En matemáticas , particularmente en el análisis funcional , un espacio bornológico es un tipo de espacio que, en cierto sentido, posee la cantidad mínima de estructura necesaria para abordar cuestiones de delimitación de conjuntos y mapas lineales , de la misma manera que un espacio topológico posee la cantidad mínima de estructura necesaria para abordar cuestiones de continuidad . Los espacios bornológicos se distinguen por la propiedad de que un mapa lineal desde un espacio bornológico a cualquier espacio localmente convexo es continuo si y solo si es un operador lineal acotado .
Los espacios bornológicos fueron estudiados por primera vez por Mackey . El nombre fue acuñado por Bourbaki después de borné , la palabra francesa para " acotado ".
Bornologías y mapas acotados
Una bornología en un plató es una colección de subconjuntos de que cumplan todas las condiciones siguientes:
- cubre es decir, ;
- es estable bajo inclusiones; eso es, si y luego ;
- es estable bajo uniones finitas; eso es, si luego ;
Elementos de la colección son llamados -conjuntos acotados o simplemente acotados siestá entendido. El parse llama estructura acotada o conjunto bornológico .
Una base o sistema fundamental de una bornología es un subconjunto de tal que cada elemento de es un subconjunto de algún elemento de Dada una colección de subconjuntos de la bornología más pequeña que contiene se llama bornología generada por[1]
Si y son conjuntos bornológicos, entonces su producto bornología en es la bornología que tiene como base la colección de todos los conjuntos de la forma dónde y [1] Un subconjunto de está limitada en la bornología del producto si y sólo si su imagen bajo las proyecciones canónicas sobre y ambos están delimitados.
Mapas delimitados
Si y son conjuntos bornológicos entonces una función se dice que es un mapa delimitado localmente o un mapa delimitado (con respecto a estas bornologías) si mapea-subconjuntos delimitados de a -subconjuntos delimitados de eso es, si [1] Si además es una biyección y también está acotado entonces se llama isomorfismo bornológico .
Bornologías vectoriales
Dejar ser un espacio vectorial sobre un campo dónde tiene una bornología Una bornología en se llama bornología vectorial ensi es estable bajo la suma de vectores, la multiplicación escalar y la formación de cascos equilibrados (es decir, si la suma de dos conjuntos acotados está acotada, etc.).
Si es un espacio vectorial topológico (TVS) y es una bornología en Entonces los siguientes son equivalentes:
- es una bornología vectorial;
- Sumas finitas y cascos equilibrados de -los conjuntos delimitados son -encerrado; [2]
- El mapa de multiplicación escalar definido por y el mapa de sumas definido por ambos están limitados cuando sus dominios llevan sus bornologías de producto (es decir, mapean subconjuntos limitados a subconjuntos limitados). [2]
Una bornología vectorial se llama bornología vectorial convexa si es estable bajo la formación de cascos convexos (es decir, el casco convexo de un conjunto acotado está acotado) entonces Y una bornología vectorial se llama separado si el único subespacio vectorial acotado de es el espacio trivial de 0 dimensiones
Por lo general, son los números reales o complejos, en cuyo caso una bornología vectorial en se llamará bornología vectorial convexa siTiene una base formada por conjuntos convexos .
Subconjuntos de bornívoros
Un subconjunto de se llama bornívoro y bornívoro si absorbe todos los conjuntos delimitados.
En una bornología vectorial, es bornívoro si absorbe cada conjunto equilibrado acotado y en una bornología vectorial convexa es bornívoro si absorbe todos los discos acotados.
Dos topologías TVS en el mismo espacio vectorial tienen los mismos subconjuntos acotados si y solo si tienen los mismos bornívoros. [3]
Cada subconjunto bornívoro de un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo es una vecindad del origen. [4]
Convergencia Mackey
Una secuencia en un televisor se dice que es Mackey convergente a si existe una secuencia de números reales positivos divergiendo a tal que converge a en [5]
Bornología de un espacio vectorial topológico
Cada espacio vectorial topológico al menos en un campo de valor no discreto da una bornología en definiendo un subconjunto estar acotado (o acotado de von-Neumann), si y solo si para todos los conjuntos abiertos conteniendo cero existe un con Si es un espacio vectorial topológico localmente convexo , entonces está acotado si y sólo si todas las semi-normas continuas en están limitados a
El conjunto de todos los subconjuntos acotados de un espacio vectorial topológico.se llama la bornology o la bornology von Neumann de
Si es un espacio vectorial topológico localmente convexo , luego un disco absorbente en es bornívoro (resp. infrabornívoro) si y sólo si su funcional de Minkowski está delimitado localmente (resp. infrabounded). [4]
Topología inducida
Si es una bornología vectorial convexa en un espacio vectorial luego la colección de todos los subconjuntos balanceados convexos deque son bornívoros forman una base de vecindad en el origen de una topología convexa local enllamado la topología inducida por. [4]
Si es un TVS entonces el espacio bornológico asociado con es el espacio vectorial dotado de la topología localmente convexa inducida por la bornología de von Neumann de [4]
Teorema [4] - Sea y ser TVS localmente convexos y dejar denotar dotado de la topología inducida por la bornología de von Neumann de Definir similar. Luego un mapa lineal es un operador lineal acotado si y solo si es continuo.
