La teoría de Landau en física es una teoría que Lev Landau introdujo en un intento de formular una teoría general de las transiciones de fase continuas (es decir, de segundo orden) . [1] También puede adaptarse a sistemas en campos aplicados externamente y usarse como modelo cuantitativo para transiciones discontinuas (es decir, de primer orden).
Formulación de campo medio (sin correlación de largo alcance)
Landau estaba motivado para sugerir que la energía libre de cualquier sistema debería obedecer dos condiciones:
- Es analítico.
- Obedece a la simetría del hamiltoniano .
Dadas estas dos condiciones, se puede escribir (en la vecindad de la temperatura crítica, T c ) una expresión fenomenológica para la energía libre como una expansión de Taylor en el parámetro de orden .
Transiciones de segundo orden
Considere un sistema que rompe alguna simetría debajo de una transición de fase, que se caracteriza por un parámetro de orden . Este parámetro de orden es una medida del orden antes y después de una transición de fase; el parámetro de orden es a menudo cero por encima de una temperatura crítica y distinto de cero por debajo de la temperatura crítica. En un sistema ferromagnético simple como el modelo de Ising , el parámetro de orden se caracteriza por la magnetización neta, que se vuelve espontáneamente distinto de cero por debajo de una temperatura crítica . En la teoría de Landau, se considera una función de energía libre que es una función analítica del parámetro de orden. En muchos sistemas con ciertas simetrías, la energía libre solo será función de potencias pares del parámetro de orden, para lo cual se puede expresar como la expansión de la serie [2]
En general, hay términos de orden superior presentes en la energía libre, pero es una aproximación razonable considerar la serie al cuarto orden en el parámetro de orden, siempre que el parámetro de orden sea pequeño. Para que el sistema sea termodinámicamente estable (es decir, el sistema no busca un parámetro de orden infinito para minimizar la energía), el coeficiente de la potencia par más alta del parámetro de orden debe ser positivo, por lo que. Por simplicidad, se puede suponer que, una constante, cercana a la temperatura crítica. Además, dado que cambios de signo por encima y por debajo de la temperatura crítica, también se puede ampliar , donde se supone que para la fase de alta temperatura mientras para la fase de baja temperatura, para que ocurra una transición. Con estos supuestos, minimizar la energía libre con respecto al parámetro de orden requiere
La solución al parámetro de orden que satisface esta condición es , o
Está claro que esta solución solo existe para , de lo contrario es la única solución. En efecto, es la solución mínima para , pero la solución minimiza la energía libre para , y por tanto es una fase estable. Además, el parámetro de orden sigue la relación
por debajo de la temperatura crítica, lo que indica un exponente crítico para este modelo de teoría de la media de Landau.
La energía libre variará en función de la temperatura dada por
A partir de la energía libre, se puede calcular el calor específico,
que tiene un salto finito a la temperatura crítica de tamaño . Este salto finito, por lo tanto, no está asociado con una discontinuidad que ocurriría si el sistema absorbiera calor latente , ya que. También es de destacar que la discontinuidad en el calor específico está relacionada con la discontinuidad en la segunda derivada de la energía libre, que es característica de una transición de fase de segundo orden . Además, el hecho de que el calor específico no tenga divergencia o cúspide en el punto crítico indica su exponente crítico para es .
Campos aplicados
En muchos sistemas, se puede considerar un campo perturbador que se acopla linealmente al parámetro de orden. Por ejemplo, en el caso de un momento dipolar clásico , la energía del sistema de campo dipolo es . En el caso general, se puede asumir un cambio de energía de debido al acoplamiento del parámetro de orden al campo aplicado , y la energía libre de Landau cambiará como resultado:
En este caso, la condición de minimización es
Una consecuencia inmediata de esta ecuación y su solución es que, si el campo aplicado es distinto de cero, entonces la magnetización es distinta de cero a cualquier temperatura. Esto implica que ya no hay una ruptura espontánea de la simetría que ocurre a cualquier temperatura. Además, se pueden obtener algunas cantidades termodinámicas y universales interesantes a partir de esta condición anterior. Por ejemplo, a la temperatura crítica donde, se puede encontrar la dependencia del parámetro de orden en el campo externo:
indicando un exponente crítico .
Además, a partir de la condición anterior, es posible encontrar la susceptibilidad de campo cero , que debe satisfacer
En este caso, recordando en el caso de campo cero que a bajas temperaturas, mientras para temperaturas superiores a la temperatura crítica, la susceptibilidad de campo cero tiene, por tanto, la siguiente dependencia de la temperatura:
que recuerda la ley de Curie-Weiss para la dependencia de la temperatura de la susceptibilidad magnética en materiales magnéticos, y produce el exponente crítico de campo medio.
