En la física estadística de los vidrios giratorios y otros sistemas con desorden apagado , el truco de la réplica es una técnica matemática basada en la aplicación de la fórmula:
dónde es más comúnmente la función de partición , o una función termodinámica similar.
Suele utilizarse para simplificar el cálculo de , reduciendo el problema a calcular el promedio del desorden dónde se supone que es un número entero. Esto es físicamente equivalente a promediarcopias o réplicas del sistema, de ahí el nombre.
El quid del truco de la réplica es que, si bien el promedio del desorden se realiza asumiendo para ser un número entero, para recuperar el logaritmo promediado por desorden se debe enviar continuamente a cero. Esta aparente contradicción en el corazón del truco de la réplica nunca se ha resuelto formalmente; sin embargo, en todos los casos en los que el método de réplica se puede comparar con otras soluciones exactas, los métodos conducen a los mismos resultados. (Para demostrar que el truco de la réplica funciona, habría que demostrar que se cumple el teorema de Carlson , es decir, que la razónes de tipo exponencial menor que pi ).
En ocasiones es necesario requerir la propiedad adicional de ruptura de simetría de réplicas (RSB) para obtener resultados físicos, lo que está asociado con la ruptura de la ergodicidad .
Formulación general
Generalmente se usa para cálculos que involucran funciones analíticas (se puede expandir en series de potencias).
Expandir usando su serie de potencias : en potencias de o en otras palabras réplicas de , y realizar el mismo cálculo que se realizará en , usando los poderes de .
Un caso particular que es de gran utilidad en física es el de promediar la energía libre termodinámica ,
- ,
sobre los valores de con una cierta distribución de probabilidad, típicamente gaussiana. [1]
La función de partición viene dada por
- .
Observe que si estuviéramos calculando solo (o más generalmente, cualquier poder de ) y no su logaritmo que queríamos promediar, la integral resultante (asumiendo una distribución gaussiana) es simplemente
- ,
una integral gaussiana estándar que se puede calcular fácilmente (por ejemplo, completar el cuadrado).
Para calcular la energía libre, usamos el truco de la réplica:
Claramente, tal argumento plantea muchas preguntas matemáticas, y el formalismo resultante para realizar el límite normalmente introduce muchas sutilezas. [3]
Cuando se usa la teoría del campo medio para realizar los cálculos, tomar este límite a menudo requiere introducir parámetros de orden adicionales, una propiedad conocida como " ruptura de simetría de réplica " que está estrechamente relacionada con la ruptura de ergodicidad y la dinámica lenta dentro de los sistemas de desorden.
Aplicaciones fisicas
El truco de la réplica se utiliza para determinar los estados fundamentales de los sistemas mecánicos estadísticos, en la aproximación de campo medio . Normalmente, para sistemas en los que la determinación del estado fundamental es fácil, se pueden analizar las fluctuaciones cercanas al estado fundamental. De lo contrario, se usa el método de réplica. [artículos sobre vasos giratorios 1] Un ejemplo es el caso de un desorden sofocado en un sistema como un vaso giratorio con diferentes tipos de enlaces magnéticos entre los giros, lo que lleva a muchas configuraciones diferentes de giros que tienen la misma energía.
En la física estadística de sistemas con desorden apagado, dos estados cualesquiera con la misma realización del desorden (o en el caso de vidrios giratorios, con la misma distribución de enlaces ferromagnéticos y antiferromagnéticos) se denominan réplicas entre sí. [artículos sobre vidrios giratorios 2] Para los sistemas con trastorno apagado, normalmente se espera que las cantidades macroscópicas sean autopromediadas , por lo que cualquier cantidad macroscópica para una realización específica del trastorno será indistinguible de la misma cantidad calculada promediando todas las realizaciones posibles del trastorno. La introducción de réplicas permite realizar este promedio en diferentes realizaciones de trastornos.
