El modelo de Bose-Hubbard ofrece una descripción de la física de la interacción de los bosones sin espinas en una red . Está estrechamente relacionado con el modelo de Hubbard, que se originó en la física del estado sólido como una descripción aproximada de los sistemas superconductores y el movimiento de los electrones entre los átomos de un sólido cristalino. El modelo fue introducido por primera vez por Gersch y Knollman [1] en 1963 en el contexto de superconductores granulares. (El término ' Bose ' en su nombre se refiere al hecho de que las partículas en el sistema son bosónicas.) El modelo saltó a la fama en la década de 1980 después de que se descubrió que capturaba la esencia de la transición superfluido-aislante de una manera mucho más manejable matemáticamente que los modelos fermiónicos de metal-aislante. [2] [3] [4]
El modelo de Bose-Hubbard se puede utilizar para describir sistemas físicos como los átomos bosónicos en una red óptica , [5] así como ciertos aislantes magnéticos. [6] [7] Además, también se puede generalizar y aplicar a las mezclas de Bose-Fermi, en cuyo caso el hamiltoniano correspondiente se denomina hamiltoniano de Bose-Fermi-Hubbard.
El hamiltoniano
La física de este modelo viene dada por el hamiltoniano de Bose-Hubbard:
.
Aquí, denota la suma de todos los sitios de celosía vecinos y , tiempo y son operadores bosónicos de creación y aniquilación tales que da el número de partículas en el sitio . El modelo está parametrizado por la amplitud de salto. describir la movilidad de los bosones en la red, la interacción en el sitio que puede ser atractivo) o repulsivo (), y el potencial químico , que esencialmente establece el número total de partículas. Si no se especifica, normalmente la frase "modelo Bose-Hubbard" se refiere al caso en el que la interacción in situ es repulsiva.
Este hamiltoniano tiene un simetría, lo que significa que es invariante (es decir, sus propiedades físicas no cambian) por la transformación . En una fase superfluida , esta simetría se rompe espontáneamente .
Espacio Hilbert
La dimensión del espacio de Hilbert del modelo de Bose-Hubbard viene dada por, dónde es el número total de partículas, mientras que denota el número total de sitios de celosía. En fijo o , la dimensión espacial de Hilbert crece polinomialmente, pero a una densidad fija de bosones por sitio, crece exponencialmente a medida que . Se pueden formular hamiltonianos análogos para describir fermiones sin espinas (el modelo de Fermi-Hubbard) o mezclas de diferentes especies de átomos (mezclas de Bose-Fermi, por ejemplo). En el caso de una mezcla, el espacio de Hilbert es simplemente el producto tensorial de los espacios de Hilbert de las especies individuales. Por lo general, es necesario incluir términos adicionales para modelar la interacción entre especies.
Diagrama de fases
A temperatura cero, el modelo de Bose-Hubbard (en ausencia de desorden) se encuentra en un estado de aislamiento de Mott en, o en un estado superfluido en general. [8] Las fases aislantes de Mott se caracterizan por densidades de bosones enteros, por la existencia de una brecha de energía para las excitaciones de los huecos de partículas y por una compresibilidad cero . El superfluido se caracteriza por la coherencia de fase de largo alcance, una ruptura espontánea de la continua hamiltoniana.simetría, una compresibilidad distinta de cero y susceptibilidad superfluida. A temperatura distinta de cero, en ciertos regímenes de parámetros también habrá una fase fluida regular que no rompe elsimetría y no muestra coherencia de fase. Ambas fases se han observado experimentalmente en gases atómicos ultrafríos. [9]
En presencia de desorden, existe una tercera fase , " Bose glass ". [4] El vidrio Bose es una fase de Griffiths y se puede considerar como un aislante Mott que contiene raros "charcos" de superfluido. Estas piscinas superfluidas no están conectadas entre sí, por lo que el sistema permanece aislante, pero su presencia cambia significativamente la termodinámica del modelo. La fase vítrea Bose se caracteriza por una compresibilidad finita, la ausencia de un espacio y una susceptibilidad superfluida infinita . [4] Es aislante a pesar de la ausencia de un hueco, ya que los túneles bajos previenen la generación de excitaciones que, aunque cercanas en energía, están espacialmente separadas. Se ha demostrado que el vidrio Bose tiene un parámetro de orden de Edwards-Anderson distinto de cero [10] [11] y se ha sugerido que muestre una ruptura de simetría de réplica , [12] sin embargo, esto no ha sido probado.