Transiciones de primer orden
La teoría de Landau también se puede utilizar para estudiar transiciones de primer orden . Hay dos formulaciones diferentes, dependiendo de si el sistema es simétrico o no ante un cambio de signo del parámetro de orden.
I. Caso simétrico
Aquí consideramos el caso en el que el sistema tiene una simetría y la energía es invariante cuando el parámetro de orden cambia de signo. Surgirá una transición de primer orden si el término cuártico enes negativo. Para garantizar que la energía libre siga siendo positiva en general, uno debe llevar la expansión de energía libre al sexto orden, [3] [4]
dónde , y es una temperatura a la que signo de cambios. Denotamos esta temperatura por y no , dado que surgirá más abajo que no es la temperatura de la transición de primer orden, y dado que no hay un punto crítico, la noción de una "temperatura crítica" es engañosa para empezar. y son coeficientes positivos.
Analizamos esta función de energía libre de la siguiente manera: (i) Para , la y los términos son cóncavos hacia arriba para todos , mientras que la el término es cóncavo hacia abajo. Por lo tanto, para temperaturas suficientemente altas es cóncava hacia arriba para todos , y la solución de equilibrio es . (ii) Para, ambos y los términos son negativos, entonces es un máximo local y el mínimo de tiene un valor distinto de cero , con . (iii) Para justo arriba , se convierte en un mínimo local, pero el mínimo en sigue siendo el mínimo global ya que tiene menor energía libre. Se deduce que a medida que la temperatura se eleva por encima, el mínimo global no puede evolucionar continuamente desde a 0. Más bien, a una temperatura intermedia , los mínimos en y debe volverse degenerado. Para, el mínimo global saltará de forma discontinua desde a 0.
Encontrar , exigimos que la energía libre sea cero en (como el solución), y además que este punto debe ser un mínimo local. Estas dos condiciones producen dos ecuaciones,
que están satisfechos cuando . Las mismas ecuaciones también implican que. Es decir,
A partir de este análisis, ambos puntos mencionados anteriormente pueden verse explícitamente. Primero, el parámetro de orden sufre un salto discontinuo de a 0. En segundo lugar, la temperatura de transición no es lo mismo que la temperatura dónde desaparece.
A temperaturas por debajo de la temperatura de transición, , el parámetro de orden viene dado por
que se traza a la derecha. Esto muestra la clara discontinuidad asociada con el parámetro de orden en función de la temperatura. Para demostrar aún más que la transición es de primer orden, se puede demostrar que la energía libre para este parámetro de orden es continua a la temperatura de transición., pero su primera derivada (la entropía) adolece de una discontinuidad, lo que refleja la existencia de un calor latente distinto de cero.
II. Caso asimétrico
A continuación, consideramos el caso en el que el sistema no tiene simetría. En este caso, no hay ninguna razón para mantener sólo los poderes de en la expansión de , y se debe permitir un término cúbico (el término lineal siempre se puede eliminar mediante un desplazamiento + constante.) Por tanto, consideramos una energía libre funcional
Una vez más , y son todos positivos. El signo del término cúbico siempre se puede elegir para que sea negativo, como lo hemos hecho invirtiendo el signo de si necesario.
Analizamos esta función de energía libre de la siguiente manera: (i) Para , tenemos un máximo local en , y dado que la energía libre está acotada por debajo, debe haber dos mínimos locales en valores distintos de cero y . El término cúbico asegura quees el mínimo global ya que es más profundo. (ii) Para justo arriba , el mínimo en desaparece, el máximo en se convierte en un mínimo local, pero el mínimo en persiste y sigue siendo el mínimo global. A medida que la temperatura aumenta aún más, sube hasta que es igual a cero a alguna temperatura . A obtenemos un salto discontinuo en el mínimo global de a 0. (Los mínimos no pueden fusionarse porque eso requeriría las tres primeras derivadas de desaparecer en .)
Encontrar , exigimos que la energía libre sea cero en (como el solución), y además que este punto debe ser un mínimo local. Estas dos condiciones producen dos ecuaciones,
que están satisfechos cuando . Las mismas ecuaciones también implican que. Es decir,
Como en el caso simétrico, el parámetro de orden sufre un salto discontinuo de a 0. En segundo lugar, la temperatura de transición no es lo mismo que la temperatura dónde desaparece.