Además, si es bornológico, es Hausdorff, y es un mapa lineal continuo, entonces también lo es Si además es también ultrabornológico, entonces la continuidad de implica la continuidad de dónde es el espacio ultrabornológico asociado a
Espacios bornológicos
En el análisis funcional, un espacio vectorial topológico localmente convexo es un espacio bornológico si su topología se puede recuperar de su bornología de forma natural.
Espacios cuasi-bornológicos
Los espacios cuasi-bornológicos fueron introducidos por S. Iyahen en 1968. [6]
Un espacio vectorial topológico (TVS)con un dual continuo se denomina espacio cuasi-bornológico [6] si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Cada operador lineal acotado deen otro TVS es continuo . [6]
- Cada operador lineal acotado de en un TVS completamente metrizable es continuo. [6] [7]
- Cada nudo en una cuerda bornívora es una vecindad del origen. [6]
Cada TVS pseudometrizable es cuasi-bornológico. [6] Un televisoren el que todo conjunto bornívoro es un barrio del origen es un espacio cuasi-bornológico. [8] Si es un TVS cuasi-bornológico, entonces la mejor topología convexa local en que es más tosco que hace en un espacio bornológico localmente convexo.
Espacio bornológico
Nótese que todo espacio cuasi-bornológico localmente convexo es bornológico, pero existen espacios bornológicos que no son cuasi bornológicos. [6]
Un espacio vectorial topológico (TVS)con un dual continuo se denomina espacio bornológico si es localmente convexo y se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Cada conjunto convexo, equilibrado y bornívoro en es una vecindad de cero. [4]
- Cada operador lineal acotado deen un TVS localmente convexo es continuo . [4]
- Recuerde que un mapa lineal está acotado si y solo si mapea cualquier secuencia que converja a en el dominio a un subconjunto acotado del codominio. [4] En particular, cualquier mapa lineal que sea secuencialmente continuo en el origen está acotado.
- Cada operador lineal acotado de en un espacio seminormado es continuo. [4]
- Cada operador lineal acotado de en un espacio de Banach es continuo. [4]
Si es un espacio localmente convexo de Hausdorff , entonces podemos agregar a esta lista: [7]
- La topología localmente convexa inducida por la bornología de von Neumann en es lo mismo que topología dada.
- Cada seminario limitado enes continuo. [4]
- Cualquier otra topología de espacio vectorial topológico localmente convexo de Hausdorff en que tiene la misma bornología (von-Neumann) que es necesariamente más tosco que
- es el límite inductivo de los espacios normativos. [4]
- es el límite inductivo de los espacios normativos como varía sobre los discos cerrados y acotados de (o como varía sobre los discos acotados de ). [4]
- lleva la topología Mackey y todos los funcionales lineales acotados en son continuos. [4]
- tiene las dos propiedades siguientes:
- es convexo-secuencial o C-secuencial , lo que significa que cada subconjunto abierto secuencialmente convexo de Esta abierto,
- es secuencialmente bornológico o S-bornológico , lo que significa que cada subconjunto convexo y bornívoro de está abierto secuencialmente.
Todo operador lineal secuencialmente continuo desde un espacio bornológico localmente convexo a un TVS localmente convexo es continuo, [4] donde recordemos que un operador lineal es secuencialmente continuo si y sólo si es secuencialmente continuo en el origen. Así, para mapas lineales desde un espacio bornológico a un espacio localmente convexo, la continuidad es equivalente a la continuidad secuencial en el origen. De manera más general, incluso tenemos lo siguiente:
- Cualquier mapa lineal de un espacio bornológico localmente convexo a un espacio localmente convexo que mapea secuencias nulas en a subconjuntos acotados de es necesariamente continuo.
Condiciones suficientes
Teorema de Mackey-Ulam [9] - El producto de una colección Los espacios bornológicos localmente convexos son bornológicos si y sólo si no no admitir una medida Ulam .
Como consecuencia del teorema de Mackey-Ulam, "para todos los propósitos prácticos, el producto de los espacios bornológicos es bornológico". [9]
Los siguientes espacios vectoriales topológicos son todos bornológicos:
- Cualquier TVS pseudometrizable localmente convexo es bornológico. [4] [10]
- Así, todo espacio normado y espacio Fréchet es bornológico.
- Cualquier espacio LF estricto es bornológico.
- Esto demuestra que hay espacios bornológicos que no son metrizables.
- Un producto contable de los espacios bornológicos localmente convexos es el bornológico. [11] [10]
- Los cocientes de espacios bornológicos localmente convexos de Hausdorff son bornológicos. [10]
- La suma directa y el límite inductivo de los espacios bornológicos localmente convexos de Hausdorff son bornológicos. [10]
- Los espacios de Fréchet Montel tienen fuertes duales bornológicos .