Teoría del campo medio
Las fases del modelo limpio de Bose-Hubbard se pueden describir utilizando un hamiltoniano de campo medio : [13]
Podemos obtener el diagrama de fase calculando la energía de este hamiltoniano de campo medio usando la teoría de perturbación de segundo orden y encontrando la condición para la cual. Para hacer esto, primero escribimos el hamiltoniano como una pieza local del sitio más una perturbación:
Implementación en celosías ópticas
Los átomos ultrafríos en las redes ópticas se consideran una realización estándar del modelo de Bose-Hubbard. La capacidad de ajustar los parámetros del modelo mediante técnicas experimentales simples y la falta de la dinámica de red que está presente en los sistemas electrónicos de estado sólido significa que los átomos ultrafríos ofrecen una realización muy limpia y controlable del modelo Bose-Hubbard. [14] [5] La mayor desventaja de la tecnología de celosía óptica es la vida útil de la trampa, y los átomos normalmente solo quedan atrapados durante unas pocas decenas de segundos.
Para ver por qué los átomos ultrafríos ofrecen una realización tan conveniente de la física de Bose-Hubbard, podemos derivar el hamiltoniano de Bose-Hubbard a partir del segundo hamiltoniano cuantificado que describe un gas de átomos ultrafríos en el potencial de red óptica. Este hamiltoniano viene dado por la expresión:
,
dónde es el potencial de la red óptica, es la amplitud de la interacción (de contacto), y es el potencial químico. La aproximación de unión estricta da como resultado la sustitución lo que conduce al hamiltoniano de Bose-Hubbard si se restringe la física a la banda más baja () y las interacciones son locales al nivel del modo discreto. Matemáticamente, esto se puede afirmar como el requisito de que excepto por el caso . Aquí,es una función de Wannier para una partícula en un potencial de celosía óptica localizado alrededor del sitio de la celosía y para el la banda de Bloch . [15]
Sutilezas y aproximaciones
La aproximación de unión estrecha simplifica significativamente el segundo hamiltoniano cuantificado, aunque introduce varias limitaciones al mismo tiempo:
- Para estados de un solo sitio con varias partículas en un solo estado, las interacciones pueden acoplarse a bandas de Bloch más altas, lo que contradice los supuestos básicos. Aún así, un modelo de banda única es capaz de abordar la física de baja energía de dicho entorno, pero los parámetros U y J se vuelven, de hecho, dependientes de la densidad. En lugar de un parámetro U, la energía de interacción de n partículas puede describirse mediantecerca, pero no igual a U. [15]
- Al considerar la dinámica de celosía (rápida), se deben agregar términos adicionales al hamiltoniano de Bose-Hubbard, de modo que la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se obedezca en la base de la función de Wannier (dependiente del tiempo). Provienen de la dependencia temporal de las funciones de Wannier. [16] [17] De lo contrario, la dinámica de la red puede incorporarse haciendo que los parámetros clave del modelo dependan del tiempo, variando con el valor instantáneo del potencial óptico.
Resultados experimentales
Las transiciones de fase cuántica en el modelo de Bose-Hubbard fueron observadas experimentalmente por Greiner et al., [9] y los parámetros de interacción dependientes de la densidadfueron observados por el grupo de I.Bloch . [18] La obtención de imágenes con resolución de un solo átomo del modelo Bose-Hubbard ha sido posible desde 2009 utilizando microscopios cuánticos de gas. [19] [20] [21]
Otras aplicaciones del modelo
El modelo de Bose-Hubbard también es de interés para quienes trabajan en el campo de la computación cuántica y la información cuántica. El entrelazamiento de átomos ultrafríos se puede estudiar utilizando este modelo. [22]
Simulación numérica
En el cálculo de baja energía se establece el término proporcional a significa que es improbable una gran ocupación de un solo sitio, lo que permite el truncamiento del espacio local de Hilbert a estados que contienen como máximo partículas. Entonces la dimensión del espacio local de Hilbert esLa dimensión del espacio completo de Hilbert crece exponencialmente con el número de sitios en la celosía, por lo tanto, las simulaciones por computadora exactas de todo el espacio de Hilbert se limitan al estudio de sistemas de 15-20 partículas en 15-20 sitios de celosía [ cita requerida ] . Los sistemas experimentales contienen varios millones de sitios de celosía, con un llenado promedio por encima de la unidad [ cita requerida ] .
