Desigualdad de Brascamp-Lieb

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En matemáticas , la desigualdad de Brascamp-Lieb es cualquiera de dos desigualdades. El primero es un resultado en geometría sobre funciones integrables en el espacio euclidiano de n dimensiones . Generaliza la desigualdad de Loomis-Whitney y la desigualdad de Hölder . El segundo es un resultado de la teoría de probabilidad que da una desigualdad de concentración para distribuciones de probabilidad logarítmicamente cóncavas. Ambos llevan el nombre de Herm Jan Brascamp y Elliott H. Lieb . ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {n}}$

Otra forma de afirmar esto es que la constante D es lo que se obtendría restringiendo la atención al caso en el que cada una es una función gaussiana centrada, es decir, . ^[1]${\ estilo de visualización f_ {i}}$${\displaystyle f_{i}(y)=\exp\{-(y,\,A_{i}\,y)\}}$

La desigualdad geométrica de Brascamp-Lieb es un caso especial de lo anterior, ^[2] y fue utilizada por Keith Ball , en 1989, para proporcionar límites superiores para los volúmenes de las secciones centrales de los cubos. ^[3]

La desigualdad geométrica de Brascamp-Lieb se deriva de la desigualdad de Brascamp-Lieb como se indicó anteriormente tomando n _i  = 1 y B _i ( x ) =  x  ·  u _i . Entonces, para z _i  ∈  R ,

Como otro caso especial, tome n i  =  n , B i  = id, el mapa de identidad en , reemplazando f i por f${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {n}}$1/ c yo
yo, y sea c yo  = 1 /  pag yo por 1 ≤  yo  ≤  metro . Luego

y la log-concavidad del determinante de una matriz definida positiva implica que D  = 1. Esto produce la desigualdad de Hölder en :${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {n}}$

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