- El fuerte dual de todo espacio reflexivo de Fréchet es bornológico. [12]
- Si el dual fuerte de un espacio localmente convexo metrizable es separable , entonces es bornológico. [12]
- Un subespacio vectorial de un espacio bornológico localmente convexo de Hausdorff que tiene codimensión finita en es bornológico. [4] [10]
- La topología localmente convexa más fina en un espacio vectorial es bornológica. [4]
- Ejemplos de contador
Existe un LB-espacio bornológico cuyo fuerte bidual no es bornológico. [13]
Un subespacio vectorial cerrado de un espacio bornológico localmente convexo no es necesariamente bornológico. [4] [14] Existe un subespacio vectorial cerrado de un espacio bornológico localmente convexo que es completo (y por tanto secuencialmente completo) pero que no tiene barril ni bornológico. [4]
Bornological espacios no tienen que ser barreled y espacios de cañón no tienen que ser bornological. [4] Debido a que todo espacio ultrabornológico localmente convexo tiene un barril, [4] se deduce que un espacio bornológico no es necesariamente ultrabornológico.
Propiedades
- El fuerte espacio dual de un espacio bornológico localmente convexo está completo . [4]
- Cada espacio bornológico localmente convexo está infrabarricado . [4]
- Cada TVS bornológico secuencialmente completo de Hausdorff es ultrabornológico . [4]
- Así, cada competir Hausdorff espacio bornological es ultrabornological.
- En particular, cada espacio de Fréchet es ultrabornológico. [4]
- El producto finito de los espacios ultrabornológicos localmente convexos es ultrabornológico. [4]
- Cada espacio bornológico de Hausdorff tiene casi barriles . [15]
- Dado un espacio borológico con doble continuo la topología de coincide con la topología de Mackey
- En particular, los espacios bornológicos son espacios Mackey .
- Todo espacio bornológico cuasi-completo (es decir, todos los subconjuntos cerrados y acotados son completos) es barril . Existen, sin embargo, espacios bornológicos que no tienen cañón.
- Todo espacio bornológico es el límite inductivo de los espacios normativos (y espacios de Banach si el espacio también es cuasi completo).
- Dejar ser un espacio localmente convexo metrizable con doble continuo Entonces los siguientes son equivalentes:
- es bornológico.
- es cuasi-cañón .
- tiene cañón .
- es un espacio distinguido .
- Si es un mapa lineal entre espacios localmente convexos y si es bornológico, entonces los siguientes son equivalentes:
- es continuo.
- es secuencialmente continuo. [4]
- Para cada set eso está limitado en está ligado.
- Si es una secuencia nula en luego es una secuencia nula en
- Si es una secuencia nula convergente de Mackey en luego es un subconjunto acotado de
- Suponer que y son TVS localmente convexos y que el espacio de mapas lineales continuosestá dotado de la topología de convergencia uniforme en subconjuntos acotados de Si es un espacio bornológico y si está completo entonceses un televisor completo. [4]
- En particular, el fuerte dual de un espacio bornológico localmente convexo está completo. [4] Sin embargo, no es necesario que sea bornológico.
- Subconjuntos
- En un espacio bornológico localmente convexo, cada conjunto bornívoro convexo es un barrio de (no es necesario que sea un disco). [4]
- Cada subconjunto bornívoro de un espacio vectorial topológico metrizable localmente convexo es una vecindad del origen. [4]
- Los subespacios vectoriales cerrados del espacio bornológico no necesitan ser bornológicos. [4]
Espacios ultrabornológicos
Un disco en un espacio vectorial topológico se llama infrabornívoro si absorbe todos los discos de Banach .
Si es localmente convexo y Hausdorff, entonces un disco es infrabornívoro si y solo si absorbe todos los discos compactos.
Un espacio localmente convexo se denomina ultrabornológico si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
- Cada disco infrabornívoro es una vecindad del origen.
- es el límite inductivo de los espacios como varía en todos los discos compactos en
- Un seminorma en que está acotado en cada disco de Banach es necesariamente continuo.
- Por cada espacio localmente convexo y cada mapa lineal Si está delimitado en cada disco de Banach, entonces es continuo.
- Para cada espacio de Banach y cada mapa lineal Si está delimitado en cada disco de Banach, entonces es continuo.
Propiedades
El producto finito de los espacios ultrabornológicos es ultrabornológico. Los límites inductivos de los espacios ultrabornológicos son ultrabornológicos.
Ver también
- Bornología : concepto matemático que generaliza la delimitación.
- Conjunto bornívoro : un conjunto que puede absorber cualquier subconjunto acotado
- Conjunto acotado (espacio vectorial topológico)
- Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial con una topología definida por conjuntos abiertos convexos
- Espacio de mapas lineales
- Espacio vectorial topológico: espacio vectorial con una noción de proximidad
- Bornología vectorial
Referencias
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