Las celosías unidimensionales se pueden estudiar utilizando el grupo de renormalización de matriz de densidad (DMRG) y técnicas relacionadas, como la diezma de bloques en evolución en el tiempo (TEBD). Esto incluye calcular el estado fundamental del hamiltoniano para sistemas de miles de partículas en miles de sitios de celosía y simular su dinámica gobernada por la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo . Recientemente, las celosías bidimensionales también se han estudiado utilizando estados de pares entrelazados proyectados, que es una generalización de los estados del producto matricial en dimensiones superiores, tanto para el estado fundamental [23] como para la temperatura finita. [24]
Las dimensiones más altas son significativamente más difíciles debido al rápido crecimiento del enredo . [25]
Todas las dimensiones pueden tratarse mediante algoritmos Quantum Monte Carlo , que proporcionan una forma de estudiar las propiedades de los estados térmicos del hamiltoniano, así como el estado fundamental particular.
Generalizaciones
Los hamiltonianos tipo Bose-Hubbard pueden derivarse para diferentes sistemas físicos que contienen gas atómico ultrafrío en el potencial periódico. Incluyen, pero no se limitan a:
- sistemas con interacciones densidad-densidad de mayor alcance de la forma , que puede estabilizar una fase supersólida para ciertos valores de parámetros
- imanes dimerizados, donde los electrones de espín-1/2 se unen en pares llamados dímeros que tienen estadísticas de excitación bosónica y se describen mediante un modelo de Bose-Hubbard de núcleo duro
- interacción dipolar de largo alcance [26]
- sistemas con términos de tunelización inducidos por interacción [27]
- estructura de espín interno de los átomos, por ejemplo debido a la captura de toda la variedad degenerada de estados de espín hiperfinos (para F = 1 i conduce al modelo de Bose-Hubbard de espín-1) [28]
- situación en la que el gas siente la presencia de un potencial adicional, por ejemplo, para sistemas desordenados. [29] El trastorno se puede realizar mediante un patrón de moteado o mediante el uso de una segunda red óptica inconmensurable y más débil. En el último caso, la inclusión del trastorno equivale a incluir un término adicional de la forma:
Ver también
- Modelo Hubbard
- Modelo de Jaynes-Cummings-Hubbard
Referencias
- ^ Gersch, H .; Knollman, G. (1963). "Modelo de célula cuántica para bosones". Revisión física . 129 (2): 959. Bibcode : 1963PhRv..129..959G . doi : 10.1103 / PhysRev.129.959 .
- ^ Ma, M .; Halperin, BI; Lee, PA (1 de septiembre de 1986). "Superfluidos fuertemente desordenados: fluctuaciones cuánticas y comportamiento crítico". Physical Review B . 34 (5): 3136–3143. Código Bibliográfico : 1986PhRvB..34.3136M . doi : 10.1103 / PhysRevB.34.3136 . PMID 9940047 .
- ^ Giamarchi, T .; Schulz, HJ (1 de enero de 1988). "Localización e interacciones de Anderson en metales unidimensionales". Physical Review B . 37 (1): 325–340. Código Bibliográfico : 1988PhRvB..37..325G . doi : 10.1103 / PhysRevB.37.325 .
- ^ a b c d Fisher, Matthew PA; Grinstein, G .; Fisher, Daniel S. (1989). "Localización de bosones y la transición superfluido-aislante" (PDF) . Physical Review B . 40 (1): 546–70. Código Bibliográfico : 1989PhRvB..40..546F . doi : 10.1103 / PhysRevB.40.546 . PMID 9990946 .,
- ^ a b Jaksch, D .; Zoller, P. (2005). "La caja de herramientas de Hubbard del átomo frío". Annals of Physics . 315 (1): 52. arXiv : cond-mat / 0410614 . Código bibliográfico : 2005AnPhy.315 ... 52J . CiteSeerX 10.1.1.305.9031 . doi : 10.1016 / j.aop.2004.09.010 .
- ^ Giamarchi, Thierry; Rüegg, Christian; Tchernyshyov, Oleg (2008). "Condensación de Bose-Einstein en aisladores magnéticos". Física de la naturaleza . 4 (3): 198-204. arXiv : 0712.2250 . Código Bibliográfico : 2008NatPh ... 4..198G . doi : 10.1038 / nphys893 .
- ^ Zapf, Vivien; Jaime, Marcelo; Batista, CD (15 de mayo de 2014). "Condensación de Bose-Einstein en imanes cuánticos" . Reseñas de Física Moderna . 86 (2): 563–614. Código Bibliográfico : 2014RvMP ... 86..563Z . doi : 10.1103 / RevModPhys.86.563 .