En el caso de un vidrio giratorio, esperamos que la energía libre por giro (o cualquier cantidad autopromediada) en el límite termodinámico sea independiente de los valores particulares de los acoplamientos ferromagnéticos y antiferromagnéticos entre sitios individuales, a través de la red. Entonces, encontramos explícitamente la energía libre en función del parámetro de desorden (en este caso, parámetros de la distribución de enlaces ferromagnéticos y antiferromagnéticos) y promediamos la energía libre sobre todas las realizaciones del desorden (todos los valores del acoplamiento entre sitios, cada uno con su probabilidad correspondiente, dada por la función de distribución). A medida que la energía libre toma la forma:
dónde describe el trastorno (para los vidrios giratorios, describe la naturaleza de la interacción magnética entre cada uno de los sitios individuales y ) y estamos tomando el promedio de todos los valores de los acoplamientos descritos en , ponderado con una distribución determinada. Para realizar el promedio sobre la función de logaritmo, el truco de la réplica es útil para reemplazar el logaritmo con su forma límite mencionada anteriormente. En este caso, la cantidad representa la función de partición conjunta de sistemas idénticos.
REM: el problema de réplica más fácil
El modelo de energía aleatoria (REM) es uno de los modelos más simples de mecánica estadística de sistemas desordenados , y probablemente el modelo más simple para mostrar el significado y el poder del truco de la réplica al nivel 1 de ruptura de la simetría de la réplica . El modelo es especialmente adecuado para esta introducción porque se conoce un resultado exacto mediante un procedimiento diferente, y se puede demostrar que el truco de la réplica funciona mediante la verificación cruzada de los resultados.
Ver también
El método de la cavidad es un método alternativo, a menudo de uso más simple que el método de réplica, para estudiar problemas de campo medio desordenado. Se ha diseñado para trabajar con modelos en gráficos locales en forma de árbol .
Otro método alternativo es el método supersimétrico . El uso del método de supersimetría proporciona una alternativa matemática rigurosa al truco de la réplica, pero solo en sistemas que no interactúan. Ver, por ejemplo, el libro: [otros enfoques 1]
Además, se ha demostrado [otros enfoques 2] que la técnica de Keldysh proporciona una alternativa viable al enfoque de réplica.
Observaciones
La identidad anterior se entiende fácilmente a través de la expansión de Taylor :
Referencias
- M Mezard, G Parisi & M Virasoro, "Teoría del vidrio giratorio y más allá", World Scientific, 1987
Papeles sobre vasos giratorios
- ^ Parisi, Giorgio (17 de enero de 1997). "En el enfoque de réplica para girar vasos" . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Tommaso Castellani, Andrea Cavagna (mayo de 2005). "Teoría del vidrio giratorio para peatones". Revista de Mecánica Estadística: Teoría y Experimento . 2005 (5): P05012. arXiv : cond-mat / 0505032 . Código bibliográfico : 2005JSMTE..05..012C . doi : 10.1088 / 1742-5468 / 2005/05 / P05012 . S2CID 118903982 .
Libros sobre vasos giratorios
Referencias a otros enfoques
- ^ Supersimetría en desorden y caos , Konstantin Efetov, Cambridge University Press, 1997.
- ↑ A. Kamenev y A. Andreev, cond-mat / 9810191; C. Chamon, AWW Ludwig y C. Nayak, cond-mat / 9810282.
- ^ Nishimori, Hidetoshi (2001). Física estadística de los vidrios giratorios y procesamiento de la información: una introducción (PDF) . Oxford [ua]: Universidad de Oxford. Prensa. ISBN 0-19-850940-5. Consulte la página 13, Capítulo 2.
- ^ Hertz, John (marzo-abril de 1998). "Spin Glass Physics". Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Mezard, M; Parisi, G; Virasoro, M (1 de noviembre de 1986). Spin Glass Theory y más allá . Notas de la conferencia científica mundial en física. Volumen 9. CIENTÍFICO MUNDIAL. doi : 10.1142 / 0271 . ISBN 9789971501167.
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