matemáticas , especialmente en el análisis funcional , una bornología en un conjunto X es una colección de subconjuntos de X que satisfacen axiomas que generalizan la noción de delimitación . Una de las motivaciones clave detrás de las bornologías y el análisis bornológico es el hecho de que los espacios bornológicos proporcionan un escenario conveniente para el álgebra homológica en el análisis funcional. Esto se debe a que [1] pág. 9 la categoría de espacios bornológicos es aditiva, completa , cocompleta y tiene un producto tensorial adjunto a un hom interno, todos los componentes necesarios para el álgebra homológica.
en cuyo caso el par ( X , ℬ) se denomina estructura acotada o conjunto bornológico . [2] Los elementos de ℬ se denominan conjuntos delimitados por ℬ o simplemente conjuntos delimitados , si se entiende por ℬ. A 𝒜 subconjunto de un ℬ bornology se llama una base de o sistema fundamental de ℬ si para cada B ∈ ℬ, existe una A ∈ 𝒜 tal que B ⊆ A . Un subconjunto 𝒮 de una bornología ℬ se denomina subbase de ℬ si la colección de todas las uniones finitas de conjuntos en 𝒮 forma una base para ℬ. [2]
Si 𝒜 y ℬ son bornologías en X, entonces decimos que ℬ es más fino o más fuerte que 𝒜 y que 𝒜 es más grueso o más débil que ℬ si 𝒜 ⊆ ℬ. [2]
Si ( X , ℬ) es una estructura acotada y X ∉ ℬ, entonces el conjunto de complementos { X \ B : B ∈ ℬ} es un filtro (que tiene una intersección vacía) llamado filtro en el infinito . [2]
Dada una colección 𝒮 de subconjuntos de X , la bornología más pequeña que contiene 𝒮 se llama bornología generada por 𝒮 . [2] Si f : S → X es un mapa y ℬ es un bornology en X , entonces denotamos la bornology generada por por y lo llamamos el bornology imagen inversa o la bornology inicial inducida por f en S . [2]
![{\ Displaystyle \ left [f ^ {- 1} \ left ({\ mathcal {B}} \ right) \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf25a47997ba812d8b047f2175bc2874ec0aa20b)
Suponga que ( X , 𝒜) y ( Y , ℬ) son estructuras acotadas. Un mapa f : X → Y se llama acotado localmente o simplemente acotado si la imagen debajo de f de cada conjunto acotado por 𝒜 es un conjunto acotado por ℬ; es decir, si para todo A ∈ 𝒜, f ( A ) ∈ ℬ. [2]