En matemáticas , los números de Euler son una secuencia E n de números enteros (secuencia A122045 en el OEIS ) definida por la expansión de la serie de Taylor
- ,
donde cosh t es el coseno hiperbólico . Los números de Euler están relacionados con un valor especial de los polinomios de Euler , a saber:
Los números de Euler aparecen en las series de Taylor expansiones de los secantes y secantes hiperbólicas funciones. Esta última es la función en la definición. También ocurren en combinatoria , específicamente cuando se cuenta el número de permutaciones alternas de un conjunto con un número par de elementos.
Los números de Euler con índices impares son todos cero . Los de índice par (secuencia A028296 en la OEIS ) tienen signos alternos. Algunos valores son:
E 0 | = | 1 |
E 2 | = | −1 |
E 4 | = | 5 |
E 6 | = | −61 |
E 8 | = | 1 385 |
E 10 | = | −50 521 |
E 12 | = | 2 702 765 |
E 14 | = | -199 360 981 |
E 16 | = | 19 391 512 145 |
E 18 | = | -2 404 879 675 441 |
Algunos autores vuelven a indexar la secuencia para omitir los números de Euler impares con valor cero, o cambiar todos los signos a positivo (secuencia A000364 en la OEIS ). Este artículo se adhiere a la convención adoptada anteriormente.
En términos de números de Stirling del segundo tipo
Las siguientes dos fórmulas expresan los números de Euler en términos de números de Stirling del segundo tipo [1] [2]
dónde denota los números de Stirling del segundo tipo , ydenota el factorial ascendente .
Como una doble suma
Las siguientes dos fórmulas expresan los números de Euler como sumas dobles [3]
Como una suma iterada
Una fórmula explícita para los números de Euler es: [4]
donde i denota la unidad imaginaria con i 2 = −1 .
Como suma de particiones
El número de Euler E 2 n se puede expresar como una suma de las particiones pares de 2 n , [5]
así como una suma de las particiones impares de 2 n - 1 , [6]
donde en ambos casos K = k 1 + ··· + k n y
es un coeficiente multinomial . Los deltas de Kronecker en las fórmulas anteriores restringen las sumas sobre k sa 2 k 1 + 4 k 2 + ··· + 2 nk n = 2 n y hasta k 1 + 3 k 2 + ··· + (2 n - 1) k n = 2 n - 1 , respectivamente.
Como ejemplo,
Como determinante
E 2 n viene dado por el determinante
Como integral
E 2 n también viene dado por las siguientes integrales:
Los números de Euler crecen con bastante rapidez para índices grandes, ya que tienen el siguiente límite inferior
La serie Taylor de es
donde A n son los números en zigzag de Euler , comenzando con
- 1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ... (secuencia A000111 en la OEIS )
Para todos incluso n ,
donde E n es el número de Euler; y para todos los impares n ,
donde B n es el número de Bernoulli .
Por cada n ,
- [ cita requerida ]