- ^ Kühner, T .; Monien, H. (1998). "Fases del modelo unidimensional de Bose-Hubbard". Physical Review B . 58 (22): R14741. arXiv : cond-mat / 9712307 . Código Bibliográfico : 1998PhRvB..5814741K . doi : 10.1103 / PhysRevB.58.R14741 .
- ^ a b Greiner, Markus; Mandel, Olaf; Esslinger, Tilman; Hänsch, Theodor W .; Bloch, Immanuel (2002). "Transición de fase cuántica de un superfluido a un aislante Mott en un gas de átomos ultrafríos". Naturaleza . 415 (6867): 39–44. Código Bib : 2002Natur.415 ... 39G . doi : 10.1038 / 415039a . PMID 11780110 .
- ^ Morrison, S .; Kantian, A .; Daley, AJ; Katzgraber, HG; Lewenstein, M .; Büchler, HP; Zoller, P. (2008). "Réplicas físicas y el vidrio Bose en gases atómicos fríos" . Nueva Revista de Física . 10 (7): 073032. arXiv : 0805.0488 . Código Bibliográfico : 2008NJPh ... 10g3032M . doi : 10.1088 / 1367-2630 / 10/7/073032 . ISSN 1367-2630 .
- ^ Thomson, SJ; Walker, LS; Harte, TL; Bruce, GD (3 de noviembre de 2016). "Medición del parámetro de orden de Edwards-Anderson del vidrio Bose: un enfoque de microscopio de gas cuántico". Physical Review A . 94 (5): 051601. arXiv : 1607.05254 . Código Bibliográfico : 2016PhRvA..94e1601T . doi : 10.1103 / PhysRevA.94.051601 .
- ^ Thomson, SJ; Krüger, F. (2014). "Réplica de simetría rompiendo en el cristal Bose". EPL . 108 (3): 30002. arXiv : 1312,0515 . Código bibliográfico : 2014EL .... 10830002T . doi : 10.1209 / 0295-5075 / 108/30002 .
- ^ Sachdev, Subir (2011). Transiciones de fase cuántica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 9780521514682. OCLC 693207153 .
- ^ Jaksch, D .; Bruder, C .; Cirac, J .; Gardiner, C .; Zoller, P. (1998). "Átomos bosónicos fríos en celosías ópticas". Cartas de revisión física . 81 (15): 3108. arXiv : cond-mat / 9805329 . Código Bibliográfico : 1998PhRvL..81.3108J . doi : 10.1103 / PhysRevLett.81.3108 .
- ^ a b Lühmann, DSR; Jürgensen, O .; Sengstock, K. (2012). "Tunelización multi-orbital e inducida por densidad de bosones en redes ópticas". Nueva Revista de Física . 14 (3): 033021. arXiv : 1108.3013 . Código bibliográfico : 2012NJPh ... 14c3021L . doi : 10.1088 / 1367-2630 / 14/3/033021 .
- ^ Sakmann, K .; Streltsov, AI; Alon, OE; Cederbaum, LS (2011). "Modelos óptimos de celosía dependiente del tiempo para la dinámica de no equilibrio". Nueva Revista de Física . 13 (4): 043003. arXiv : 1006.3530 . Código bibliográfico : 2011NJPh ... 13d3003S . doi : 10.1088 / 1367-2630 / 13/4/043003 .
- ^ Łącki, M .; Zakrzewski, J. (2013). "Dinámica rápida para átomos en celosías ópticas". Cartas de revisión física . 110 (6): 065301. arXiv : 1210.7957 . Código Bibliográfico : 2013PhRvL.110f5301L . doi : 10.1103 / PhysRevLett.110.065301 . PMID 23432268 .
- ^ Will, S .; Mejor, T .; Schneider, U .; Hackermüller, L .; Lühmann, DSR; Bloch, I. (2010). "Observación resuelta en el tiempo de interacciones coherentes de múltiples cuerpos en avivamientos de fase cuántica". Naturaleza . 465 (7295): 197–201. Código Bibliográfico : 2010Natur.465..197W . doi : 10.1038 / nature09036 . PMID 20463733 .
