En matemáticas , la transformada de boustrophedon es un procedimiento que mapea una secuencia a otra. La secuencia transformada se calcula mediante una operación de "adición", implementada como si se llenara una matriz triangular en forma de boustrophedon ( zigzag o serpentina), en oposición a una forma de diente de sierra de "exploración de trama" .
Definición
La transformada de boustrophedon es una transformación numérica, generadora de secuencia, que está determinada por una operación de "suma" .
En términos generales, dada una secuencia: , la transformada de boustrophedon produce otra secuencia: , dónde probablemente se define como equivalente a . La totalidad de la transformación en sí puede visualizarse (o imaginarse) como si se construyera completando el triángulo como se muestra en la Figura 1 .
Triángulo de Boustrophedon
Para completar el triángulo isósceles numérico ( Figura 1 ), comience con la secuencia de entrada,, y coloque un valor (de la secuencia de entrada) por fila, utilizando el enfoque de exploración boustrophedon ( zigzag o similar a una serpentina ).
El vértice superior del triángulo será el valor de entrada. , equivalente al valor de salida , y numeramos esta fila superior como fila 0.
Las filas subsiguientes (que van hacia la base del triángulo) se numeran consecutivamente (desde 0) como números enteros — deje indica el número de la fila que se está llenando actualmente. Estas filas se construyen de acuerdo con el número de fila () como sigue:
- Para todas las filas, numeradas , habrá exactamente valores en la fila.
- Si es impar, pon el valor en el extremo derecho de la fila.
- Complete el interior de esta fila de derecha a izquierda, donde cada valor (índice: ) es el resultado de la "suma" entre el valor de la derecha (índice: ) y el valor de la esquina superior derecha (índice: ).
- El valor de salida estará en el extremo izquierdo de una fila impar (donde es extraño ).
- Si es par, luego ponga el valor de entrada en el extremo izquierdo de la fila.
- Complete el interior de esta fila de izquierda a derecha, donde cada valor (índice: ) es el resultado de la "suma" entre el valor a su izquierda (índice: ) y el valor en la parte superior izquierda (índice: ).
- El valor de salida estará en el extremo derecho de una fila par (donde es par ).
Consulte las flechas en la Figura 1 para obtener una representación visual de estas operaciones de "adición".
Para una secuencia de entrada finita dada: , de valores, habrá exactamente filas en el triángulo, de modo que es un número entero en el rango: (exclusivo). En otras palabras, la última fila es.
Relación de recurrencia
Una definición más formal usa una relación de recurrencia . Definir los números(con k ≥ n ≥ 0) por
- .
Entonces la secuencia transformada se define por (por y mayores índices).
Según esta definición, tenga en cuenta las siguientes definiciones para valores fuera de las restricciones (de la relación anterior) en pares:
Casos especiales
En el caso de a 0 = 1, a n = 0 ( n > 0), el triángulo resultante se llama Triángulo de Seidel-Entringer-Arnold [1] y los númerosse denominan números de Entringer (secuencia A008281 en la OEIS ).
En este caso, los números de la secuencia transformada b n se denominan números ascendentes / descendentes de Euler. [2] Esta es la secuencia A000111 en la Enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Estos enumeran el número de permutaciones alternas en n letras y están relacionados con los números de Euler y los números de Bernoulli .
Definición (es) algebraica
Construyendo a partir del diseño geométrico de la transformada boustrophedon, definiciones algebraicas de la relación a partir de valores de entrada () para generar valores () se puede definir para diferentes álgebras ("dominios numéricos").
Valores euclidianos (reales)
En el Euclidiano () Álgebra de verdad () -valores escalares, el valor real transformado en boustrofedón ( b n ) está relacionado con el valor de entrada, ( a n ) , como:
,
con la relación inversa (entrada de salida) definida como:
,
donde ( E n ) es la secuencia de números "arriba / abajo", también conocidos como números secantes o tangentes . [3]
La función generadora exponencial
La función de generación exponencial de una secuencia ( a n ) está definida por
La función generadora exponencial de la transformada de boustrophedon ( b n ) está relacionada con la de la secuencia original ( a n ) por
La función de generación exponencial de la secuencia unitaria es 1, de modo que la de los números arriba / abajo es sec x + tan x .
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Triángulo de Seidel-Entringer-Arnold". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Seidel-Entringer-ArnoldTriangle.html
- ^ Weisstein, Eric W. "Número euleriano". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html
- ^ Weisstein, Eric W. "Transformación de Boustrophedon". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/BoustrophedonTransform.html
- Millar, Jessica; Sloane, NJA; Young, Neal E. (1996). "Una nueva operación sobre secuencias: la transformada de Boustrouphedon". Revista de Teoría Combinatoria, serie A . 76 (1): 44–54. arXiv : matemáticas.CO / 0205218 . doi : 10.1006 / jcta.1996.0087 .
- Weisstein, Eric W. (2002). Enciclopedia Concisa de Matemáticas CRC, Segunda Edición . Chapman y Hall / CRC. pag. 273. ISBN 1-58488-347-2.