En matemáticas , una categoría completa es una categoría en la que existen todos los límites pequeños . Esto es, una categoría C es completo si cada diagrama F : J → C (donde J es pequeño ) tiene un límite en C . Doblemente , una categoría cocompleta es aquella en la que existen todos los colimits pequeños . Una categoría bicompleta es una categoría que es tanto completa como cocompleta.
La existencia de todos los límites (incluso cuando J es una clase adecuada ) es demasiado fuerte para ser relevante en la práctica. Cualquier categoría con esta propiedad es necesariamente una categoría delgada : para dos objetos cualesquiera puede haber como máximo un morfismo de un objeto a otro.
Una forma más débil de completitud es la completitud finita. Una categoría es finitamente completa si existen todos los límites finitos (es decir, límites de diagramas indexados por una categoría finita J ). Doblemente, una categoría es finitamente cocompleta si existen todos los colímites finitos.
Teoremas
Se deduce de las teorema de existencia de límites que una categoría es completa si y sólo si tiene ecualizadores (de todos los pares de morfismos) y todos los (pequeños) productos . Dado que los ecualizadores pueden construirse a partir de retrocesos y productos binarios (considere el retroceso de ( f , g ) a lo largo de la diagonal Δ), una categoría está completa si y solo si tiene retrocesos y productos.
Doblemente, una categoría es cocompleta si y solo si tiene coequalizadores y todos los coproductos (pequeños) o, de manera equivalente, expulsiones y coproductos.
La completitud finita se puede caracterizar de varias formas. Para una categoría C , los siguientes son todos equivalentes:
- C es finitamente completo,
- C tiene ecualizadores y todos los productos finitos,
- C tiene ecualizadores, productos binarios y un objeto terminal ,
- C tiene retrocesos y un objeto terminal.
Las declaraciones duales también son equivalentes.
Una pequeña categoría C está completa si y solo si está cocompleta. [1] Una pequeña categoría completa es necesariamente delgada.
Una categoría posetal tiene vacíos todos los ecualizadores y coequalizadores, de donde es (finitamente) completa si y sólo si tiene todos los productos (finitos), y doblemente para cocompletar. Sin la restricción de finitud, una categoría posetal con todos los productos se cocompleta automáticamente, y dualmente, por un teorema sobre retículas completas.
Ejemplos y no ejemplos
- Las siguientes categorías son bicompletas:
- Conjunto , la categoría de conjuntos
- Top , la categoría de espacios topológicos
- Grp , la categoría de grupos
- Ab , la categoría de grupos abelianos
- Ring , la categoría de anillos
- K -Vect , la categoría de espacios vectoriales sobre un campo K
- R -Mod , la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo R
- CmptH , la categoría de todos los espacios compactos de Hausdorff
- Gato , la categoría de todas las categorías pequeñas.
- Whl , la categoría de ruedas
- sSet , la categoría de conjuntos simpliciales [2]
- Las siguientes categorías son finitamente completas y finitamente cocompletas, pero no completas ni cocompletas:
- La categoría de conjuntos finitos
- La categoría de grupos abelianos finitos
- La categoría de espacios vectoriales de dimensión finita
- Cualquier categoría ( pre ) abeliana es finitamente completa y finitamente cocompleta.
- La categoría de celosías completas es completa pero no cocompleta.
- La categoría de espacios métricos , Met , es finitamente completa pero no tiene coproductos binarios ni productos infinitos.
- La categoría de campos , Campo , no es finitamente completa ni finitamente cocompleta.
- Un poset , considerado como una categoría pequeña, está completo (y cocompleto) si y solo si es un enrejado completo .
- La clase parcialmente ordenada de todos los números ordinales es cocompleta pero no completa (ya que no tiene un objeto terminal).
- Un grupo, considerado como una categoría con un solo objeto, está completo si y solo si es trivial . Un grupo no trivial tiene retrocesos y expulsiones, pero no productos, coproductos, ecualizadores, coequalizadores, objetos terminales u objetos iniciales.
Referencias
- ^ Categorías abstractas y concretas, Jiří Adámek, Horst Herrlich y George E. Strecker, teorema 12.7, página 213
- ^ Riehl, Emily (2014). Teoría de la homotopía categórica . Nueva York: Cambridge University Press. pag. 32. ISBN 9781139960083. OCLC 881162803 .
Otras lecturas
- Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Categorías abstractas y concretas (PDF) . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-60922-6.
- Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático que trabaja . Textos de Posgrado en Matemáticas 5 ((2ª ed.) Ed.). Saltador. ISBN 0-387-98403-8.