- ^ Bakr, Waseem S .; Gillen, Jonathon I .; Peng, Amy; Fölling, Simon; Greiner, Markus (2009). "Un microscopio de gas cuántico para detectar átomos individuales en una red óptica de régimen de Hubbard". Naturaleza . 462 (7269): 74–77. arXiv : 0908.0174 . Código Bibliográfico : 2009Natur.462 ... 74B . doi : 10.1038 / nature08482 . PMID 19890326 .
- ^ Bakr, WS; Peng, A .; Tai, ME; Mar.; Simon, J .; Gillen, JI; Fölling, S .; Pollet, L .; Greiner, M. (30 de julio de 2010). "Prueba de la transición del aislador de superfluido a Mott en el nivel de un solo átomo". Ciencia . 329 (5991): 547–550. arXiv : 1006.0754 . Código Bibliográfico : 2010Sci ... 329..547B . doi : 10.1126 / science.1192368 . ISSN 0036-8075 . PMID 20558666 .
- ^ Weitenberg, Christof; Endres, Manuel; Sherson, Jacob F .; Cheneau, Marc; Schauß, Peter; Fukuhara, Takeshi; Bloch, Emmanuel; Kuhr, Stefan (2011). "Direccionamiento de un solo giro en un aislante atómico Mott". Naturaleza . 471 (7338): 319–324. arXiv : 1101.2076 . Código Bib : 2011Natur.471..319W . doi : 10.1038 / nature09827 . PMID 21412333 .
- ^ Romero-Isart, O; Eckert, K; Rodó, C; Sanpera, A (2007). "Transporte y generación de enredos en el modelo Bose-Hubbard". Revista de Física A: Matemática y Teórica . 40 (28): 8019–31. arXiv : quant-ph / 0703177 . Código Bibliográfico : 2007JPhA ... 40.8019R . doi : 10.1088 / 1751-8113 / 40/28 / S11 .
- ^ Jordan, J; Orus, R; Vidal, G (2009). "Estudio numérico del modelo de Bose-Hubbard de núcleo duro en una celosía cuadrada infinita". Phys. Rev. B . 79 (17): 174515. arXiv : 0901.0420 . Código Bibliográfico : 2009PhRvB..79q4515J . doi : 10.1103 / PhysRevB.79.174515 .
- ^ Kshetrimayum, A .; Rizzi, M .; Eisert, J .; Orus, R. (2019). "Algoritmo de recocido de red tensorial para estados térmicos bidimensionales". Phys. Rev. Lett . 122 (7): 070502. arXiv : 1809.08258 . Código bibliográfico : 2019PhRvL.122g0502K . doi : 10.1103 / PhysRevLett.122.070502 .
- ^ Eisert, J .; Cramer, M .; Plenio, MB (2010). "Coloquio: Leyes de área para la entropía de entrelazamiento". Reseñas de Física Moderna . 82 (1): 277. arXiv : 0808.3773 . Código bibliográfico : 2010RvMP ... 82..277E . doi : 10.1103 / RevModPhys.82.277 .
- ^ Góral, K .; Santos, L .; Lewenstein, M. (2002). "Fases cuánticas de bosones dipolares en celosías ópticas". Cartas de revisión física . 88 (17): 170406. arXiv : cond-mat / 0112363 . Código Bibliográfico : 2002PhRvL..88q0406G . doi : 10.1103 / PhysRevLett.88.170406 . PMID 12005738 .
- ^ Sowinski, T .; Dutta, O .; Hauke, P .; Tagliacozzo, L .; Lewenstein, M. (2012). "Moléculas dipolares en celosías ópticas". Cartas de revisión física . 108 (11): 115301. arXiv : 1109.4782 . Código Bibliográfico : 2012PhRvL.108k5301S . doi : 10.1103 / PhysRevLett.108.115301 . PMID 22540482 .
- ^ Tsuchiya, S .; Kurihara, S .; Kimura, T. (2004). "Transición de aislante superfluido-Mott de bosones de espín-1 en una red óptica". Physical Review A . 70 (4): 043628. arXiv : cond-mat / 0209676 . Código Bibliográfico : 2004PhRvA..70d3628T . doi : 10.1103 / PhysRevA.70.043628 .
- ^ Gurarie, V .; Pollet, L .; Prokof'Ev, NV; Svistunov, BV; Troyer, M. (2009). "Diagrama de fases del modelo desordenado de Bose-Hubbard" . Physical Review B . 80 (21): 214519. arXiv : 0909.4593 . Código Bibliográfico : 2009PhRvB..80u4519G . doi : 10.1103 / PhysRevB.80.214519 .