Aplicaciones
Se sabía experimentalmente que la curva de coexistencia líquido-gas y la curva de magnetización del ferromagnético exhibían una relación de escala de la forma , dónde era misteriosamente el mismo para ambos sistemas. Este es el fenómeno de la universalidad . También se sabía que los modelos simples de líquido-gas se pueden mapear exactamente con modelos magnéticos simples, lo que implica que los dos sistemas poseen las mismas simetrías. Luego se dedujo de la teoría de Landau por qué estos dos sistemas aparentemente dispares deberían tener los mismos exponentes críticos, a pesar de tener diferentes parámetros microscópicos. Ahora se sabe que el fenómeno de la universalidad surge por otras razones (ver grupo de Renormalización ). De hecho, la teoría de Landau predice los exponentes críticos incorrectos para los sistemas Ising y líquido-gas.
La gran virtud de la teoría de Landau es que hace predicciones específicas sobre qué tipo de comportamiento no analítico debería observarse cuando la energía libre subyacente es analítica. Entonces, toda la no analiticidad en el punto crítico, los exponentes críticos, se debe a que el valor de equilibrio del parámetro de orden cambia no analíticamente, como una raíz cuadrada, siempre que la energía libre pierde su mínimo único.
La extensión de la teoría de Landau para incluir fluctuaciones en el parámetro de orden muestra que la teoría de Landau solo es estrictamente válida cerca de los puntos críticos de sistemas ordinarios con dimensiones espaciales superiores a 4. Esta es la dimensión crítica superior , y puede ser mucho mayor que cuatro en transición de fase más finamente ajustada. En el análisis de Mukhamel del punto isotrópico de Lifschitz, la dimensión crítica es 8. Esto se debe a que la teoría de Landau es una teoría de campo medio y no incluye correlaciones de largo alcance.
Esta teoría no explica la no analiticidad en el punto crítico, pero cuando se aplica a la transición de fase superfluida y superconductora, la teoría de Landau proporcionó inspiración para otra teoría, la teoría de la superconductividad de Ginzburg-Landau .
Incluyendo correlaciones de largo alcance
Considere el modelo de Ising de energía libre anterior. Suponga que el parámetro de la orden y campo magnético externo, , puede tener variaciones espaciales. Ahora, se puede suponer que la energía libre del sistema toma la siguiente forma modificada:
dónde es la dimensionalidad espacial total . Entonces,
Suponga que, para una perturbación magnética externa localizada, el parámetro de orden toma la forma . Luego,
Es decir, la fluctuación en el parámetro de orden corresponde a la correlación orden-orden. Por lo tanto, descuidar esta fluctuación (como en el enfoque de campo medio anterior) corresponde a descuidar la correlación orden-orden, que diverge cerca del punto crítico.
También se puede resolver [5] para, a partir del cual el exponente de escala, , para longitud de correlación se puede deducir. A partir de estos, el criterio de Ginzburg para la dimensión crítica superior para la validez de la teoría de Landau de campo medio de Ising (la que no tiene correlación de largo alcance) se puede calcular como:
En nuestro modelo de Ising actual, la teoría de Landau de campo medio da y así, (la teoría de Landau de campo medio de Ising) es válida solo para dimensionalidad espacial mayor o igual a 4 (en los valores marginales de , hay pequeñas correcciones a los exponentes). Esta versión modificada de la teoría de Landau de campo medio a veces también se conoce como la teoría de Landau-Ginzburg de las transiciones de fase de Ising. Como aclaración, también existe una teoría de Landau-Ginzburg específica para la transición de fase de superconductividad, que también incluye fluctuaciones.
Ver también
Notas al pie
- ^ Lev D. Landau (1937). "Sobre la teoría de las transiciones de fase" (PDF) . Z h. Eksp. Teor. Fiz . 7 : 19-32. Archivado desde el original (PDF) el 14 de diciembre de 2015.
- ^ Landau, LD; Lifshitz, EM (2013). Física estadística . 5 . Elsevier. ISBN 978-0080570464.
- ^ Tolédano, JC; Tolédano, P. (1987). "Capítulo 5: Transiciones de primer orden". La teoría de las transiciones de fase de Landau . Compañía Editorial Científica Mundial. ISBN 9813103949.
- ^ Stoof, HTC; Gubbels, KB; Dickerscheid, DBM (2009). Campos cuánticos ultrafríos . Saltador. ISBN 978-1-4020-8763-9.
- ^ "Física estadística de equilibrio" por Michael Plischke, Birger Bergersen, Sección 3.10, 3ª ed
Otras lecturas
- Landau LD Collected Papers (Nauka, Moscú, 1969)
- Michael C. Cross, Teoría de Landau de las transiciones de fase de segundo orden , [1] (Notas de clase de mecánica estadística de Caltech).
- Yukhnovskii, IR, Transiciones de fase del segundo orden - Método de variables colectivas , World Scientific, 1987, ISBN 9971-5-0087-6